2025届海南省重点中学高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2025届海南省重点中学高二数学第一学期期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（）A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；至多有1个红球2．三棱锥A-BCD中，E，F，H分别为边CD，AD，BC的中点，BE，DH的交点为G，则的化简结果为（）A. B.C. D.3．已知向量，，且，则实数等于（）A.1 B.2C. D.4．已知等比数列的前n项和为，若，，则（）A.250 B.210C.160 D.905．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.6．已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于A，B两点，则的最小值为（）A. B.2C.4 D.7．已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.8．若直线：与：互相平行，则a的值是（）A. B.2C.或2 D.3或9．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离10．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为A. B.C. D.11．数列满足且，则的值是（）A.1 B.4C.－3 D.612．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆周长为，外接圆周长为，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则__________14．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是___________15．如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过、的直线与圆相切，则直线的斜率______；椭圆的离心率______.16．已知正四面体ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，点G是线段CD上靠近D的四等分点，则直线EF与AG所成角的余弦值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.18．（12分）已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求.19．（12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线的准线交于点，为坐标原点，（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于，两点，求的面积20．（12分）已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为.（1）求切线的倾斜角的取值范围；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.21．（12分）已知等差数列中，首项，公差，且数列的前项和为（1）求和；（2）设，求数列的前项和22．（10分）已知函数（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）求出方程的解的个数

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据试验过程进行分析，利用互斥事件的定义对四个选项一一判断即可.【详解】对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件.故A错误；对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件.故B错误；对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件.故C错误；对于D：“至多有1个红球”包含都是白球和一红一白，“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，所以“至多有1个白球”与“至多有1个红球”不是互斥事件.故D错误.故选：C2、D【解析】依题意可得为的重心，由三角形重心的性质可知，由中位线定理可知，再利用向量的加法运算法则即可求出结果【详解】解：依题意可得为的重心，，，分别为边，和的中点，，，故选：D3、C【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解【详解】因向量，，且，则，解得，所以实数等于.故选：C4、B【解析】设为等比数列，由此利用等比数列的前项和为能求出结果【详解】设，等比数列的前项和为为等比数列，为等比数列，解得故选：B5、A【解析】根据离心率求出的值，再根据渐近线方程求解即可.【详解】因双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：，又因为双曲线离心率为，且，所以，解得，即渐近线方程为：.故选：A.6、A【解析】根据将最小值问题转化为d取得最大值问题，然后结合图形可解.【详解】将，变形为，故直线恒过点，圆心，半径，已知点P在圆内，过点作直线与圆相交于A，两点，记圆心到直线的距离为d，则，所以当d取得最大值时，有最小值，结合图形易知，当直线与线段垂直的时候，d取得最大值，即取得最小值，此时，所以.故选：A.7、C【解析】建立空间直角坐标系，设直线与所成角为，由求解.【详解】∵长方体中，，，∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，，则，，，，所以，，设直线与所成角为，则，∴直线和夹角余弦值是.故选：C.8、A【解析】根据直线：与：互相平行，由求解.【详解】因为直线：与：互相平行，所以，即，解得或，当时，直线：，：，互相平行；当时，直线：，：，重合；所以，故选：A9、B【解析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心故选B考点：直线与圆的位置关系10、D【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴椭圆方程为：.故选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.11、A【解析】根据题意，由于，可知数列是公差为-3的等差数列，则可知d=-3,由于=，故选A12、A【解析】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，计算三个数判断作答.【详解】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，因，，，则，不成立，则，不成立，则，所以应输出的x值为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是，，故答案为.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.14、【解析】先由，根据椭圆的定义，求出，，再由余弦定理，根据，即可列式求出离心率.【详解】因为点在椭圆上，所以，又，所以，因，在中，由，根据余弦定理可得，解得（负值舍去）故答案为：.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，属于常考题型.15、①.②.【解析】根据直角三角形的性质求得，由此求得，结合椭圆的定义求得离心率.【详解】连接，由于是圆的切线，所以.在中，，所以，所以，所以直线的斜率.，根据椭圆的定义可知.故答案为：；【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.16、【解析】建立空间直角坐标系，令正四面体的棱长为，即可求出点的坐标，从而求出异面直线所成角的余弦值；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令正四面体的棱长为，则，所以，所以，所以，，，，，设，因为，所以，所以，所以，，设直线与所成角为，则故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）先对函数求导，再根据在处的切线斜率可得到参数的值，然后代入，求出的值，则即可得出；（2）根据函数在上是增函数，可得，即恒成立，再进行参变分离，构造函数，对进行求导分析，找出最小值，即实数的最大值【详解】解：（1）由题意，函数.故，则，由题意，知，即.又，则.，即..（2）由题意，可知，即恒成立，恒成立.设，则.令，解得.令，解得.令，解得x.在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值..，故的最大值为.【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分离方法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题18、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，结合“裂项法”即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，若成等比数列，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以.【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.19、（1）（2）【解析】（1）根据题意建立关于的方程，解得的值即可.（2）联列方程组并消元，韦达定理整体思想求的长，再求点到直线的距离，进而求面积.【小问1详解】由题意可得，，则，因为，所以，解得，故抛物线的方程为【小问2详解】由（1）可知，则点到直线的距离联立，整理得设，，则，从而因为直线过抛物线的焦点，所以故的面积为20、（1）（2）【解析】（1）根据题意求出值，求导后通过导数的值域求出斜率范围，从而得到倾角范围.（2）利用导数几何意义得到过P点的切线方程，化简后构造m的函数，求新函数的极大值极小值即可.【小问1详解】因为，则，解得，所以，则，故，，，，，切线的倾斜角的的取值范围是，，.小问2详解】设曲线与过点，的切线相切于点，则切线的斜率为，所以切线方程为因为点，在切线上，所以，即，由题意，该方程有三解设，则，令，解得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，极大值为，所以实数的取值范围是.21、（1），；（2）.【解析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式与求和公式，即可求解；（2）根据题意，求出，结合等差数列求和公式，即可求解.【小问1详解】根据题意，易知；.【小问2详解】根据