山东省济南市济钢高级中学2025届高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析

山东省济南市济钢高级中学2025届高二数学第一学期期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线，若异面，，则的位置关系是（）A.异面 B.相交C.平行或异面 D.相交或异面2．已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（）A.一定单调递减 B.一定单调递增C.式子-≥0恒成立 D.可能满足=，且k≠13．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（）A. B.C. D.4．某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（）种A.9 B.36C.54 D.1085．如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（）A. B.C. D.6．已知双曲线渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（）A. B.C.2 D.47．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.8．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（）A. B.C. D.9．已知函数，若对任意，都有成立，则a的取值范围为（）A. B.C. D.10．下列四个命题中为真命题的是（）A.设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.函数的最小值是4D.与的图象关于直线y＝x对称11．已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（）A. B.C. D.12．已知，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为______14．已知函数是定义域上的单调递增函数，是的导数且为定义域上的单调递减函数，请写出一个满足条件的函数的解析式___________15．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是___________.16．已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线经过点且斜率为（1）求直线的一般式方程（2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程（3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程18．（12分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，的面积为1.（1）求抛物线的标准方程；（2）设点是抛物线上异于点的一点，直线与直线交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，求证：直线过定点.19．（12分）已知：对任意，都有；：存在，使得（1）若“且”为真，求实数的取值范围；（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围20．（12分）已知抛物线的准线与轴的交点为.（1）求的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21．（12分）已知函数，为的导函数（1）求的定义域和导函数；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围22．（10分）设等比数列的前项和为，且（）（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体：和是异面直线，，；和是异面直线，，与是异面直线.所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.故选：D2、D【解析】根据等比数列的通项公式，前n项和的意义，可逐项分析求解.【详解】因为等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，所以当时，由可得，故数列为增函数，故B正确；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定单调递减，故A正确；因为当时，，，所以，即-，当时，，综上，故C正确；若=，且k≠1，则，即，因为，故，故矛盾，所以D不正确.故选：D3、A【解析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出和，进而得出结果.【详解】解：由，，成等差数列，可得，则，，，可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列.则，，则的最大值可能为.由，，可得.因为，，，即，所以，则，当且仅当时，，符合题意，故的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.4、C【解析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种，选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种，所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种故选：C5、B【解析】先用向量与表示，然后用向量表示向量与，即可得解【详解】解：为的中点，故选：【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运算，属于基础题6、A【解析】由双曲线的渐近线方程，可得，再由的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得即，可得由可得，故选：A.7、D【解析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成大等腰直角三角形的面积为，梯形的上底为，下底为，高为，面积为，故所求概率故选：D.8、C【解析】先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.【详解】解：由，，成等差数列，得：，设的公比为，则，解得：或，又单调递减，，，解得：，数列的通项公式为：，.故选：C9、C【解析】求出函数的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答.【详解】对函数求导得：，，，则，，而，当且仅当，即时“=”，于是得，解得，所以a的取值范围为.故选：C【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.10、D【解析】根据推出关系和集合的包含关系判断A，根据全称命题的否定形式可判断B，根据对钩函数性质即三角函数的性质可判断C，根据反函数的图像性质可判断D.【详解】解：对于选项A：是的真子集，所以命题p是q的充分不必要条件，故A错误；对于选项B：命题“”的否定是“”，故B错误；对于选项C：函数，当时，，函数单调递减，当时取最小值，故C错误；对于选项D：与互为反函数，故图象关于直线y＝x对称，故D正确.11、B【解析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值.【详解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，则，∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则，∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又，∴当且仅当三点共线且时，最小为.故选：B.【点睛】关键点点睛：由已知确定，，构成等边三角形，即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题.12、D【解析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：因，，所以，因为，所以，即，解得，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意得，表示点与点与距离之和的最小值，再找对称点求解即可.【详解】函数，表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，点关于轴的对称点，所以，所以的最小值为：.故答案为：.14、（答案不唯一）【解析】由题意可得0，结合在定义域上为减函数可取.【详解】因为在定义域为单调增函数所以在定义域上0，又因为在定义域上为减函数，且大于等于0.所以可取()，()，满足条件所以可为().故答案为：（答案不唯一）.15、【解析】计算点渐近线的距离，从而得，由勾股定理计算，由双曲线定义列式，从而计算得，即可计算出离心率.【详解】设双曲线右焦点为，因为的中点在双曲线的渐近线上，由可知，，因为为中点，所以，所以，即垂直平分线段，所以到渐近线的距离为，可得，所以，由双曲线定义可知，，即，所以，所以.故答案为：【点睛】双曲线的离心率是椭圆最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)16、0【解析】设等差数列的公差为，，根据，，成等比数列，得到，再根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】设等差数列的公差为，，因为，，成等比数列，所以，所以，整理得，因为，所以，所以.故答案为：0.【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.【详解】(1)(2)设所求方程为因为过点，所以(3)设所求方程为因为过点，所以【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.18、（1）（2）证明见解析【解析】(1)由条件列方程求，由此可得抛物线方程；(2)方法一：联立直线与抛物线方程，结合条件三点共线，可证明直线过定点，方法二：联立直线与抛物线方程，联立直线与直线求，由垂直与轴列方程化简，可证明直线过定点.【小问1详解】因为点在抛物线上，所以，即，，因为，故解得，抛物线的标准方程为【小问2详解】设直线的方程为，由，得，所以，由（1）可知当时，，此时直线的方程为，若时，因为三点共线，所以，即，又因为，，化简可得，又，进而可得，整理得，因为所以，此时直线的方程为，直线恒过定点又直线也过点，综上：直线过定点解法二：设方程，得若直线斜率存在时斜率方程为即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直线方程为直线过定点.若直线斜率不存在时，直线方程为所以P点坐标为，M点坐标为此时直线方程为过点综上：直线过定点.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题19、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得，均为真命题，分别求得为真命题，为真命题时，实数的取值范围，再由集合的交集运算求得答案；（2）由已知得，一真一假，建立不等式组，求解即可.【小问1详解】解：因为“且”为真命题，所以，均为真命题若为真命题，则，解得；若为真命题，则，当且仅当，即时，等号成立，此时故实数的取值范围是；【小问2详解】解：若“或”为真，“且”为假，则，一真一假当真，假时，则得；当假，真时，则得故实数的取值范围为20、（1）（2）是定值，定值为【解析】(1)由抛物线的准线求标准方程；(2)直线与抛物线相交求定值，解联立方程消未知数，利用韦达定理，求线段长，再求它们的倒数的平方和.【小问1详解】由题意，可得，即，故抛物线的方程为.【小问2详解】为定值，且定值是.下面给出证明.证明：设直线的方程为，，，联立抛物线有，消去得，则，又，.得因此为定值，且定值是.21、（1），（2）在单减，也单减，无增区间（3）【解析】（1）根据分母不等于0，对数的真数大于零即可求得函数的定义域，根据基本初等函数的求导公式及商的导数公式即可求出函数的导函数；（2）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出答案；（3）若对，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用导数求出函数的最小值即可求出的范围，，，求出函数的值域，根据存在，使成立，则0在函数的值域中，从而可得出的范围，即可得解.【小问1详解】解：的定义域为，；【小问2详解】解：当时，，恒成