数学同步测控：平面直角坐标系中的伸缩变换

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基,我达标1.已知同一直线上三点A、B、C，其中B是AC中点，若向着x轴按照伸缩系数k＝2进行伸缩变换后，对于它们的对应点A′、B′、C′有以下说法:①仍在同一直线上;②不在同一直线上；③B′是A′C′的中点；④B′是A′C′的三等分点；⑤A′、B′、C′有可能重合．其中正确的说法是（）A．②B．①③C．①④D．⑤解析:由于在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变,所以②不在同一直线上不正确;根据教材中的例2可知B′仍是A′C′的中点．故选B．答案：B2.在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C的方程为()A.25x2+36y2=0B.9x2+100y2=0C。10x+24y=0解析：将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将直接代入2x′2+8y′2＝０，得2×（5x)2+8×（3y)2＝０,即25x2+36y2＝０为所求曲线C的方程.答案:Ａ3.直线y=x按伸缩系数k＝2向着y轴进行伸缩变换后的方程为_______________解析:设P(x,y）是变换前直线上的点，P′（x′，y′)是变换后曲线上的点，由题意,知即代入y=x中，得。所以直线y=x经过伸缩变换后的方程为y=x．答案：y=x4.直线y=x按照伸缩系数k＝2向着x轴进行伸缩变换后的方程为___________解析：设P（x，y）是变换前直线上的点，P′（x′,y′)是变换后曲线上的点,由题意,知即代入y=x中，得，即y′=x′．所以直线y=x经过伸缩变换后的方程为y=x．答案:y=x5.下图是风筝的图案．（1）写出图中所标各个顶点的坐标.(2）纵坐标保持不变，横坐标分别乘2，所得各点的坐标分别是什么？所得图案与原来图案相比有什么变化？(3）横坐标保持不变，纵坐标分别乘－2，所得各点的坐标分别是什么?所得图案与原来图案相比有什么变化？思路分析：在坐标纸内，每格表示1个单位长度．解：（1）A（0,4)、B（－3,1）、C（-3，—1）、D(0，-2)、E（3，-1)、F（3,1）.(2)A（0,4）、B（—6,1）、C（—6，-1）、D（0，-2）、E(6,—1）、F（6，1）；所得图案在x轴方向上扩大到原来的2倍，y轴方向不变。(3）A(0，-8）、B（—3，-2）、C（-3,2)、D（0，4）、E（3，2)、F（3，—2）;所得图案在y轴方向上扩大到原来的—2倍,x轴方向不变．6。在平面直角坐标中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．(1）5x+2y＝０；（2）x2+y2=１.思路分析:根据伸缩变换公式，分清新旧坐标代入即可．解：由得到（1)将代入5x+2y＝０中，得到5x′+3y′＝０，即经过伸缩变换后，直线仍然是直线．（2)将代入x2+y2＝１，得到=1，即经过伸缩变换后，圆变成了椭圆．我综合，我发展7.已知f1(x)=cosx，f2(x)=cosωx(ω＞０)，f2(x）的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的,则ω为(）A.B．2C.3D.解析：本题直接考查伸缩变换规律:函数y=cosωx，x∈R（其中ω＞０，ω≠１）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω＞１时）或伸长（当０＜ω＜１时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的．答案：Ｃ8。为了得到函数y=2sin（）,x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点(）A。向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变)C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D。向右移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变)解析：将y=2sinx向左平移个单位得到y=2sin（x+)的图象，将y=2sin（x+)图象上各点横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变）,则得到y=2sin(x+）的图象，故选Ｃ．答案:Ｃ9。圆x2+(y—1)2＝１经过变换后变为4x′2+y′2＝１，这种变换为()A。B。C。D.解析：4x′2+y′2＝１,即(2x′)2+y′2＝１,令2x′=x，y′=y-1，代入方程4x′2+y′2＝１中，可得x2+（y—1）2＝１．故所求的变换为答案:Ｃ10.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2—36y2-8x＋12＝0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0，求满足图象变换的伸缩变换．解:x2-36y2—8x＋12＝0可化为(）2—9y2=1.①x′2—y′2-4x′+3=0可化为（x′-2）2-y′2=1。②比较①②可得x′—2=,y′=3y．故所求的伸缩变换为我创新，我超越11.如果不改变坐标轴的方向和长度单位，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴．设原坐标系xOy,平移后新坐标系x′Oy′，新坐标系的坐标原点在原坐标中的坐标是O′(h,k），在坐标平面内的任意一点，都有两个坐标,它们有如下平移公式:在新旧坐标变换、方程变换时，可选择使用．试用上述移轴思想做下面的题目：平移坐标轴