数学同步测控：相似三角形

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基我达标1。如图1.1—60,△DBA∽△ABC的条件是…（）图1。1—60A.B.AB2=BD·BCC。CD2=AD·ABD。解析：由AB2=BD·BC,且∠B=∠B，由判定定理2知,△ABC∽△DBA.答案:B2。在△ABC和△A′B′C′中,AB=7cm,BC=6cm，CA=5cm，A′B′=cm,B′C′=cm，C′A′=2cm,则…(）A。∠A=∠A′B。∠A=∠B′C.∠A=∠C′D.以上都对解析:由=3知△ABC∽△B′A′C′∠A=∠B′（∠A与∠B′对应)。答案：B3.下列条件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是…（）A.=′B。=′,∠B=∠B′C。=D。=′，∠A=∠A′解析：由判定定理2知:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。答案：D4。如图1。1-61,在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,DE⊥AC,则图中和△ABC相似的三角形的个数为（）图1。1—61A。2B.3C。4解析:与△ABC相似的三角形有△CBD、△DCE、△ACD、△ADE共4个三角形。答案:C5。如图1。1-62，ABCD为矩形，∠BEF为直角，那么在M、N、P、Q四个三角形中，相似的是（）图1。1-62A.M和NB。M和PC.N和PD。M和Q解析:∵∠1+∠2=90°,∠２+∠3=90°,∴∠1=∠3,又∠A=∠D=90°,∴△BAE∽△EDF。答案：B6。如图1.1—63,在ABCD中，AB=12，BC=18，E为AB的中点，在BC上取点F，使△AED∽△CFD,则BF的长为（）图1。1-63A。9B.14C。12解析：∵△AED∽△CFD.∴=4.BF=BC-CF=18—4=14.答案：B7。如图1。1—64,若AB∥CD，∠DAB=∠CBD,AB=4,BD=5,则CD等于（）图1.1-64A。4B。5。5C。6解析：∵AB∥CD,∴△BAD∽△DBC∴CD=6。25.答案:D8.如图1.1-65，如图,DE∥AC，若=，则△BDE的面积是△ABC面积的（)图1.1—65A。B.C。D。解析：∵DE∥AC。∴=。∴△BDE与△BAC的相似比为,故=（)2=。答案：C9.如图1.1-66，E是ABCD的边CD上一点，CE=CD，AD=12,那么CF的长为…（）图1.1—66A。4B.6C.3解析:∵△EAD∽△EFC.∴,∴CF=AD=6。答案：B10.如图1。1-67，△ABC中，=，则OE：OB等于（）图1.1—67A。B。C.D.解析：由△ADE∽△ABC==。由△ODE∽△OCB==.答案：A11。下列各对三角形中不一定相似的是（)A.△ABC中，∠A=54°,∠B=78°△A′B′C′中，∠C′=48°,∠B′=78°B.△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=5cm△A′B′C′中,∠C′=90°,A′C′=12cm,B′C′=15cmC。△ABC中,∠B=90°,AB=5,AC=13△A′B′C′中，∠B′=90°,A′B′=2.5a,B′C′=6aD.△ABC中,∠C=90°，∠A=45°，AB=5△A′B′C′中，∠A′=45°，A′B′=5解析：A中∠C=48°=∠C′,且∠B=∠B′,∴△ABC∽△A′B′C′.B中∠C=∠C′，且AC：A′C′=BC:B′C′,∴△ABC∽△A′B′C′.C中BC==12，由∠B=∠B′且AB:A′B′=BC：B′C′,∴△ABC∽△A′B′C′。D中的条件不能判定△ABC∽△A′B′C′.答案：D12。如图1。1-68，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7,DO=3，AC=25，则AO长为（）图1.1—68A。10B.12.5C.15解析:△ODC∽△OBA,又AO+OC=AC=25,∴AO=AC=×25=17。5。答案：D13。如图1.1-69,在△ABC中，MN∥BC,MC、NB交于P，则图中共有__________对相似三角形（）图1。1—69A.1B。2C。3解析:△AMN∽△ABC，△PMN∽△PCB，∴共有2对相似三角形.答案：B14.如图1。1—70，△ABC中，DE∥BC，AE=1，EC=2，则S△ADE:S△ABC等于（）图1。1-70A。1：2B.1：3C.1:4解析:S△ADE：S△ABC=AE2：AC2=AE2：（AE+EC）2=1：9。答案：D15.如图1.1-71，△ABC中，FH=5，DE∥FH∥BC，且DE、FH将△ABC分为面积相等的三部分，则BC的长为(）图1.1-71A.15B.10C。fD。解析：,∴BC2=FH2=×（5）2。∴BC2=25×9，∴BC=15.答案：A16.如图1。1-72所示，铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高…（）图1。1-72A。11.25mB.6.6mC。8m解析:本题是一个实际问题,可抽象为如下数学问题:如右图，等腰△AOC∽等腰△BOD,OA=1m,OB=16m。高CE=0.5m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA：OB=CE：DF，即1:16=0.5:DF，解得DF=8（m）。答案：C我综合我发展17.如图1.1-73，在△ABC中,点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8,BC=16，那么CD=_____________。解析：∠BAC=∠ADC，且∠C=∠C。∴△CAB∽△CDA.∴.∴CD==4。答案：4图1。1—73图1.1—7418。如图1.1-74，EF∥BC，BC=2，△AEF的面积等于梯形BCFE的面积，则EF=_________.解析:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC。又S△AEF=S梯形BCFC∴=（）2=，∴EF2==4。∴EF=2。答案:219.如图1.1—75，点E、F分别在ABCD的边BC、DA的延长线上,EF交CD、BD、AB于G、M、N，则与△EBM相似的三角形是___________.图1.1-75解析:∠BEM=∠DFM,∠FMD=∠EMB，∴△EBM∽△FDM.答案：△FDM20.有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为____________。解析：如下图，本题有图（1）和图（2）两种情况如图（1），矩形的长EF在BC上,G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为xcm,则长为2xcm,由HG∥BC，得△AHG∽△ABC,得（cm)S矩形EFGH=2x2=（cm2）;如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似的可求得S矩形MNPQ=18（cm2）。答案:18cm2或cm2我创新我超越图1。1-7621.如图1.1-76，△ABC中∠C为直角,△DEF中∠F为直角，DE⊥AC，交AC于G,交AB于H，DF⊥AB,交AB于I，求证：△ABC∽△DEF.证明:∵HI⊥DF,EF⊥DF，∴HI∥EF,∠DIH=∠DFE=90°.∴∠DHI=∠DEF.∴△DHI∽△DEF。∵∠DIH=∠AGH=90°，∠DHI=∠AHG,∴△DHI∽△AHG。∵∠A=∠A。∠AGH=∠ACB=90°,∴△AGH∽△ACB。∴△ABC∽△DEF。图1。1-7722.如图1.1—77,已知∠ACB=∠ADE,∠ABC=∠AED。求证:∠ABE=∠ACD.分析:∠ABE和∠ACD分别位于△ABE和△ACD中，显然不可以利用全等来证明这两个角相等,但这两个角所在的两个三角形能相似吗？从已知条件中给的四个角分别在△ABC和△AED中，由它们相等不难证明△ABC∽△AED。这一对三角形的相似，沟通了我们想要证明的两个三角形的关系，沟通了两个角的关系。这里使用了“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定方法.证明:∵∠ABC=∠AED,∠ACB=∠ADE。∴△ABC∽△AED。∴，∠BAC=∠EAD.∴。∴∠BAC—∠EAC=∠EAD—∠EAC.即∠BAE=∠CAD。∴△ABE∽△ACD。(两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似）∴∠ABE=∠ACD。图1.1—7823.如图1.1-78，已知△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线,CF∥BA，BF交AD于P点,交AC于E点.求证:BP2=PE·PF。解析:因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了。证明：连结PC,在△ABC中，∵AB=AC,D为BC中点，∴AD垂直平分BC.∴PB=PC.∴∠1=∠2.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2.∴∠3=∠4。∵