数学同步测控：球坐标系与柱坐标系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基，我达标1。设点M的直角坐标为（-1，，3),则它的柱坐标是()A。（2，，3）B.（2，,3）C.（2，，3）D.（2,，3）解析：∵ρ==2,θ=,z=3，∴M的柱坐标为（2，，3）。答案：C2。设点M的直角坐标为（—1，-1，),则它的球坐标为（）A.（2，，)B。(2,,）C.（2，，）D.（2，,）解析:由坐标变换公式，得r==2，cosθ==，∴θ=.tanφ==-=1，∴φ=。∴M的球坐标为（2，，）。答案：B3.已知点M的球坐标为（4，，)，则它的直角坐标为______________，它的柱坐标是______________。解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标.答案：（—2，2，2）（2，，2)。4。设点M的柱坐标为（2，,7)，则它的直角坐标为______________。解析：∵ρ=2，θ=，z=7,∴x=ρcosθ=2cos=，y=ρsinθ=2sin=1.∴点M的直角坐标为(，1，7).答案：(，1，7）5。在球坐标系中，方程r=1表示，方程θ=表示空间的______________。解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状。答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为,中心轴为z轴的圆锥面6.设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，70°）,点B的坐标为（R，45°，160°），求A、B两点的球面距离。思路分析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数，AB的长度,就可求球面距离。解:如图，由点A、B的球坐标可知，∠BOO′=45°,∠AOO′=45°，这两个点都在北纬90°—45°=45°圈上.设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O,则∠xOQ=70°，∠xOH=160°,∴∠AO′B=160°-70°=90°.∵OB=R,∴O′B=O′A=R。∴AB=R.则AO=BO=AB=R.∴∠AOB=60°.∴=·2πR=R。即A、B两点间的球面距离为R.我综合，我发展7.已知点P的柱坐标为（，，5）,点B的球坐标为(，，）,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为()A.P点（5，1，1），B点（，，)B。P点(1，1，5)，B点(，，）C。P点（，，），B点（1，1，5)D.P点（1，1，5)，B点（,，）解析：此题考查空间直角坐标系与空间柱坐标系、球坐标系的互化。只要我们记住互化公式，问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为设P点的直角坐标为（x,y,z）,则x=cos=×=1，y=sin=1,z=5。设B点的直角坐标为(x，y,z），则x=sincos=××=，y=sinsin=××=，z=cos=×=。所以点P的直角坐标为（1,1,5)，点B的直角坐标为（,，)。选B.答案：B8.如图,在柱坐标系中，长方体ABCO-A1B1C1O1的一顶点在原点，另两个顶点坐标为A1（4，0，5)，C1（6，，5)，则此长方体外接球的体积为______________。解析：由顶点的柱坐标求出长方体的三边长，其外接球的直径恰为长方体的对角线长.由长方体的两个顶点坐标A1（4，0，5)，C1（6，，5)，可知OA=4，OC=6,OO1=5.则对角线长为.那么球的体积为·π·（）3=。答案:9。用两平行平面去截球,如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A（25，arctan，θA）、B(25，π-arctan,θB）,求出这两个截面间的距离.思路分析:根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO2中求出OO1及OO2的长度,从而可得两个截面间的距离O1O2。解：由已知,OA=OB=25,∠AOO1=arctan，∠BOO1=π—arctan,即在△AOO1中，tan∠AOO1==;在△BOO2中,∠BOO2=arctan，tan∠BOO2==.∵OA=25，∴OO1=7；又∵OB=25,∴OO2=20.则O1O2=OO1+OO2=7+20=27，即两个截面间的距离O1O2为27.10。在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线OX为极轴,建立坐标系.有A、B两个城市,它们的球坐标分别为A（R，，）、B（R，,），从A到B，飞机应该走怎样的航线最短，其最短航程为多少？思路分析：我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走A、B两地的大圆时，航线最短,所走的航程实际上是求过A、B两地的球面距离.解:如图所示,因为A(R，,)，B（R，,),可知∠AOO1=∠BOO1=.又∠xOC=,∠xOD=,∴∠COD=-=。∴∠AO1B=∠COD=。在Rt△OO1B中,∠O1OB=，OB=R，∴O1B=R.同理,O1A=R.∵∠AO1B=，∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=。则经过A,B两地的球面距离为R.即走经过A、B两地的大圆，飞机航线最短，其最短航程为R.我创新，我超越11。结晶体的基本单位称为晶胞，图（1)是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，如图(2)，建立空间直角坐标系O—xyz后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标。思路分析：在空间直角坐标系中,我们需要找点的x，y，z;在柱坐标系中,需要找到ρ,θ，z；在球坐标系中,需要找到r,θ,φ.解:把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标。下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0，0,0）,（1，,0)，(,,）,(1，,），(,，),它们的柱坐标分别为(0，0，0）,(1,0，0）,（，，0）,(1，，0)，(,,0）；中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为,所以，这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(，，0)，(arccos,arctan），（，arccos,arctan2),(,，），它们的柱坐标分别为(,0,），（，arctan,),（,arctan2，)，（