数学同步测控：函数的单调性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基,我达标1。函数y=3x+2的单调增区间是()A。(—∞,］B.［，］C.［，+∞）D.（—∞,+∞）解析:对于a〉0的一次函数,它在定义域范围内为增函数。答案：D2.关于函数y=x2-2x+10的单调性的表述正确的是（）A。在（-∞，+∞)上递增B.在（—∞,1］上递增C.在(-∞,1）上递减D.在［1，+∞)上递减解析：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,对称轴为x=，当a〉0时，在区间(—∞，]上是单调递减函数,在区间［,+∞)上是单调递增函数.简称为“a〉0，左减右增”;当a<0时,在区间(-∞,］上是单调递增函数，在区间［，+∞）上是单调递减函数.简称为“a〈0,左增右减”。答案:C3.关于函数y=的单调性的表述正确的是…(）A.在(—∞,0)上增加，在（0,+∞)上减少B。在(-∞，0）∪(0,+∞)上减少C.在［0,+∞）上减少D.在（-∞,0)和(0，+∞）上都减少解析:对于反比例函数y=（k≠0）,当k>0时,在区间(—∞,0)上是单调递减函数,在区间（0，+∞)上也是单调递减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k〈0时，在区间（-∞，0)上是单调递增函数，在区间(0，+∞)上也是单调递增函数。答案：D4。关于函数y=kx+b，下列论述错误的是()A.单调性只与k有关B.不论k>0,还是k<0，函数的单调性不变C。在(-∞，0］上单调增加的前提是k>0D。当k>0时,函数在（—∞,+∞)上增加解析：根据一次函数的单调情况，它与x的系数k的符号有关,当k>0时,它在（—∞,+∞)上是单调递增函数；当k<0时,它在（-∞，+∞)上是单调递减函数.答案：B5.函数y=x2+ax+7在［1，+∞）上增加，则实数a的取值范围是___________。解析:二次函数的单调区间取决于该函数的二次项系数a的符号以及它的对称轴。a>0，左减右增，所给区间为其单调增区间的一个子区间,即≤1。所以a≥-2。答案：a≥-26.已知函数y=在(0,+∞)上单调增加，则实数k的取值范围是___________。解析：反比例函数的单调区间取决于该函数的系数k的符号。当k<0时，在区间(—∞,0）上是单调递增函数,在区间（0,+∞)上也是单调递增函数。所以该函数的系数2k—1〈0.答案：k〈7。求函数f（x)=x+的单调区间.分析：按照定义去判断单调性时，我们可以用口诀“同向则增，异向则减”帮助理解。解：设x1、x2∈(0,1］,且x1<x2,则f（x1)—f(x2)=（x1-x2).∵0<x1<x2≤1,∴x1-x2<0,x1x2-1〈0，x1x2〉0.∴f(x1)-f（x2)>0，即f(x)在(0，1］上是减函数，同理可证f(x）在［1,+∞）及(-∞，—1］上是增函数，f(x)在［-1，0）上是减函数。我综合，我发展8.函数f（x）是［0，+∞）上的单调递减函数,f（x）≠0且f（2)=1，求函数F（x）=f(x）+在［0，2］上的单调性.分析：函数f（x)没有给出解析式,因此对F(x)的函数值作差后，需由f（x）的单调性,确定作差后的符号。解:任取0≤x1〈x2≤2.F（x1）—F（x2)=f(x1)+—f（x2）=f(x1)—f（x2）+=［f（x1）—f(x2)］·［1］.∵0≤x1<x2≤2且f（x)是[0,+∞）上的单调递减函数,∴f(x1）〉f（x2）≥f(2）=1。∴f（x1）—f（x2）>0，f（x1）·f(x2)>1，〈1,1〉0。∴F（x1)-F(x2）>0,F(x1)>F（x2）。∴F(x）是[0,2］上的单调递减函数.9。已知f(x)是定义在［-1,1］上的函数，且f(1）=1,f(x）=-f(-x），若m、n∈［—1，1］，m+n≠0,〉0。（1）用定义证明f（x)在［—1,1]上是增函数；(2）若f（x)≤t2—2at+1对所有x∈［-1,1］,a∈［—1,1］恒成立,求实数t的范围.分析：本题给出的是抽象函数,进行适当的转化是解题的关键.（1)证明:〉0说明f（m）+f（n）与m+n同号,①如果m+n〉0，则f（m)+f（n)>0，也即m〉-n时有f(m）>—f(n)=f（—n）；②如果m+n〈0,则f（m）+f(n）〈0，也即m<—n时有f（m)〈—f(n）=f(—n);显然只要m〉-n就有f(m)>f(-n）,根据m、n的任意性知函数在［—1，1］上是增函数.（2)解：f(x）在［—1，1]上是增函数，所以f(x)≤f（1)=1,显然t=0时f（x）≤1成立;t≠0时,f(x)≤t2—2at+1对所有x∈[—1，1］,a∈[-1，1]恒成立，即转化为1≤t2—2at+1对所有a∈［-1，1］恒成立，即转化为0≤t2-2at对所有a∈[-1，1］恒成立,所以只要即可,解得t≤-2或t≥2.所以t≤—2或t=0或t≥2。10.设f（x）=x2+1,g（x)=f[f(x)］,F(x)=g（x）—λf(x），问是否存在实数λ，使F（x）在区间(-∞，）上是减函数且在区间（，0）上是增函数?分析：这是一个存在性问题,我们处理这种题型时，应当首先假设所求参数存在。解:f（x）=x2+1,g(x)=f［f(x)］,F(x）=g(x)—λf（x）,由f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)],得g（x)=(x2+1）2+1,∴F(x）=g(x)—λf(x)=x4+(2—λ)x2+2—λ。不妨设存在实数λ的值，使F（x）满足题设,则任取x1〈x2〈0，有—x1〉-x2〉0,x12〉x22，F(x1）—F（x2）=(x12-x22)(x12+x22+2-λ）.(1）当x1、x2∈（—∞,）时，∵F(x)单调递减,∴F（x1）〉F(x2）.∴x12+x22+2—λ>0，而x12+x22〉+=1，所以只需λ≤3.(2)当x1、x2∈(,0）时，∵F(x）单调递增,∴F(x1)<F(x2）。∴x12+x22+2-λ〈0，而x12+x22〈1,所以只需λ≥3.综合（1)（2）知,当λ=3时，F（x)符合题意.11.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图2-1—15（1）的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2-1—15（2）的抛物线段表示。（1）写出图（1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t）；写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）;（2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大？图2-1—15(注：市场售价和种植成本的单位:元/102分析：本题主要考查由一次、二次函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力.（1）由函数的图象，可知函数P=f(t）是分段函数,并且每一段上均是一次函数,函数Q=g（t）是二次函数,故用待定系数法求函数关系式；（2)纯收益是上市时间的函数,这个函数也是分段函数,其最值是在每段上的最大值中的最大值.解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为f（t)=由图(2）可得种植成本与时间的函数关系为g(t）=（t—150）2+100,0≤t≤300。（2）设西红柿上市t天后的纯收益为h（t），则由题意得h（t)=f（t）—g（t).h(t）=当0≤t≤200时，配方整理得h（t)=（t—50)2+100，所以,当t=50时，h(t)取得区间[0,200］上的最大值100;当200<t≤300时,配方整理得h（t)=(t—350)2+100，所以,当t=300时,h(t)取得区间（200，300]上的最大值87。5。综上所得，由100>87。5,可知h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.我创新,我超越12.如图2—1-16，正方形ABCD的顶点图2-1—16A(0,)，B(，0)，顶点C、D位于第一象限。直线l:x=t（0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧部分的面积为f(t）,则函数S=f（t)的图象大致是（）图2—1-17解析：判断函数S=f（t）的图象可以用“观察法",直线l在运动到点B之前，左侧的面积增大的速度是越来越快,而过了点B之后，左侧的面积增大的速度是越来越慢.而速度的快慢反映在图象上就是陡与缓。当然也可以根据题意求出函数解析式,用描点法画出函数图象.答案：C13.设0<x〈1，则函数y=+的最小值是____________.解析:y=，当0〈x<1时,x(1—x)=-(x)2+≤，∴y≥4。答案：414。设f（x)是定义在[0,1］上的函数,若存在x*∈(0,1),使得f（x）在［0，x*]上单调递增，在[x*，1］上单调递减，则称f（x)为［0，1］上的单峰函数，x＊为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。对任意的[0，1］上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）。求证:对任意的x1、x2∈（0，1)，x1〈x2,若f(x1）≥f（x2)，则（0，x2)为含峰区间;若f(x1）≤f(x2），则（x1,1）为含峰区间。分析：因为f（x)为［0，1］上的单峰函数，故含峰区间内必含有峰点x*,若不是含峰区间，则必然单调，而单调性便于研究自变量大小与函数值大小的相关性，因此本题可采用反证法证明.证明:设x*为f(x）的峰点,则由单峰函数定义,可知f(x