吉林省长春汽车经济技术开发区六中2025届数学高二上期末质量检测试题含解析

吉林省长春汽车经济技术开发区六中2025届数学高二上期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（）A.51 B.68C.106 D.1572．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则的周长为（）A.3 B.4C.6 D.83．在等差数列中，若，则（）A.6 B.9C.11 D.244．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A. B.C. D.5．直线在y轴上的截距是A. B.C. D.6．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）A. B.C. D.7．①命题设“，若，则或”；②若“”为真命题，则p，q均为真命题；③“”是函数为偶函数的必要不充分条件；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；其中正确判断的个数是（）A.1 B.2C.3 D.48．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为（）A. B.C. D.9．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.10．如图，在三棱锥中，是线段的中点，则（）A. B.C. D.11．命题“，”的否定是A， B.，C.， D.，12．在三棱锥中，点E，F分别是的中点，点G在棱上，且满足，若，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列______14．已知数列的前4项依次为，，，，则的一个通项公式为________15．已知为等比数列的前n项和，若，，则_____________.16．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.18．（12分）已知某学校的初中、高中年级的在校学生人数之比为9：11，该校为了解学生的课下做作业时间，用分层抽样的方法在初中、高中年级的在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：（1）在抽取的100名学生中，初中、高中年级各抽取的人数是多少？（2）根据频率分布直方图，估计学生做作业时间的中位数和平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）另据调查，这100人中做作业时间超过4小时的人中2人来自初中年级，3人来自高中年级，从中任选2人，恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率是多少19．（12分）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为567.表示2台设备使用期间需更换的零件数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.（1）求的分布列；（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？20．（12分）已知函数（a是常数）.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若，求a的取值范围.21．（12分）已知函数的导函数为，且满足（1）求及的值；（2）求在点处的切线方程22．（10分）已知椭圆C：经过点，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切线l与椭圆交于A，B两点，都有．若存在，求出r的值，并求此时△AOB的面积S的取值范围；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】对高阶等差数列按其定义逐一进行构造数列，直到出现一般等差数列为止，再根据其递推关系进行求解.【详解】现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，各项与前一项之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差数列，所以，故选：C2、D【解析】由的周长为，结合椭圆的定义，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，即，如图所示，根据椭圆的定义，可得的周长为故选：D.3、B【解析】根据等差数列的通项公式的基本量运算求解【详解】设的公差为d，因为，所以，又，所以故选：B4、B【解析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件，则{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知故选：B5、D【解析】在y轴上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【详解】令x=0，则y=-2，即直线在y周上的截距为-2，故选D.6、C【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.【详解】设直角边长，斜边，则线段的长度大于的长度的概率.故选：C7、B【解析】利用逆否命题、含有逻辑联结词命题的真假性、充分和必要条件、空间基底等知识对四个判断进行分析，由此确定正确答案.【详解】①，原命题的逆否命题为“，若且，则”，逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，①正确.②，若“”为真命题，则p，q至少有一个真命题，②错误.③，函数为偶函数的充要条件是“”.所以“”是函数为偶函数的充分不必要条件，③错误.④，若为空间的一个基底，即不共面，若共面，则存在不全为零的，使得，故，因为为空间的一个基底，，故，矛盾，故不共面，所以构成空间的另一基底，④正确.所以正确的判断是个.故选：B8、D【解析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，然后求出线段的垂直平分线的方程即可.【详解】因为，所以线段的中点的坐标，线段所在直线的斜率，则线段的垂直平分线的方程为，即，因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为.故选：D【点睛】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.9、C【解析】根据极值点的意义,可知函数的导函数在上有且仅有一个零点.结合零点存在定理,即可求得的取值范围.【详解】函数则因为函数在上有且仅有一个极值点即在上有且仅有一个零点根据函数零点存在定理可知满足即可代入可得解得故选:C【点睛】本题考查了函数极值点的意义,函数零点存在定理的应用,属于中档题.10、A【解析】根据给定几何体利用空间向量基底结合向量运算计算作答.【详解】在三棱锥中，是线段的中点，所以：.故选：A11、C【解析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题12、B【解析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】由条件确定该等比数列的首项的可能值，由此确定该数列的通项公式.【详解】设数列的公比为，则，由已知可得，∴，所以，故可取，故满足条件的等比数列的通项公式可能为，故答案为：（答案不唯一）14、（答案不唯一）【解析】观察数列前几项，找出规律即可写出通项公式.【详解】根据数列前几项，先不考虑正负，可知，再由奇数项为负，偶数项为正，可得到一个通项公式，故答案为：（不唯一）15、30【解析】根据等比数列性质得，，也成等比，即可求得结果.【详解】由等比数列的性质可知，，，构成首项为10，公比为1的等比数列，所以【点睛】本题考查等比数列性质，考查基本求解能力，属基础题.16、【解析】直线与椭圆相交，求交点，利用列式求解即可.【详解】联立方程得，因为，所以,即，所以，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）0.006；（2）；（3）.【解析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为；（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.【详解】（1）因为，所以（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为；受访职工评分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即为.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，故所求的概率为【点睛】本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.18、（1）初中、高中年级所抽取人数分别为45、55（2）2.375小时，2.4小时（3）【解析】（1）依据分层抽样的原则列方程即可解决；（2）依据频率分布直方图计算学生做作业时间的中位数和平均时长即可；（3）依据古典概型即可求得恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率.【小问1详解】设初中、高中年级所抽取人数分别为x、y，由已知可得，解得；【小问2详解】的频率为，的频率为，的频率为因为，，所以中位数在区间上，设为x，则，解得，所以学生做作业时间的中位数为2.375小时；平均时长为小时.故估计学生做作业时间的中位数为2.375小时，平均时长为2.4小时【小问3详解】2人来自初中年级，记为，，3人来自高中年级，记为，，，则从中任选2人，所有可能结果有：，，，，，，，，，共10种，其中恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级有6种可能，所以恰好1人来自初中年级，1人来自高中年级的概率为19、（1）答案见解析；（2）应选择.【解析】(1)由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解.(2)分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答.【小问1详解】的可能取值为10，11，12，13，14，，，，，，则的分布列为：10111213140.090.30.370.20.04【小问2详解】记为当时购买零件所需费用，，，，，元，记为当时购买零件所需费用，，，，元，显然，所以应选择.20、（1）函数在上单调递增，在上单调递减，极小值是，无极大值.（2）【解析】（1）由当，得到，求导，再由，求解；（2）将，转化为成立，令，求其最大值即可.【小问1详解】解：当时，，定义域为，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，取得极小值是，无极大值.【小问2详解】因为，即成立.设，则，当时，，当时,，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.21、（1）；；（2）.【解析】（1）由题可得，进而可得，然后可得，即得；（2）由题可求，，再利用点斜式即得.【小问1详解】∵，∴，，∴，，∴.【小问2详解】∵，，∴，，∴在点处的切线方程为，即.22、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用离心率和椭圆所过点列出方程组，求出，求出椭圆方程；（2）假设存在，分切线斜率存在和不存在分类讨论，根据向量数量积为0求出r的值，表达出△AOB的面积，利用基本不等式求出的取值范围，进而求出△AOB面积的取值范围.【小问1详解】因为椭圆C：的离心率，且过点所以解得所以椭圆C的方程为【小问2详解】假设存在⊙O：满足题意，①切线