湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）

高二数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数除法化简复数，即可得对应的点求解.由可得，故对应的点为，位于第四象限，故选：D2.在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线方向向量的定义计算即可.由方向向量得，又因为，所以.故选：A.3.已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表：分层样本量样本平均数第一层1055第二层3075第三层1090估计总体平均数为（）A.73 B.74 C.76 D.80【答案】B【解析】【分析】利用分层抽样的平均数公式，列式计算即得.依题意，估计总体平均数为.故选：B4.设，直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出的值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.因为直线，当时，，此时，即可以推出，当时，，解得或，又时，，此时，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.5.已知点为直线上任意一点，则的最小值是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】的几何意义为直线上的点到原点的距离，由点到直线的距离公式可得．点为直线上任意一点，又的几何意义为直线上的点到的距离，故最小值为到直线的距离，即最小值为故选：C．6.如图，在异面直线上分别取点和，使，且，若，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过作，过作于，连接，根据条件得到面，从而得到，进而得，在中，利用余弦定理得到，从而可求出.如图，过作，过作于，连接，因为，所以，又，，面，所以面，又面，所以，又易知，所以，又，所以，在中，，所以，在中，，，所以，又，所以，故选：C.7.已知圆台的上､下底面圆周上的点都在同一个球面上，且圆台的上､下底面半径分别为1，3，高为4，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】球心在上、下底圆心的连线上，利用勾股定理建立等量关系，求出球心位置，即可得到球的半径，从而解出球的表面.如图：设，则∵圆台的上､下底面圆周上的点都在同一个球面上∴解得则∴表面积：故选：D8.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基底表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的长，在中，利用余弦定理的变形即可求出如图连接,则由题可知，∴，，，∴，在中,,,在中,故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在三棱锥中，分别是棱的中点，是和的交点，则（）A.四边形是平行四边形B.平面C.三棱锥的体积小于三棱锥的体积D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，证得，可判定A正确；证得，利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定B正确；设点到平面的距离为，得到点到平面的距离也为，结合锥体的体积公式，可得判定C错误；根据向量的线性运算法则，可判定D正确.对于A中，在三棱锥中，分别是棱的中点，可得且，所以，所以四边形是平行四边形，所以A正确；对于B中，在中，因为分别为的中点，可得，又因为平面，平面，所以平面，所以B正确；对于C中，设点到平面的距离为，因为为的中点，可得，又因为平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离也为，因为，，又因为分别为的中点，可得，所以，所以，所以三棱锥的体积等于的体积，所以C错误；对于D中，因为四边形是平行四边形，可得，因为，所以，则，所以D正确.故选：ABD.10.已知圆与圆相交于两点（点在第一象限），则（）A.直线的方程是B.四点不共圆C.圆的过点的切线方程为D.【答案】AC【解析】【分析】选项A，利用两圆方程相减，即可求解；选项B，联立直线的方程与圆的方程，直接求出，，进而可得中点到四点距离相等，即可求解；选项C，利用选项B中结果，先求出，进而得到切线方程的斜率为，即可求解；选项D，直接求出，，利用余弦定理即可求解.对于选项A，因为圆与圆，两圆方程相减得到，即直线的方程是，所以选项A正确，对于选项B，由和，解得或，即，，又，所以中点为，则，又，所以到四点距离相等，即四共圆，所以选项B错误，对于选项C，由选项B知，所以，得到圆的过点的切线方程为，整理得到，所以选项C正确，对于选项D，因为，，在中，由余弦定理得，所以选项D错误，故选：AC.11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（）A. B.为定值C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用函数关系求出函数的对称轴和对称中心，从而得出周期，利用周期和对称性以及已知函数值化简选项中的函数即可判断.∵，则，则关于直线对称，∵为奇函数，则，即，则，故A选项正确；∵，∴关于点对称，即，由可得，则，即，则，可知4为函数的周期，∴为定值，故B选项正确；，故C选项正确；，故D选项错误；故选：ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线在轴上的截距为1，则__________.【答案】【解析】【分析】根据条件，利用横截距的定义，即可求解.因为直线，令，得到，由题有，解得，故答案为：.13.从集合中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则得到的对数值为整数的概率是__________.【答案】【解析】【分析】古典概型需找到总的情况数做分母，满足题意得情况数做分子.从集合中任取2个不同的数共有种取法；作为一个对数的底数和真数，则得到的对数值为整数的情况有：，共2种，∴概率故答案为：14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________.【答案】9【解析】【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设，利用待定系数法得的坐标为，即可根据三点共线，结合点到直线的距离公式即可求解.令，则．由题意可得圆是关于点，的阿波罗尼斯圆，且，设点坐标为，则，整理得，由题意得该圆的方程为，即所以，解得，所以点的坐标为，所以，当时，此时最小，最小值为，因此当时，的值最小为，故答案为：9【点睛】关键点点睛：根据的形式，设，则，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点，即可利用点到直线的距离求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线的方程为，直线经过点和.（1）若，求的值；（2）若当变化时，总过定点，求.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）求出直线和的斜率，利用斜率相乘为-1求解即可；（2）将直线的方程为进行变形，然后解方程组即可得到直线经过的定点，再利用两点间的距离公式求解即可.【小问1】直线经过点和,所以，所以直线的斜率为，因为直线的斜率为，,所以,解得或.【小问2】直线的方程为可以改写为,由，解得，所以总过定点,根据两点间的距离公式,16.已知函数在区间上单调递减且，（1）求的解析式；（2）求使成立的的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意先可以确定函数的最小正周期，进而得到的值，进而代值计算，从而求解；（2）根据正弦函数的性质解不等式即可.【小问1】在区间上单调递减，且，∴fx的最小正周期解得.，由“五点法”可知..【小问2】由（1）可知，，，解得，的取值范围是.17.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若的面积为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角及特殊角三角函数值，即可求解；（2）根据条件及（1）中结果，得到，利用正弦定理得到，再利用面积公式，即可求解.【小问1】由，得到，又，，得到，即，所以，得到，又，所以，所以，解得.【小问2】因为，由（1）知，所以，由正弦定理，得到，又，所以，又的面积为，所以，整理得到，解得.18.如图，在三棱锥中，分别是棱，上的动点（不含端点），且.（1）证明：平面平面.（2）设，则当为何值时，的长度最小？（3）当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）时，的长度最小（3）【解析】【分析】（1）根据，利用线面垂直判定定理，证得平面进而由面面垂直的判定即可求解；（3）根据线面垂直的性质，结合余弦定理和勾股定理，得到的表达式，即可由二次函数的性质求解最值.（3）建立空间直角坐标系进而求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1】由于又平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2】作交于，连接，由于平面，故平面，平面，故，，故，，故又易知是等腰直角三角形，由余弦定理可得，故，故当时，此时的最小值为.【小问3】由于，故，以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴，以过点垂直与平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当时，分别为的中点，则，，所以，设平面的法向量为，则，即，取，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量为，设平面与平面的所成角为，则，故平面与平面的所成角的余弦值为.19.已知圆，点关于直线的对称点为.（1）求的方程；（2）讨论与圆的位置关系；（3）若与圆相交于两点，圆心到距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值.【答案】（1）（2）答案见解析（3）.【解析】【分析】（1）两个点关于直线对称，则线段中点直线上且两直线垂直，建立方程组，解出答案即可；（2）通过圆的方程解出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得到直线与圆的位置关系；（3）由点到线的距离得出参数的值，从而得到圆的方程，通过内切圆的关系得到半径的范围