线段及角的和差倍分计算

两角和与差

一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数之和，那么这个角叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数之差，那么这个角叫做另两个角的差。两条线段的和与差一般地，如果一条线段的长度是另两条线段长度的和，那么这条线段叫做另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段长度的差，那么这条线段叫做另两条线段的差。一线段的和差倍分及计算如图1，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度．教材回归(七)线段及角的和差倍分计算图1解：∵D是线段AB的中点，AB＝4cm，∴AD＝BD＝2cm.∵C是线段AD的中点，∴AC＝CD＝1cm，∴CD＝1cm.【思想方法】(1)数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算．(2)线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论．(3)对于比较复杂的题目需画出图形，可设某条线段为x，再结合已知量找出等量关系，列一元一次方程求解．在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5cm，则BC的长是(

)A．6cm

B．8cmC．2cm或6cm D．2cm或8cmD如图2，某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A、C、D、B，AC＝CD＝DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A、C、D、B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置(

)

图2A．在AB之间

B．在CD之间C．在AC之间

D．在BD之间B【解析】根据题意把M的位置分别建在AC之间时，CD之间时，DB之间时，分别算出A、B、C、D站的各一辆汽车到加油站所行驶的总路程，然后进行比较即可．变形2答图(1)当M的位置在AC之间时，A、B、C、D站的各一辆汽车到加油站所行驶的总路程＝AC＋MD＋MB＝4AC＋2MC；(2)当M的位置在CD之间时，A、B、C、D站的各一辆汽车到加油站所行驶的总路程＝CD＋AM＋MB＝4AC；(3)当M的位置在DB之间时，A、B、C、D站的各一辆汽车到加油站所行驶的总路程＝4AC＋2MD，综上，在CD之间(含C、D点)建一个加油站M时，所行驶的总路程最少，所行驶的总时间最少．

如图3，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝9，求线段DE的长．图3

如图4，线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别是CD，AB的中点，且MN＝2cm，求AB的长．图4解：设AC，CD，DB的长分别为3a，4a，5a，∴CM＝2a，AB＝12a，AN＝6a，∴MN＝AN－AM＝6a－(3a＋2a)＝a＝2cm，∴AB＝12a＝24cm.

如图5，点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为5∶11，已知CD＝10cm，求AB的长．图5(1)求AB，AC的长度．(2)求线段MN的长度．图6变形7答图∴可设BD＝4y，DC＝7y，∴BC＝DC－DB＝7y－4y＝3y＝6，解得y＝2，∴DC＝7y＝14.∵E为DC的中点，∴CE＝7，∴BE＝CE－BC＝7－6＝1.同一端点的三条射线如图，问：∠AOB+∠BOC==度∠AOC-∠BOC==度∠BOC=∠AOC-=度根据图形填空∠AOC∠AOB∠AOB1103050二角的和差倍分及计算

如图7，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．(1)如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD是多少度？(2)如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠AOB是多少度？图7【思想方法】解这种题的方法主要是寻找出要求的角与相关的角之间的和差倍分关系．通过求出相关的角，从而求出要求的角．解：(1)∠BOD＝∠BOC＋∠COD，∵OB是∠AOC的平分线，∴∠BOC＝∠AOB＝40°.∵OD是∠COE的平分线，∴∠COD＝∠DOE＝30°，∴∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝70°；例2：如图，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP的度数解：∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°+30°=120°BP平分∠ABD∴∠ABP=∠ABD=×120°=60°OABCDE

如图,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE平分线。如果∠AOC＝80°，∠COE＝70°,求∠DOB的度数．

变式1:已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分∠COB,求∠EOF的度数．ABECFO(3)如图，若∠ABC=90°,∠CBD=20°,

则∠ABD=_____.BAPCD20º根据图形填空：(1)∠ABD=∠CBD+____(2)∠CBD=∠PBD–____=∠ABD–____(4)在第(3)题的条件下，若BP平分∠ABD，则∠ABP=____，110°55°35°∠PBC=____.∠ABC∠PBC∠ABC请说明理由．AOBOBC∠AOC为∠AOB和∠BOC的和记作∠AOC=∠AOB+∠BOCOCBAOB∠AOC为∠AOB和∠BOC的差记作∠AOC=∠AOB-∠BOC若∠AOB=45°,∠BOC=30°,则∠AOC＝______∠AOC＝

∠AOB+∠BOC=____,∠AOC＝

∠AOB-∠BOC=____.顶点与一边重合探索研究75°15°分类讨论如图8，直线AB与CD相交于点O，∠AOE＝90°，∠COF＝90°.(1)图中∠AOF的余角是______________________________(把符合条件的角都填出来)；图8(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出两对：_________________________________________________．(3)如果∠AOD＝140°，那么根据____________________，可得∠BOC＝________．如果∠AOF＝70°，可得∠DOB＝_______．∠EOF，∠DOB，∠AOC∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC(答案不唯一)同角的补角相等140°20°如图9所示，已知直线AB上一点O，∠AOD＝44°，∠BOC＝32°，∠EOD＝90°，OF平分∠COD，求∠FOD与∠EOB的度数．【解析】充分运用角平分线，平角，互为余角，互为补角的概念进行解答．图9已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α，∠β.图10解：设∠COD为x，∵∠EOF＝140°，∴∠EOD＋∠FOC＝140°－x.∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，∴∠BOC＋∠AOD＝2(140°－x)．∵绕点O一周的角度是360°，∴有2(140°－x)＋100°＋x＝360°.解得x＝20°，∴∠COD＝20°.

如图10，从点O引出6条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE，∠EOF＝140°，求∠COD的度数．交流总结本节课学会了：1、两根线段的和差仍然是线段

两角的和与差仍是一个角，2、会进行有关线段、角的简单的推理说明1、如图，OC平分∠AOB，下列说法错误的是()A.∠1=∠2B.∠AOB=2∠1C.∠1+∠2=∠AOBD.∠1=∠AOBAOBC122、下列说法中正确的是()A两个角的和为180°