第九章-曲线积分与曲面积分习题解答(详细讲解)

曲线积分与曲面积分习题详解

习题9-1

1计算以下对弧长的曲线积分：

(1)/泡，其中C是抛物线y=f上点0(0,0)到A(l,l)之间的一段弧;

解：由于C由方程

y=x2(0<x<l)

给出，因此

/=L4由=£+(x2)"dx=£x>/l+4x2dx

=—(1+4X2)3/2=-(5^-1).

⑵1='cXdS,其中。是圆/+y2=1中A(0,1)至之间的一段劣弧;

解：C=A8的参数方程为：

x=cos。,y=sin0(一?<0<^),于是

/=|cos0y](-sin0)2+cos2Odd

=「cose〃e=i+3.

⑶Rcr+y+l)由，其中C是顶点为0(0,0),A(l,0)及3(0,1)的三角形的边界;

解：L是分段光滑的闭曲线，如图9-2所示，根据积分的可加性,

那么有

外(1+y+1)办

由于。4：y=0,0<x<l,于是

ds=./(—)2+(—)2dx=Vl2+02dx=dx,

Vdxdx

故I)\(X+>+')ds=J。(x+0+V)dx=,

而AB:y=\-x,0<x<l,于是

ds=J(—)2+(—)2dx=Jl2+(-l)2dx=gdx.

\dxdx

故

h(x+y+l)ds=J。[x+(1-x)+Y\\[2dx=2拒,

同理可知3O:x=0(0<y<1),ds=/(—)2+(—)2rfy=Vo2+12Jy=dy,那么

\dydy

Ja。a+)'+1)"'=J。1°+)‘+1"=2,

综上所述心(x-y+1)/-=|+2五+|=3+2后.

22

(4)j)csjx+yds,其中C为圆周/+尸=》；

r

解直接化为定积分.q的参数方程为

x=—+—cos0,y=—sin0[0<^<2^),

222

且

2

杰=+[y'(0)]do=^d0.

于是

外Jx?+y2ds=『cosg=

2.

(5)J「fyzds,其中「为折线段ABC。，这里A,3,C,。的坐标依次为(0,0,0),

(0,0,2),(1,0,2),(1,2,3);

解如下图，

^x2yzds=j_x2yzt&+j„x2jztfc+j__x2yz4&.

仅°°1力(1,2,3)

线段M的参数方程为x=0,y=0,z=2t(0<t<l),那么C(l,0,2)1

小橙)、令+令

1A(0.0.0)

=Vo2+O2+2v/r=2Jr,

故

[—x2yzds=f0-0•2r-2dt=0

JABJ()

线段BC的参数方程为x=/,y=O,z=2(()4。W1),那么

ds=Vl2+O2+O2t/r=dt,

故

j0-2-dt=0,

线段而的参数方程为x=l,y=2f,z=2+f(OW，<1),那么

ds=VO2+22+12JZ=y/5dt,

故

\_jcyzds=.〃.&+/)•y[5dt=2石j；(2t+12)dt=g6

所以

^x2yzds=^^x2yzds+J_.x2yzds+=-\[5.

(6)[y2ds,其中「为空间曲线卜+V+z2="2'(a>o).

J「[x+z=〃，

解：「在x,y平面的投影为：x2+y2+(a-x)2=a2,即2月+尸以=o,从而

利用椭圆的参数方程得「的参数方程为

x=—a+—acos0,

22

r-Ay=-^=sin仇O<0<2TF.

V2

11万

Z=4——4COS”,

22

由于

222

ds=^x4-y+zdO=%2g6+#高呜入疗63爰3

那么

[y2ds=fa2sin2

Jr，Jo2de=

2设一段曲线y=lnx上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的

平方，求其质量.

解依题意曲线的线密度为夕=Y,故所求质量为M=J(.V/，其中

C:y=\nx(fi<a<x<b),那么C的参数方程为

x=x

(0<<7<x<Z?),

y=\nx

故

所以

M=j'—>/l+xvZr=(>+x2Vt=#(1+/)书_(l+〃)力.

3求八分之一球面f+y2+z2=i(x20,yN0,zN0)的边界曲线的重心，设曲线的密

度夕=1O

解设曲线在xOy,yOz,zOx坐标平面的弧段分别为乙、L?、4,曲线的重心坐标为

(x,y5),那么曲线的质量为M=Jds=3\tds=3x—=—.由对称性可得重心坐标

L1+Li+L3'42

———1f

x-y-z--。xds

115(""+"

=—[[xds+0+(x6fc)=—fxds

2Pxdx_2_4

一瓦一瓦一彳

故所求重心坐标为(色,A,a].

13n3TI3TI)

4.计算半径为R、中心角为2a的圆弧C对于它的对称轴的转动惯量/(设线密度

/?=!).

解：如右图建立坐标系，那么

/=]>4.

为了便于计算，利用C的参数方程

C:x=Rcost,y=Rsint(-a<t<a).

于是

/=Jcy2^=J：R?sin2z7(-^sinr)2+(/?cosr)2dr

23

=R3rsintdt=/?(cr-sinezcosez).

J-a

习题9-2

1设L为x0y面一直线y=b(b为常数),证明

(Q(x,y)6=o。

证明：设L是直线y=b上从点(％,与到点(外力)的一段，其参数方程可视为

y=y(x)-b,[a[<x<a2],

于是

［。(了》)办=「。(乂。)・0•去=0。

JLJa}

2计算以下对坐标的曲线积分：

(1)「)'&+工24'，其中C为上半椭圆x=acost,y=bsint,其方向为顺时针方向;

解［丁也+fdy=J［b2sin"•(—asinZ)+a2cos21-Ocos

=-ab1[sin3tdt+a2bf°cos3tdt=—ab2.

JnJTC3

(2)^xydx,其中L为抛物线V=x上从点A(1,-1)到点8(1,1)的一段弧。

解将曲线L的方程y2=x视为以y为参数的参数方程x=V，其中参数>从_i变到1。

因此

£xydx=J：y2y(y2)'dy=2,y4dy=|»

⑶^(x2+y2)dx+(x2-y2)dy,其中L是曲线y=1-|1-x|从对应于％=0时的点到

x=2时的点的一段弧；

解

L的方程为y=x(0<x<l),那么有

J(x2+y2)dx-^-(x2-=J2x2dx=^.

G的方程为y=2-x(lWxK2),那么

f(x2+y2心+(x2-y2)dy

JG

=J：［Y+(2-x)2］公+J：［d-(2-x)2］•(-1)公

f2*2>2

=JI2(2-x)dx=-.

所以J12+/)公+(》2-y2)6=g.

(4)^ydx+xdy,L是从点A(-a,O)沿上半圆周f+丁=/到点父区。)的一段瓠;

解

y八

4-"，0)0B(«,0)X

利用曲线的参数方程计算.£的参数方程为：x=acos0,y=asinO,在起点A(-〃,0)处

参数值取万，在终点3(〃,0)处参数值相应取0,故。从乃到0.那么

£ydx+xdy=Jasin0d(acos+acosf)d(asin0)=^2Jcos20dO=0.

(5)^x^dy-^ydx,其中L沿右半圆V+丁=/以点4©々)为起点，经过点c(4,0)

到终点2(0,-。)的路径；

解利用曲线的参数方程计算.L的参数方程为：x=acose,y=asin。，在起点A(0,a)处

参数值取在终点8(0,-。)处参数值相应取那么

Jxy2dy-x2ydx=J^^f/cos^^asin^^Casin0)-(acos0)2asin3d(acon0)

2

斤

=2/f/sin20cos26d0=--a

JI4

16)［(x+y+z)dr,其中「是螺旋线：x=cosf,y=sinf,z=，从f=0到f=兀上的一

段；

解「(x+y+z)dx=£(cosf+sinf+r)(-sint)dt=一巧兀.

(7)^j^dx+^dy-^ydz,其中L为从点A(3,2,1)到点8(0,0,0)的直线段AB；

解直线A3的方程为

y_£

3-2-7

化成参数方程得

x=3t9y=2t9z=t、/从1变到0。

所以

222

J/3办+3zy2⑥一％2ydz=j°[(3r).3+3z(2z).2-(3z).2t]dt

屋2+2=i

(8)/=(p(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dztL为椭圆周《’且从z轴

JL[x-y+z=2,

正方向看去，L取顺时针方向。

解心的参数方程为

x=cost,y=sinr,z=2-cos^+sinr,才从24变到0,

I=(z-y)dx4-(x-z)dy+(x-y)dz

r027

=(3cos，一sirrZ-2sin，-2cos。力=一24。

J2“

3设z轴与重力的方向一致，求质量为加的质点从位置(x「x，zj沿直线移到

(x2,y2,z2)时重力所作的功。

解因为力

F=(0,(),mg)

所以

W=\mgdz—mg(z-z.)

J42o

4.设「为曲线元=r,y=『，z=/上相应于，从o变到i的一段有向弧，把第二型曲线积

分£Pdx+Qdy+Rdz化成第一型曲线积分.

解(Lx=dt,dy=2tdt,dz=3rdt,故&•=Jx」+y"+z"df=+4/+%4df,于是

dx11

———~=—―,

dsJl+4产+9-也+4x2+9/

dy2t2x

————=——

ds71+47+9？51+4/+9/

dz_3产3y

dsJ1+4J+9f*Jl+4f+9y2

所示

fPdx+Qdy+Rdz=\fP—+(?—+«—

"J「＜dsdsds)

习题9-3

1当E为xOy面的一个闭区域时，曲面积分。/(x,)，,z)dS与二重积分有什么关系？

答当Z为X0y面的一个闭区域。时，Z在X0y面上的投影就是。，于是有

JJf(x,y,z)dS="/(x,y,0心dy。

ZD

2.设光滑物质曲面5的面密度为夕(x,y,z),试用第一型曲面积分表示这个曲面对于三

个坐标轴的转动惯量。，/,和人.

解在曲面S上点(x,y,z)处取一微小面积(面积元素)dS,它可看作是面密度为

0(x,y,z)的质点，其质量为dm=/?(x,y,z)dS,它对于x轴的转动惯量为

22

d/v=(>2+z)dm=p(x,y,z)(V+z)dS.

于是整个曲面S对x轴的转动惯量为

1,=JJp{x,y,z)，+z2)dS.

s

同理可知曲面S对y轴和z轴的转动惯量分别为

2222

ly=JJ0(X,j,z)(z+x)d5,I:=jjp(x,y,z)(x+y)dS.

5S

3计算曲面积分”(炉+y2MS,其中Z是

(1)锥面Z=jf+y2及平面Z=1所围成的区域的整个边界曲面;

解锥面2=户"与平面Z=1的交线为犬+丁=1,即锥面在面上的投影区

域为圆域£>„={(x,y)\x2+/<1}o而

&_xdz__y

小J/+y2QyJ.2+.2

\X2y2

1+-1—r+——2夜,

因此

jj(x2+y1)dS=jjV2(x2+y2)dxdy+jjl»(x2+y2)dxdy

£%%

=(V2+1)jj(x2+y2)dxdy=(V2+1)£dj'/rdr

=1(V2+1)^»

(2))，0z面上的直线段z=)'(04z41)绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面。

［尤=0

解旋转曲面为z=Jx?+y(04z41),故

dS=J1+(舁尸+(//小dy=+J+(JJdxdy=^Idxdy,

所以

JJ(x2+y2)dS=jjV2(x2+y2)dxdy,

z/

其中R,.={(x,y)|f+V41}是X在xOy坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分,

于是

U，+/)dS=&J：d或r2-rdr=与。

4计算以下曲面积分：

(1)JJdS,其中S是左半球面f+_/+z?=〃2,丁wo；

5

解jjd5=—x4na2=2na2.

s2

(2)JJ(孙+yz+〃)dS,其中S是锥面z=&77被柱面f+V=2依所截得的有限

s

局部；

解被截得的曲面在％Oy面上的投影区域D孙,是圆心在点(4,0)直径为2a的圆域，即

2:04T2acos。，.由曲面S的方程z=历了得g=X

旧+V

22

JJ(孙+yz+zr)dS=JJ[孙+yjf+丁+Xyjx+y^.V2dxdy

sDJ

=V2[rsin6cose+r2cos6+r2sin6^rdr

2

=8垃a[jcos*dJ=a4o

Jt

24

(注：这里要用到被积函数的奇偶性：|n(cos0+l)cos0sin0d0=Oo)

22

(3)JJdS,其中2是抛物面在尤0y面上方的局部：z=2-(x+y)tz>0；

z

解抛物面2=2-。2+>2)在工。>面上方的局部在xOy面上的投影为圆域

x2+y2<2,-=-2x,—=-2y,^

dxdy

["=股+(-2x)2+(~2y)2dxdy=||y]\+4(x2+y2)dxdy

z%%

=[Vl+4r2?xlr=-^.

JoJo3

(4)Jj(x+y+z)dS,其中2是上半球面V+V+z?=〃，zNO；

E

222

解上半球面z=yla-x-y在xOy面上的投影Dxy为圆域f+丁(/,

dz_-xdz_-y

&yja2-X2-y2^yy]a2-x2-y2'

dS=Jl+仔y+(与dxdy

})dxdy

JJ(x+y+z)dS

2

=£rcos0+rsin0+>j\-r2^-^-f_/xlr.

=a『呵:广ose+sine)

=〃]：(cos8+sin夕)ddr+〃「dg「rdr

一产JoJo

=0+7U73=7uz3.

⑸|j(X+2+£)W,其中£为平面2+2+三=1在第一卦限的局部;

JJ22234

解将曲面的方程改写为E:z=4(l—e-2),那么

23

8zC3z4,,--

-2,—=—，从而

dxdy3

图9-12

3

工在工。¥上的投影区域为£>、、.={(须丫)|04了42,04丫43-5'},故

/="。+与+$dS=JJ[x+1y+2(1-]-殍dxdy

T%

二普[可-%*叱噜.

(6)1J、dS,其中Z是柱面x2+y2=R2被平面z=0、z="所截得的局部.

x+y

解将曲面Z分成丙个曲面：与：X=QR2-丫?和弓：一二一"^-^，2'三在)仑

面上的投影区域都为={(y,z)卜R<y<R,0<z<H],先算gJydS.由于

dx-ydx

—=/,一=0,

^^R2-y2dz

从而

dS=l+(—)2+(—)2dydz=11+(/二)’=y+02dMz

VQydz'ylR2-y2

R

7^7dydz,

!与士&=!卓晨/摩=正晨7M2卷

同理可求得

所以

^+口as二辿

x+y~Px+/R

5求抛物面壳z<1)的质量，此壳的密度为p=z。

解在抛物面壳z<1)上取一小块微小曲面dS,其质量d/〃=zdS整

面上的投影2为圆域小+丁42,包=%包=了,

个抛物面壳的质量为m=JJzdS.£在xOyV

£dx8y

故

m=jjzdS=jj—(x2+y2)>/l+(x2+y2)dxdy

=gJ：d6J；"Jl+r2/dr=-^(6>/3+1).

习题9-4

1当2为无0y面的一个闭区域时，曲面积分“R(x,y,z)〃xdv与二重积分有什么关系?

£

答当X为xOy面的一个闭区域时，E的方程为z=o。假设E在xOy面上的投影区域

为%,那么

JJR(x,