数学同步测控：比较法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基，我达标1.设a＞1＞b＞-1，则下列不等式恒成立的是（)A.＜B.＞C。a2＞D。a＞b2解析:∵—1＜b＜1，∴b2＜1＜a。答案：D2。若x＞0,y＞0,a=x3+y3,b=x2y+xy2，则a与b的大小关系是()A。a＞bB。a＜bC.a≤bD。a≥b解析：a—b=x3+y3—(x2y+xy2)=x2(x—y）+y2(y—x)=(x2-y2)(x-y)=(x—y)2（x+y),∵x＞0,y＞0，∴x+y＞0，（x—y)2≥0.∴a—b≥0.∴a≥b。答案：D3。下列关系中对任意a＜b＜0的实数都成立的是（)A.a2＜b2B。lgb2＜lga2C。＞1解析:∵a＜b＜0，∴a2＞b2＞0.又∵y=lgx在(0，+∞)上为单调增函数，∴lgb2＜lga2成立.答案:B4。已知a＞0且a≠1,P=loga(a3+1），Q=loga（a2+1）,则P、Q的大小关系是（）A。P＞QB.P＜QC。P=QD.大小不确定解析：P—Q=loga(a3+1）—loga(a2+1）=loga。当a＞1时,a3＞a2＞1，∴a3+1＞a2+1.∴＞1.∴loga＞0。∴P＞Q。当0＜a＜1时,0＜a3＜a2＜1,∴1＜a3+1＜a2+1.∴0＜＜1。∴loga＞0。∴P＞Q.综上，P＞Q.答案：A5.已知a、b、c、d为正实数且＜,则（)A.＜＜B。C.＜＜D.以上均可能解析:，∵a、b、c、d都是正实数,＜,∴ad＜bc。∴bc—ad＞0.∴＞0.∴.又∵＜0，∴。∴＜.答案:A6.已知0＜x＜1，a=，b=1+x，c=，则其中最大的是(）A.aB.bC.cD。不能确定解析：b-a=1+x—2=（1-)2,∵0＜x＜1，∴(1—）2＞0.∴b＞a。b-c=1+x—，∵0＜x＜1，∴1-x＞0。∴—＜0.∴b-c＜0，b＜c。∴a＜b＜c。答案：C7。a、b都是正数，P=，Q=,则P、Q的大小关系是()A.P＞QB.P＜QC.P≥QD。P≤Q解析：∵P2=，Q2=a+b，∴Q2—P2=(a+b)-()==(）2≥0.∴Q2≥P2。∵P＞0,Q＞0，∴Q≥P.答案：D8。若a、b∈R+,且a≠b，则下列式子:①a2+3ab＞2b2，②a5+b5＞a3b2+a2b3,③a2+b2+5≥2(2a-b）,④+＞2,其中恒成立的个数是（)A。1B.2C.3解析：①a2+3ab—2b2=(a+b)2—b2-2b2=（a+b）2—，符号不定,∴①不一定成立。②a5+b5-a3b2—a2b3=a3（a2-b2）-b3(a2-b2)=(a3-b3）（a2-b2）=(a-b）2(a+b）(a2+ab+b2）,∵a、b∈R+，∴a+b＞0。∵a≠b,∴（a—b)2＞0.又∵a2+ab+b2＞0,∴a5+b5＞a3b2+a2b3成立.∴②成立。③a2+b2+5—2（2a-b)=a2-4a+4+b2+2b+1=（a-2)2+（b+1）2＞0，∴③成立.④∵—2=又∵a、b∈R+，∴ab＞0。∵a≠b，∴（a-b）2＞0。∴＞0。∴＞2成立.综上②③④成立。答案:C我综合，我发展9.设a＞0,b＞0，m＞0，且＜，则a与b的大小关系为_______________。解析:∵＜,a＞0,b＞0，m＞0,∴(a+m）b＜a（b+m).∴bm＜am。∴a＞b.答案:a＞b10。已知a＞0，b＞0，t∈R,x=,y=a-b,则x与y的大小关系为_____________.解析：x—y=-a+b=======，∵a＞0，b＞0,∴ab＞0。又(a+b—t)2≥0，∴当a≥b时，b-a≤0，x≤y;当a<b时,b—a〉0，x>y。答案:当a≥b时,x≤y；当a〈b时,x〉y11.设x=a2b2+5，y=2ab—a2—4a，若x＞y,则实数a、b应满足的条件为_____________。解析：由x＞y，得a2b2+5—2ab+a2+4a=（ab—1)2+(a+2）2＞0，∴ab≠1或a≠-2。答案:ab≠1或a≠-212。设a＞b＞0，求证：分析:本题可用作差比较法或作商比较法证明.证法一：=∵a＞b＞0，∴ab＞0,a2+b2＞0,a-b>0，a+b〉0.∴证法二：=1+。∵a＞b＞0,∴＞0.∴1+＞1.∴。13。求证：2x4+2y4≥xy(x+y）2.分析:本题不等式的两边为多项式结构,可用作差比较法证明.证明:∵2x4+2y4-xy(x+y）2=2x4+2y4-x3y-xy3—2x2y2=x4—x3y+y4—xy3+x4-2x2y2+y4=x3（x-y)—y3(x—y)+（x2—y2）2=(x—y）（x3-y3)+（x2-y2）2=(x-y）2(x2+xy+y2）+（x2-y2）2=(x-y)2［(x+)2+y2］+(x2—y2）2≥0，∴2x4+2y4≥xy(x+y）2成立。我创新，我超越14。求证：aabb≥（a＞0,b＞0)。分析:本题为指数幂结构,可用作商比较法证明.证明:∵,若a＞b＞0,则＞1,＞0,∴（)＞1；若b＞a＞0，则0＜＜1，＜0,∴(）＞1；若a=b＞0，则=1，∴()=1.综上,aabb≥(ab）。15.已知a、b、c∈(0,+∞），且a、b、c成等比数列,求证:a2+b2+c2＞(a—b+c)2。分析：本题为带有条件的多项式结构的不等式，可用作差比较法证明.证明:∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.∵a、b、c∈（0,