2023-2024学年河南省开封市高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市2023-2024学年高二下学期期末数学试题注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，且，则（）A. B. C.2 D.6〖答案〗B〖解析〗因为，，，所以，所以.故选：B.2.一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义，则（）A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.095〖答案〗A〖解析〗.故选：A.3.已知等差数列中，，，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗设公差，因为，，所以，所以.故选：B.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，则，所以函数在点处切线斜率，则切线方程为，即切线方程为，故选：D.5.已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（）A.21 B.42 C.84 D.168〖答案〗A〖解析〗由，可得展开式通项公式为，因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以，解得，所以.故选：A.6.在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设点的坐标为，点的坐标为，依题意点在圆上，可得，所以点的轨迹方程为.故选：D.7.已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数，所以，令，由题意得在上2个解，，故，解得：，经检验适合题意；故选：C.8.在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点），选取为基底，由题意，而，从而，，，所以，设，因为，所以，而，因为，设，则，，当且仅当，即，即时，的最小值为，所以当且仅当时，.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.由成对样本数据，且得到经验回归方程为，其中（单位：cm）为女生的身高，（单位：cm）为其父亲的身高，则（）A.直线必经过点B.直线至少经过点，且中的一点C.已知父亲的身高为，其女儿身高的估计值为D.两位父亲身高相差，则他们女儿的身高相差〖答案〗AC〖解析〗对于A：回归直线必经过样本中心点，故A正确；对于B：回归直线可不过任意一点，且，故B错误；对于C：已知父亲的身高为，其女儿身高的估计值为，故C正确；对于D：两位父亲的身高相差，则他们女儿的身高的估计值相差，故D错误.故选：AC.10.已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，若，则，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.11.过抛物线上一点P作圆的切线，切点为A，B，则（）A.的最大值为 B.的最大值为C.可能取到3 D.可能取到4〖答案〗AD〖解析〗对于AB，圆的圆心为，半径为，设，，要使最大，只需最大，即只需，等号成立当且仅当，所以的最大值为，的最大值为，故A正确，B错误；对于CD，由以上分析可知，的取值范围是，的取值范围是，显然，，由等面积法有，所以，又的取值范围是，所以的取值范围是，故C错误，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆，则圆C的半径_________．〖答案〗2〖解析〗由圆，整理可得：，则圆的半径为.故〖答案〗为：2.13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则椭圆的离心率为_________．〖答案〗〖解析〗由题意得双曲线的渐近线方程为，所以，这意味着，所以.故〖答案〗为：.14.学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，2个集体节目分别安排在第1个和最后1个，还有3个音乐节目、2个舞蹈节目、1个小品节目，要求同类节目不能连续安排，则共有_________种不同的排法（填写数字）．〖答案〗240〖解析〗第一步：2个集体节目共有种排法；第二步：设先后顺序为第1，2，3，4，5，6，7，8场，第一类：将3个音乐节目排在第2，4，6场，再排剩下的节目共有种排法；第二类：将3个音乐节目排在第2，4，7场，再排剩下的节目共有种排法；第三类：将3个音乐节目排在第2，5，7场，再排剩下节目共有种排法；第四类：将3个音乐节目排在第3，5，7场，再排剩下的节目共有种排法；综上所述，满足题意的排法共有种.故〖答案〗为：240.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点．（1）求C的标准方程；（2）已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．解：（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆的定义知，，可得，所以，所以椭圆的标准方程为:.（2）已知，所以，设直线方程为，由方程组消去，得，该方程的判别式，由，得，此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:.16.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和．解：（1）设数列的公差为，由题意知：，，所以，所以的通项公式是.（2）数列的通项公式为，记数列与前项的和分别为，则.17.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马中，侧棱底面；且，在的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑．（1）确定点的位置，并证明四面体为鳖臑；（2）若底面是边长为1的正方形，求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）点是的中点，因为，所以，又因为底面，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，由，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四面体为鳖臑；（2）如图，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则，则，设平面一个法向量为，则，令，则，所以平面一个法向量为，设平面一个法向量为，则，令，则，所以平面一个法向量为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.在11分制乒乓球比赛中，每贏一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束，且．（1）求p的值；（2）求再打2个球甲新增的得分Y的分布列和均值；（3）记事件“，且甲获胜”的概率为，求．解：（1）由题意可知，对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，所以，解之得.（2）的可能取值为0，1，2，的分布列为：，，，012所以.（3）且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得1分，最后第个球均为甲得分；且甲获胜，就是平后，两人又打了个球该局比赛结束，且这个球的得分情况为：前个球是每两球甲、乙各得1分，最后第个球均为甲得分.按照甲先发球，甲、乙各得1分的概率为，所以，且，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以.19.已知函数的定义域为D，其中．对于点，设．若在处取最小值，则称点为M的“f最近点”．（1）若，，，求M的“f最近点”；（2）已知函数，，，证明：对任意，既是的“f最近点”，也是的“f最近点”．解：（1）当，，，，，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，又，所以M的“f最近点”为；（2）设设既是的“f最近点”，也是的“f最近点”，由题意，在处取最小值，所以对任意，，即①，，即②，由①+②得，，所以，所以，所以对任意，既是的“f最近点”，也是的“f最近点”.河南省开封市2023-2024学年高二下学期期末数学试题注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号．回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，且，则（）A. B. C.2 D.6〖答案〗B〖解析〗因为，，，所以，所以.故选：B.2.一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义，则（）A.0.05 B.0.5 C.0.95 D.0.095〖答案〗A〖解析〗.故选：A.3.已知等差数列中，，，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗设公差，因为，，所以，所以.故选：B.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，则，所以函数在点处切线斜率，则切线方程为，即切线方程为，故选：D.5.已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（）A.21 B.42 C.84 D.168〖答案〗A〖解析〗由，可得展开式通项公式为，因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以，解得，所以.故选：A.6.在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设点的坐标为，点的坐标为，依题意点在圆上，可得，所以点的轨迹方程为.故选：D.7.已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数，所以，令，由题意得在上2个解，，故，解得：，经检验适合题意；故选：C.8.在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点），选取为基底，由题意，而，从而，，，所以，设，因为，所以，而，因为，设，则，，当且仅当，即，即时，的最小值为，所以当且仅当时，.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.由成对样本数据，且得到经验回归方程为，其中（单位：cm）为女生的身高，（单位：cm）为其父亲的身高，则（）A.直线必经过点B.直线至少经过点，且中的一点C.已知父亲的身高为，其女儿身高的估计值为D.两位父亲身高相差，则他们女儿的身高相差〖答案〗AC〖解析〗对于A：回归直线必经过样本中心点，故A正确；对于B：回归直线可不过任意一点，且，故B错误；对于C：已知父亲的身高为，其女儿身高的估计值为，故C正确；对于D：两位父亲的身高相差，则他们女儿的身高的估计值相差，故D错误.故选：AC.10.已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，若，则，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.11.过抛物线上一点P作圆的切线，切点为A，B，则（）A.的最大值为 B.的最大值为C.可能取到3 D.可能取到4〖答案〗AD〖解析〗对于AB，圆的圆心为，半径为，设，，要使最大，只需最大，即只需，等号成立当且仅当，所以的最大值为，的最大值为，故A正确，B错误；对于CD，由以上分析可知，的取值范围是，的取值范围是，显然，，由等面积法有，所以，又的取值范围是，所以的取值范围是，故C错误，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆，则圆C的半径_________．〖答案〗2〖解析〗由圆，整理可得：，则圆的半径为.故〖答案〗为：2.13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则椭圆的离心率为_________．〖答案〗〖解析〗由题意得双曲线的渐近线方程为，所以，这意味着，所以.故〖答案〗为：.14.学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，2个集体节目分别安排在第1个和最后1个，还有3个音乐节目、2个舞蹈节目、1个小品节目，要求同类节目不能连续安排，则共有_________种不同的排法（填写数字）．〖答案〗240〖解析〗第一步：2个集体节目共有种排法；第二步：设先后顺序为第1，2，3，4，5，6，7，8场，第一类：将3个音乐节目排在第2，4，6场，再排剩下的节目共有种排法；第二类：将3个音乐节目排在第2，4，7场，再排剩下的节目共有种排法；第三类：将3个音乐节目排在第2，5，7场，再排剩下节目共有种排法；第四类：将3个音乐节目排在第3，5，7场，再排剩下的节目共有种排法；综上所述，满足题意的排法共有种.故〖答案〗为：240.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点．（1）求C的标准方程；（2）已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．解：（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆的定义知，，可得，所以，所以椭圆的标准方程为:.（2）已知，所以，设直线方程为，由方程组消去，得，该方程的判别式，由，得，此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:.16.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）插入的数构成一个新数列，求该数列前项的和．解：（1）设数列的公差为，由题意知：，，所以，所以的通项公式是.（2）数列的通项公式为，记数列与前项的和分别为，则.17.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马中，侧棱底面；且，在的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑．（1）确定点的位置，并证明四面体为鳖臑；（2）若底面是边长为1的正方形，求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）点是的中点，因为，所以，又因为底面，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，由，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四面体为鳖臑；（2）如图，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则，则，设平面一个法向量为，则，令，