2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测十七平面与平面平行含解析新人教B版必修第四册

PAGE十七平面与平面平行(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列命题中不正确的是 ()A.一个平面内两条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行B.假如一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行C.平行于同始终线的两个平面肯定相互平行D.假如一个平面内的多数条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行【解析】选ACD.假如一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,即两个平面没有公共点,则两平面平行,所以B正确.2.设平面α,β,直线a,b,a⊂α,b⊂α,则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的________条件. ()

A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【解析】选B.由平面与平面平行的判定定理可知,若直线a,b是平面α内两条相交直线,且a∥β,b∥β,则α∥β;当α∥β,若a⊂α,b⊂α,则a∥β,b∥β,因此“a∥β,b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.3.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对平面彼此平行的一对是 ()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G【解析】选A.如图,因为EFGH-E1F1G1H1是正方体,所以E1EGG1,所以四边形EE1G1G为平行四边形,所以EG∥E1G1,又因为EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1,所以EG∥平面E1FG1.同理可证H1E∥平面E1FG1,又因为H1E⊂平面H1EG,EG⊂平面H1EG,且H1E∩EG=E,所以平面E1FG1∥平面EGH1.4.(多选)下列命题中正确的是 ()A.两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a肯定平行于平面βB.平面α∥平面β,则α内的随意一条直线都平行于平面βC.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选BCD.选项A中直线a可能与β平行,也可能在β内,故选项A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,故选项C正确;由平面与平面平行的性质定理可知,故选项B,D正确.5.平面α∥平面β,平面γ∥平面δ,且α∩γ=a,α∩δ=b,β∩γ=c,β∩δ=d,则交线a,b,c,d的位置关系是 ()A.相互平行 B.交于一点C.相互异面 D.不能确定【解析】选A.由平面与平面平行的性质定理知,a∥b,a∥c,b∥d,c∥d,所以a∥b∥c∥d.6.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面.有以下命题:①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确命题的个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.把符号语言转换为文字语言或图形语言.可知①是面面平行的判定定理;②③中平面α,β还有可能相交,所以选B.【补偿训练】给出下列说法:①α内随意一条直线都与β平行;②直线a∥α,a∥β;③直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α;④平面α内的三点A,B,C到平面β的距离相等.其中能得出平面α与平面β平行的是 ()A.①②④ B.①C.①② D.①③④【解析】选B.依据平面与平面平行的定义及判定定理可知,只有①正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系为________.

【解析】三条平行线段共面时,两平面可能平行也可能相交,当三条平行线段不共面时,两平面可能平行也可能相交.答案:平行或相交8.如图是正方体的平面绽开图,在这个正方体中:①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是________.

【解析】以ABCD为下底面还原正方体,如图,则易判定四个命题都是正确的.答案:①②③④三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证:N为AC的中点.【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM,又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN∥C1M且AN=C1M,又C1M=QUOTEA1C1,A1C1=AC,所以AN=QUOTEAC,所以N为AC的中点.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.【证明】如图,作MP∥BB1交BC于点P,连接NP,因为MP∥BB1,所以QUOTE=QUOTE.因为BD=B1C,DN=CM,所以B1M=BN,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以NP∥CD∥AB.因为NP⊄平面AA1B1B,AB⊂平面AA1B1B,所以NP∥平面AA1B1B.因为MP∥BB1,MP⊄平面AA1B1B,BB1⊂平面AA1B1B.所以MP∥平面AA1B1B.又因为MP⊂平面MNP,NP⊂平面MNP,MP∩NP=P,所以平面MNP∥平面AA1B1B.因为MN⊂平面MNP,所以MN∥平面AA1B1B.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,不能得出平面α与平面β平行的是 ()A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α,a∥βC.直线a,b满意:b∥a,a∥α,b∥βD.异面直线a,b满意:a⊂α,b⊂β,且a∥β,b∥α【解析】选ABC.对于选项A,当α内有无穷多条直线与β平行时,平面α与平面β可能平行,也可能相交;对于选项B,若直线a∥α,a∥β,则平面α与平面β可能平行,也可能相交;对于选项C,若b∥a,a∥α,b∥β,则平面α与平面β可能平行,也可能相交;对于选项D,当a⊂α,b⊂β,且a∥β,b∥α时,可在a上取一点P,过点P作直线b′∥b,由线面平行的判定定理,得b′∥β,再由面面平行的判定定理,得α∥β.【补偿训练】已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,肯定能得出平面α与平面β平行的是 ()A.平面α内有一条直线与平面β平行B.平面α内有两条直线与平面β平行C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D.平面α与平面β不相交【解析】选D.选项A,C不正确,因为两个平面可能相交;选项B不正确,因为平面α内的这两条直线必需相交才能得到平面α与平面β平行;选项D正确,因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.2.已知a,b,c,d是四条直线,α,β是两个不重合的平面,若a∥b∥c∥d,a⊂α,b⊂α,c⊂β,d⊂β,则α与β的位置关系是 ()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.以上都不对【解析】选C.依据图1和图2可知α与β平行或相交.3.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的β ()A.只能作一个 B.至少可以作一个C.不存在 D.至多可以作一个【解析】选D.因为a是平面α外的一条直线,所以a∥α或a与α相交,当a∥α时,β只有一个;当a与α相交时,β不存在.4.如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与PRQ所在平面平行的是 ()【解析】选A.A中,因为PQ∥AC∥A1C1,所以可得PQ∥平面A1BC1,又RQ∥A1B,可得RQ∥平面A1BC1,从而平面PQR∥平面A1BC1.B中,作截面可得平面PQR∩平面A1BN=HN(H为C1D1中点),如图:C中,作截面可得平面PQR∩平面HGN=HN(H为C1D1中点),如图:D中,作截面可得QN,C1M为两相交直线,因此平面PQR与平面A1MC1不平行,如图:二、填空题(每小题4分,共16分)5.若平面α∥平面β,a⊂α,下列说法正确的是________.

①a与β内任始终线平行;②a与β内多数条直线平行;③a与β内任始终线不垂直;④a与β无公共点.【解析】因为a⊂α,α∥β,所以a∥β,所以a与β无公共点,④正确;如图,在正方体中,令线段B1C1所在的直线为a,明显a与β内多数条直线平行,故②正确;又AB⊥B1C1,故在β内存在直线与a垂直,故①③错误.答案:②④【补偿训练】设α,β是两个不重合的平面,a,b是两条不同的直线,给出下列条件:①α,β都平行于直线a,b;②a,b是α内两条直线,且a∥β,b∥β;③若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β.其中可判定α∥β的条件的序号为__________.

【解析】①中,只有当a与b相交或异面时,才能判定α∥β;②中,只有a,b相交时才能判定α∥β;③中,由于a,b相交,设a,b确定平面γ,则γ∥α,γ∥β,所以α∥β.答案:③6.如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A1B1C1分别在平面α,β内,线段AA1,BB1,CC1相交于点O,点O在α,β之间,若AB=2,AC=1,OA∶OA1=3∶2,且BA⊥AC,则△A1B1C1的面积为________.

【解析】因为相交直线AA1,BB1所在的平面和两平行平面α,β分别交于AB,A1B1,所以AB∥A1B1.同理可得AC∥A1C1,BC∥B1C1,所以△ABC和△A1B1C1的三个内角相等,所以△ABC∽△A1B1C1,且QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTES△ABC=QUOTE×QUOTE×2×1=QUOTE.答案:QUOTE7.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合平面,现给出六个命题.①QUOTE⇒a∥b;②QUOTE⇒a∥b;③QUOTE⇒α∥β;④QUOTE⇒α∥β;⑤QUOTE⇒a∥α;⑥QUOTE⇒a∥α,其中正确的命题是________.(填序号)

【解析】①是平行线的传递性,正确;②中a,b还可能异面或相交;③中α,β还可能相交;④是平面平行的传递性,正确;⑤还有可能a⊂α;⑥也是忽视了a⊂α的情形.答案:①④【补偿训练】已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b肯定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β肯定相交.其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上).

【解析】①错.a与b也可能异面;②错.a与b也可能平行;③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点;④对.由已知及③知:a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面;⑤错.a与β也可能平行.答案:③④8.在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1平行吗?________(填“是”或“否”).

【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形,所以AB∥A1B1,因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1,同理可证:BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以平面ABC∥平面A1B1C1.答案:是三、解答题(共38分)9.(12分)如图所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将△PDC折起,使点P∉平面ABCD.求证:平面PAB∥平面EFG.【证明】因为PE=EC,PF=FD,所以EF∥CD,又因为CD∥AB,所以EF∥AB,又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB,同理可证EG∥平面PAB.又因为EF⊂平面EFG,EG⊂平面EFG且EF∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.10.(12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证:平面A1EB∥平面ADC1.【证明】由棱柱性质知,B1C1∥BC,B1C1=BC,又D,E分别为BC,B1C1的中点,所以C1EDB,则四边形C1DBE为平行四边形,因此EB∥C1D,又C1D⊂平面ADC1,EB⊄平面ADC1,所以EB∥平面ADC1.连接DE,同理,EB1BD,所以四边形EDBB1为平行四边形,则EDB1B.因为B1BA1A(棱柱的性质),所以EDA1A,则四边形EDAA1为平行四边形,所以A1E∥AD,又A1E⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,所以A1E∥平面ADC1.因为A1E⊂平面A1EB,EB⊂平面A1EB且A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC1.11.(14分)如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2