专题2.5二次函数的图象及公共点交点问题大题培优专练-2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍

20232024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.5二次函数的图象及公共点交点问题大题培优专练班级：_____________姓名：_____________得分：_____________一．解答题（共30小题）1．（2022秋•西城区校级期中）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），顶点坐标是（1，﹣4）；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是﹣4＜y＜5．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【解答】解：（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．解得x1＝﹣1，x2＝3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…图象如图所示：；（3）当﹣2＜x≤1时，﹣4≤y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3，综上所述，﹣4≤y＜5．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．2．（2021秋•东城区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；（2）二次函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，则△ABC面积为3；（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．【答案】见试题解答内容【分析】（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，求得抛物线与x轴的交点坐标，再确定抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；（2）根据交点坐标，得到AB＝2，OC＝3，然后根据三角形面积公式即可求得；（3）结合二次函数图象，写出当0≤x≤3时对应的y的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），如图，（2）∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝2，OC＝3，∴S△ABC=12AB•OC=12×2故答案为：3；（3）由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．3．（2021•渝中区模拟）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是张华同学研究函数y=x2（1）请写出下列表中m、n的值，并在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；x…﹣3-5﹣2-3﹣1-10121322523…y…2-3﹣3-50341m0-5n-32…（2）根据所画函数的图象，写出该函数的两条性质：①函数图象关于y轴对称；②函数有最小值﹣3．（3）若直线y＝kx﹣1，（k＞0）与函数y=x2-7，(x≤-2或x≥2)-x2+1，(-2【答案】（1）m=34．n＝﹣（2）函数图象关于y轴对称；函数有最小值﹣3．（3）0＜k≤1．【分析】（1）把x=12、x＝（2）函数图象关于y轴对称；函数有最小值﹣3．（3）把（﹣2，﹣3），（2，﹣3）代入y＝kx﹣1求得k的值，根据函数的图象即可得到符合题意的k的取值范围．【解答】解：（1）当x=12时，m＝﹣x2+1=-1当x＝2时，n＝x2﹣7＝4﹣7＝﹣3．如图所示：；（2）由图象可知：①函数图象关于y轴对称；②函数有最小值﹣3；故答案为：函数图象关于y轴对称；函数有最小值﹣3．（3）把（﹣2，﹣3）代入y＝kx﹣1得，﹣3＝﹣2k﹣1，解得k＝1，把（2，﹣3）代入y＝kx﹣1得，﹣3＝2k﹣1，解得k＝﹣1，根据函数图象，直线y＝kx﹣1，（k＞0）与函数y=x2-7，(x≤-2或x≥2)-x2+1故答案为0＜k≤1．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确的识别图象是解题的关键．4．（2019•海曙区一模）在坐标平面内，以x轴上的1个单位长为底边按一定规律向上画矩形条．现已知其中几个矩形条的位置如图，其相应信息如表单位底位置…﹣3～﹣2﹣2～﹣1﹣1～00～11～22～33～4…矩形条高…1……3.5……15…若所有矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上．（1）根据所给信息，直接写出这个函数图象上的三个点的坐标（﹣3，1），（0，3.5），（3，15）．（2）求这个函数解析式；（3）若在坐标平面内画出所有这样依次排列的矩形条，求这些矩形条中面积最小矩形条的面积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，表格中给定矩形左边长对应的数为在函数图象上的点的横坐标，高即为点的纵坐标，因此得到对应的三个坐标．（2）我们已学的函数有一次函数、反比例函数、二次函数，需逐个计算排除．由于函数图象经过y轴上的点（0，3.5），故排除反比例函数；取其中两个点求一次函数解析式，把第三个点的横坐标代入解析式，发现得到的纵坐标与实际不符，说明这三点没有在一条直线上，故排除一次函数；所以只能是二次函数，设一般式用待定系数法即求出函数解析式．（3）所有矩形的底边长即宽相等，为1，只有求出最矮的矩形的高即求出最小矩形条的面积．把二次函数解析式配方得顶点式，可得x=-73时，y有最小值y=79．但由于矩形底边左右端点对应的都是整数，即函数图象只取x为整数的点，故需考虑x=-73在﹣【解答】解：（1）∵矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上，且﹣3～﹣2高为1，0～1高为3.5，3～4高为15∴对应点坐标为（﹣3，1），（0，3.5），（3，15）故答案为：（﹣3，1），（0，3.5），（3，15）．（2）∵函数图象过点（0，3.5）∴此函数不可能为反比例函数假设是一次函数y＝kx+d，把点（﹣3，1）和（0，3.5）代入，∴-3k+d=10+d=3.5解得：当x＝3时，y=56x+7故这三点构成的函数不是一次函数设此函数为二次函数y＝ax2+bx+c∴9a-3b+c=1c=3.59a+3b+c=15∴这个函数解析式为y=12x2+（3）∵二次函数y=12x2+∴当x=-73时，y有最小值y故最小矩形在﹣2～﹣1之间，当x＝﹣2时，y=12（﹣2）2+73•（﹣∴其对应的矩形条高最矮，为5∴最小矩形条的面积为56【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数的最值问题，二次函数的应用．解题关键是（1）读懂题意，找准点的横坐标；（2）逐步排除反比例函数和一次函数可能性；（3）求二次函数顶点后发现实际取不到最值对应的横坐标，要找最值所在矩形的位置．5．（2021•襄阳模拟）有这样一个问题：探究函数y=16x小东根据学习函数的经验，对函数y=16x下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=16x3-2x（2）如表是y与x的几组对应值x…﹣4﹣3.5﹣3﹣2﹣101233.54…y…-8-732831160-11-8m74883…则m的值为-32（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的两条性质①当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；②当x＞2时，y随x的增大而增大．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据函数解析式是整数即可得到结论；（2）把x＝3代入函数解析式即可得到结论；（3）根据描出的点，画出该函数的图象即可；（4）根据函数图象即可得到结论．【解答】解：（1）函数y=16x3-故答案为：任意实数；（2）把x＝3代入y=16x3-2故答案为：-3（3）如图所示；（4）根据图象得，①当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；②当x＞2时，y随x的增大而增大．故答案为：①当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；②当x＞2时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查了二次函数的图象，函数自变量的取值范围，二次函数的性质，正确的画出函数的图形是解题的关键．6．（2022秋•白云区校级期末）平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．（1）求抛物线的对称轴（用含有m的式子表示）：（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围：（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B．结合图象，求△ABO的面积最大时m的值．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x＝m；（2）﹣3＜m＜﹣1；（3）面积最大时，m=-3【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，从而可得答案；（2）应用配方法得到顶点A坐标，讨论点A与直线l以及x轴之间位置关系，确定m取值范围；（3）在（2）的基础上表示△ABO的面积，根据二次函数性质求面积最大值与m的值即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝m；（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，∴抛物线顶点坐标为A（m，2m+2），∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），∴当直线l在x轴上方时2m+2＜此时不等式组无解，当直线l在x轴下方时2m+2＞解得﹣3＜m＜﹣1；（3）由（1）得：点A在点B上方，则AB＝2m+2﹣m+1＝m+3，∵﹣3＜m＜﹣1，∴△ABO的面积S=1∵-1∴当m=--32【点评】本题考查了二次函数的图象性质，以及分类讨论、数形结合的数学思想，理解题意，构建不等式组与关于面积的二次函数关系式是解本题的关键．7．（2023•海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2m2x+2（m≠0）与y轴交于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B．（1）求B点的横坐标（用含m的式子表示）；（2）已知点P（m+2，2），Q（0，m+2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【答案】（1）B点的横坐标为2m；（2）m的取值范围为﹣2≤m＜0或0＜m≤2．【分析】（1）先求得点A的坐标为（0，2）和抛物线的对称轴x＝m，据此即可求得B点的横坐标；（2）抛物线的对称轴为直线x＝m，则点B的坐标为（2m，2），可得点P在直线AB上，分m＞0时，m＜0两种情况讨论，画出图象，结合图象列出不等式组，即可求解．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，则点A的坐标为（0，2），抛物线y＝mx2﹣2m2x+2（m≠0）的对称轴为x=-b∵点B与点A关于直线x＝m对称，∴B点的横坐标为2m；（2）：由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝m，点B的坐标为（2m，2），∵点P的坐标为（m+2，2），∴点P在直线AB上，①如图，当m＞0时，2m＞0，m+2＞2，m+2＞m，∴B（2m，2）在A（0，2）右侧，且Q（0，m+2）在y轴上A（0，2）的上方，P（m+2，2）在抛物线的对称轴右侧，∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+2（m≠0）与线段PQ恰有一个公共点，结合图象可得，当点P在点B右侧（或与点B重合）时满足题意，即xP≥xB时，∴m＞解得0＜m≤2；②当m＜0时，2m＜0，m+2＜2，m+2＞m，即Q（0，m+2）在y轴上A（0，2）的下方，P（m+2，2）在抛物线的对称轴右侧，如图，点B（2m，2）在A（0，2）左侧，∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+2（m≠0）与线段PQ恰有一个公共点，结合图象可得，点P，点A的横坐标xp，xA满足xP≥xA，∴m＜0m+2≥0，解得﹣2≤m综上所述，m的取值范围为﹣2≤m＜0或0＜m≤2．【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．8．（2023•遵义模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝mx2﹣x+1．（1）若点（2，3）在二次函数的图象上，求二次函数的表达式；（2）当m=14时，二次函数y＝mx2﹣x+1的图象与y＝t（t为常数）的图象只有一个交点，求（3）已知点A（﹣1，0），B（1，1），若二次函数y＝mx2﹣x+1的图象与线段AB有两个不同的交点，直接写出m的取值范围．【答案】（1）二次函数的表达式为y＝x2﹣x+1；（2）t＝0；（3）m的取值范围为m≤﹣2或1≤m＜【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）求得抛物线的顶点即可求得；（3）分m＞0和m＜0两种情况来讨论，结合图象作出判断．【解答】解：（1）∵点（2，3）在二次函数y＝mx2﹣x+1的图象上，∴3＝4m﹣2+1，解得m＝1，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x+1；（2）当m=14时，二次函数关系式为y=14x2∵y=14（x﹣2）∴抛物线的顶点为（2，0），∵二次函数y＝mx2﹣x+1的图象与y＝t（t为常数）的图象只有一个交点，∴t＝0；（3）①如图1，当m＜0时，x＝﹣1时，y＝mx2﹣x+1＝m+1+1≤0，解得m≤﹣2，所以m≤﹣2，②如图2，∵点A（﹣1，0），B（1，1），∴直线AB为y=1令12x+12=mx2﹣x+1，整理得mx2∵二次函数y＝mx2﹣x+1的图象与线段AB有两个不同的交点，∴Δ＝（-32）2﹣4m×解得m＜9当m＞0时，x＝1时，y＝mx2﹣x+1＝m﹣1+1≥1，解得m≥1，∴1≤m＜∴m的取值范围为m≤﹣2或1≤m＜【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．9．（2023•东城区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线M：y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）和直线l：y=1（1）抛物线M的对称轴是x＝2；（2）若直线y＝n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标记为x1，x2，直线y＝n与直线l的交点横坐标记为x3．若当﹣1＜n＜0时，总有x1＜x3＜x2，请结合函数图象，求a的取值范围．【答案】（1）x＝2；（2）-13≤a【分析】（1）由抛物线解析式直接求出抛物线对称轴即可；（2）画出符合要求的函数图象草图，根据图象列出不等式，即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）抛物线M：y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）的对称轴为直线x=--4a2a故答案为：x＝2；（2）①当a＞0时，抛物线M：y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）中，当y＝0时，ax2﹣4ax+4a+1＝0，∵Δ＝（﹣4a）2﹣4a（4a+1）＝﹣4a＜0，∴一元二次方程ax2﹣4ax+4a+1＝0无实数解，∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）开口向上，∴抛物线与直线y＝n（﹣2＜n＜﹣1）没有交点，不符合题意，∴此种情况不存在；②当a＜0时，抛物线M：y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）中，当y＝0时，ax2﹣4ax+4a+1＝0，∵Δ＝（﹣4a）2﹣4a（4a+1）＝﹣4a＞0，∴一元二次方程ax2﹣4ax+4a+1＝0有两个不等实数根，∴抛物线与直线y＝n（﹣2＜n＜﹣1）有两个交点，它们的横坐标记为x1，x2，如图所示：当y＝﹣2时，由l：y=12x-32得：1解得：x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝ax2﹣4ax+4a+1＝9a+1；∵直线y＝n与直线l的交点横坐标记为x3．若当﹣1＜n＜0时，总有x1＜x3＜x2，∴可得到：9a+1≥﹣2解得：a≥-1∴a的取值范围为-13≤a【点评】本题考查了抛物线的对称轴，二次函数图象与性质，解不等式组等知识，关键在于根据函数图象得出关于a的不等式．10．（2023•灵宝市二模）在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线的表达式为y＝﹣x2+2nx﹣n2．（1）当该抛物线过原点时，求n的值；（2）坐标系内有一矩形OABC，其中A（4，0），B（4，﹣3）．①直接写出C点坐标；②如果抛物线y＝﹣x2+2nx﹣n2与该矩形的边有2个交点，求n的取值范围．【答案】（1）n＝0；（2）①（0，﹣3）②-3＜n≤0【分析】（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2nx﹣n2得﹣n2＝0，即可得到n的值；（2）①由四边形OABC是矩形得到OA∥BC，OC∥AB，由A（4，0），B（4，﹣3）即可得到点C的坐标；②由y＝﹣x2+2nx﹣n2＝﹣（x﹣n）2得到抛物线开口向下，顶点在x轴上，顶点坐标为（n，0），分情况讨论和数形结合即可得到答案．【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2nx﹣n2得﹣n2＝0，解得n＝0；（2）①∵四边形OABC是矩形，∴OA∥BC，OC∥AB，∵A（4，0），B（4，﹣3）．∴C点坐标为（0，﹣3）；②∵y＝﹣x2+2nx﹣n2＝﹣（x﹣n）2，∴抛物线开口向下，顶点在x轴上，顶点坐标为（n，0），当对称轴右半部分的抛物线经过点C时，抛物线与矩形OABC的边恰有1个交点，此时﹣（0﹣n）2＝﹣3，解得n1=-3当抛物线经过原点时，抛物线与矩形OABC的边恰有2个交点，此时n3＝0，∴当-3＜n≤0时，抛物线与矩形的边OABC当抛物线过点A时，抛物线与矩形的边OABC恰有2个交点，此时﹣（4﹣n）2＝0，解得n4＝4，当对称轴左侧的抛物线经过点B时，抛物线与矩形OABC的边恰有1个交点，此时﹣（4﹣n）2＝﹣3，解得n5=4-3∴当4≤n＜4+3时，抛物线与矩形OABC综上所述，抛物线y＝x2﹣2nx+n2与该矩形的边有2个交点时n的取值范围为-3＜n≤0【点评】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的图象和性质、矩形性质，数形结合和准确计算是解题的关键．11．（2023•光山县三模）已知二次函数y＝mx2+6mx+b与x轴交于A，B两点（其中A在B的左侧），且AB＝4．（1）求点A和点B的坐标；（2）若m＜0，当﹣5≤x≤1时，y有最大值2，则当﹣5≤x≤1时，求y的最小值；（3）点C的坐标为（﹣4，﹣6），D（0，﹣6）．若抛物线y＝mx2+6mx+b与线段CD恰有一个交点，求m的取值范围．​【答案】（1）A点坐标为（﹣5，0），B点坐标为（﹣1，0）．（2）y的最小值为﹣6．（3）m=-32或m＞2或【分析】（1）求出对称轴，由A，B两点是抛物线与x轴的交点，以及AB＝2，对称轴直线x＝﹣3可以求出两点坐标；（2）把解析式化成顶点式，根据﹣5≤x≤1，y有最大值2，即可求得m的值，进一步求得函数的最小值；（3）先求出线段CD的解析式，再根据抛物线与线段CD恰有一个交点，分a＞0和a＜0两种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝mx2+6mx+b＝m（m+3）﹣9m+b，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣3．∵AB＝4，设A点坐标（p，0），B点坐标（q，0），∴q﹣p＝4．p+q＝﹣6，p＝﹣5，q＝﹣1．∴A点坐标为（﹣5，0），B点坐标为（﹣1，0）．（2）∵y＝mx2+6mx+5m＝m（x+3）2﹣4m．∵m＜0，当﹣5≤x≤1，x＝﹣3时，y有最大值．则﹣4m＝2，解得m=-1∴y=-1∵﹣5≤x≤1，则当x＝1时，y有最小值，即y=-1∴y的最小值为﹣6．（3）∵y＝mx2+6mx+5m＝m（x+3）2﹣4m，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4m），若y＝mx2+6mx+5m与线段CD恰有一个交点，当m＞0时，①线段CD恰好过抛物线顶点，∴﹣4m＝﹣6．即m=3②抛物线经过点C时，m（﹣4）2+6×（﹣4）m+5m＝﹣6．∴m＝2，此时抛物线与线段CD有两个交点，③当x＝﹣4时，m（﹣4）2+6×（﹣4）m+5m＜﹣6．抛物线与线段CD有一个交点，解得：m＞2；如图①，当m＜0时，5m≤﹣6，即m≤-65，抛物线与线段CD有一个交点，如图综上：m=-32或m＞2或【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是通过二次函数的解析式求抛物线的对称轴与坐标轴的交点以及顶点坐标．12．（2023•济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．【答案】（1）y=-38x2+34x+3，F（4，0）；（2）（﹣4，﹣6）；（【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，令y＝0即可求得F点的坐标；（2）设直线CE的表达式为y＝kx+b，直线过点C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得点P(t-2，（3）求出顶点坐标，再分情况解答即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点C（2，3），E（﹣2，0），得3=4a-4a+c0=4a+4a+c解得a=-3∴抛物线表达式为y=-3当y＝0时，-3解得x1＝﹣2（舍去），x2＝4，∴F（4，0）；（2）设直线CE的表达式为y＝kx+b，∵直线过点C（2，3），E（﹣2，0），得3=2k+b0=-2k+b解得k=3∴直线CE的表达式为y=3设点Q(t，-38t2+34t+3)将P(t-2，-38t解得t1＝﹣4，t2＝4（舍去），∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）；（3）将E（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c得c＝﹣8a，∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，∴顶点坐标为（1，﹣9a），①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，∴0＜﹣9a＜3，解得-1②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点，a+2a-8a＜解得-综上所述，a的取值范围为-13＜a＜【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键．13．（2023•藁城区二模）已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+a+m（a，m均为常数，且a≠0），G交y轴于点C（0，﹣3），点P在抛物线G上，连接CP，且CP平行于x轴．（1）用a表示m，并求抛物线G的对称轴及P点坐标；（2）当抛物线G经过（﹣1，3）时，求G的表达式及其顶点坐标；（3）如果把横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．如图，当a＞0时，若抛物线G位于线段CP下方的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个“整点”，求a的取值范围．【答案】（1）m＝﹣3﹣a，x＝1，P（2，﹣3）；（2）y＝2x2﹣4x﹣3，（1，﹣5）；（3）5＜a≤6．【分析】（1）将C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+a+m可得m＝﹣3﹣a，利用x=-b2a可求对称轴，根据C点坐标及CP平行于x轴可求（2）将（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3可得解析式，再配成顶点式可得顶点坐标；（3）由a＞0，抛物线G位于线段CP下方的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个“整点”，且C（0，﹣3），P（2，﹣3），可知区域内的整点为（1，﹣4），（1，﹣5），（1，﹣6），（1，﹣7），（1，﹣8），由此可求a的取值范围．【解答】（1）将C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+a+m得：m＝﹣3﹣a，对称轴为：x=--2a∵CP平行于x轴．∴点P与点C关于对称轴对称，∴P（2，﹣3）；（2）将（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得：a+2a﹣3＝3，∴a＝2，∴G的表达式为：y＝2x2﹣4x﹣3，∵y＝2x2﹣4x﹣3＝2（x﹣1）2﹣5，∴其顶点坐标为：（1，﹣5）；（3）∵a＞0，抛物线G位于线段CP下方的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个“整点”，且C（0，﹣3），P（2，﹣3），∴区域内的整点为（1，﹣4），（1，﹣5），（1，﹣6），（1，﹣7），（1，﹣8），将（1，﹣8）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得：a＝5，将（1，﹣9）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得：a＝6，∴5＜a≤6．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法求二次函数解析式以及整点问题，熟练掌握各知识点并能灵活运用是解决本题的关键．14．（2023•西城区校级三模）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．（1）当抛物线过点（2，﹣3）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；（2）求这个二次函数的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（a，a）和B（b，﹣b），当a＜0，b＞0时，总有a+b＞0，求m的取值范围．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（0，﹣3）；（2）x＝m；（3）m＞0．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，令x＝0，求得函数值，即可求得抛物线与y轴的交点；（2）利用对称轴公式求得即可；（3）由题意可知|a|＜|b|，即可判断抛物线的对称轴在y轴的右侧，即m＞0．【解答】解：（1）∵抛物线过点（2，﹣3），∴﹣3＝4﹣4m﹣3，∴m＝1，∴抛物线为：y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴抛物线与y轴交点（0，﹣3）；（2）∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，∴对称轴为直线x=--2m2×1（3）∵a+b＞0，∴b＞﹣a，∵a＜0，b＞0，∴|a|＜|b|，∵点A（a，a）和B（b，﹣b）是抛物线y＝x2﹣2mx﹣3上的两点，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴m＞0．【点评】本题考查了抛物线与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15．（2023•路北区二模）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线C：y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．（1）若抛物线C的图象经过点（3，1）．①写出C的对称轴，并求a的值及C与y轴的交点坐标；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，直接写出a的取值范围．​【答案】（1）①a＝2，C与y轴的交点坐标为（0，7）；（2）92（3）19＜a【分析】（1）①把点（3，1）代入二次函数的解析式求出a，进而可求出C与y轴的交点坐标；②判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，分别求解即可．【解答】解：（1）①∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）经过（3，1），∴1＝a﹣1，∴a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣1；当x＝0时，y＝2×（0﹣2）2﹣1＝7，∴C与y轴的交点坐标为（0，7）；②∵y1＝y2，∴M，N关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x＝2，且x2﹣x1＝3，∴x1=12，x2当x=12时，y1＝2×（12-2）2∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离=72+（2）若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，∴x1+3＞2，∴x1＞﹣1，∵x2﹣x1＝3，∴x1≤1∴﹣1＜x1≤1∵函数的最大值为y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，∴y1﹣（﹣1）＝1，∴a=1∴94≤（x1﹣2）2＜∴19＜a若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，∵x1≥1∴12≤x1＜∵函数的最大值为y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，∴y2﹣（﹣1）＝1，∴a=1∵12≤x1＜∴32≤x1+1＜∴94≤（x1+1）2＜∴19＜a综上所述，19＜a【点评】本题考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．16．（2023•桥西区校级模拟）如图，抛物线L：y＝mx2+nx+2（m≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B仍然在抛物线L上．（1）求抛物线L的对称轴，并用含m的代数式表示n；（2）当抛物线L的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；（3）若抛物线与x轴相交于P、Q两点，且PQ⩽3，求m的取值范围．【答案】（1）x＝2，n＝﹣4m；（2）y=12（x﹣2）（3）12【分析】（1）由题意可知平移后点A的坐标为（4，2），根据对称性可得对称轴为x＝2，再由x=-n2m=2可得n＝﹣（2）由题意可得抛物线L的顶点坐标为（2，0），设抛物线表达式为：y＝a（x﹣2）2，将A（0，2）代入即可；（3）分m＜0和m＞0分别计算即可．【解答】解：（1）抛物线L与y轴交于点A（0，2），将点A向右平移4个单位长度，得到点B（4，2），∴抛物线L的对称轴为直线：x=4+0即：x=-n∴n＝﹣4m．（2）∵抛物线L的顶点在x轴上，∴抛物线L的顶点坐标为（2，0），设抛物线表达式为：y＝a（x﹣2）2，将A（0，2）代入得，4a＝2，解得：a=1∴当抛物线L的顶点在x轴上时，该抛物线的解析式为：y=12（x﹣2）（3）①当m＜0时，抛物线开口向下，不妨设点P在点Q的左侧，由（1）知，抛物线L与y轴的交点为（0，2）．∵抛物线L的对称轴为直线x＝2，∴XP＜0，xQ＞4．∴PQ＝|xQ﹣xP|＞4，∵PQ≤3，∴此种情况不符合题意．②当m＞0时，抛物线开口向上，由（2）知，抛物线L：y＝mx2﹣4mx+2．在x轴上关于抛物线的对称轴x＝2对称且距离为3的两点的坐标为(12，∵PQ≤3．∴当x=12时，∴m⩽8∵抛物线与x轴有两个交点，y＝4m﹣8m+2＜0．∴m＞∴12【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．17．（2023•新华区校级二模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的抛物线．（1）若输入b＝4，c＝﹣1，得到如图1所示的抛物线．求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B的坐标；（2）已知点P（﹣1，10），Q（4，0）．①若输入b，c的值后，得到如图2的抛物线恰好经过P，Q两点，求出b，c的值；②淇淇输入b，嘉嘉输入c＝﹣2，若得到抛物线与线段PQ有公共点，直接写出淇淇输入b的范围．【答案】（1）顶点C为（﹣2，﹣5），抛物线与x轴的交点A，B的坐标分别为（﹣2-5，0），（﹣2+5，（2）①b=-5c=4；②b≤﹣11或b≥-【分析】（1）把解析式化成顶点时即可求得顶点C的坐标，令y＝0，解方程即可求得抛物线与x轴的交点坐标；（2）①利用待定系数法即可求得；②根据题意得出点P在抛物线下方或点Q在抛物线的下方，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵b＝4，c＝﹣1，∴二次函数解析式y＝x2+4x﹣1，∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，∴顶点C为（﹣2，﹣5），令x2+4x﹣1＝0，解得x＝﹣2±5∴抛物线与x轴的交点A，B的坐标分别为（﹣2-5，0），（﹣2+5，（2）①∵抛物线恰好经过P，Q两点，P（﹣1，10），Q（4，0），∴1-b+c=1016+4b+c=0解得b=-5c=4②要想使抛物线与线段PQ有公共点，则点P在抛物线下方或点Q在抛物线的下方，∴当x＝﹣1时，y≥10或x＝4时，y≥0，∴1﹣b﹣2≥10或16+4b﹣2≥0，解得b≤﹣11或b≥-7【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．18．（2023•方城县模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c．（1）若该二次函数的图象经过（1，3）和（4，0）两点．①求这个二次函数的解析式；②若经过点A（﹣1，1）的直线y＝kx+b与该二次函数位于第一象限的图象只有一个交点，请在图中结合函数图象，求b的取值范围；（2）若c＝4a+4，该二次函数位于x轴上方的图象与x轴构成的封闭图形（不包括边界）有7个整点，直接写出a的取值范围．【答案】（1）①y＝﹣x2+4x；②b的取值范围是0＜b＜45或b＝7﹣2（2）a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1．【分析】（1）①将（1，3）和（4，0）代入函数解析式求解．②把（﹣1，1）代入y＝kx+b得y＝（b﹣1）x+b，然后由二次函数解析式可得抛物线顶点（2，4），经过点（0，0），（4，0），将坐标分别代入直线解析式求解．（2）根据抛物线对称轴为直线x＝2，通过数形结合可得区域内有七个整点分别为（1，1），（2，1），（3，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），进而求解．【解答】解：（1）①将（1，3）和（4，0）代入y＝ax2﹣4ax+c得a-4a+c=316a-16a+c=0解得a=-1c=0∴y＝﹣x2+4x；②把A（﹣1，1）代入y＝kx+b得1＝﹣k+b，整理得k＝b﹣1，∴y＝（b﹣1）x+b，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点为（2，4），把x＝0代入y＝﹣x2+4x得y＝0，∴抛物线经过原点，将（0，0）代入y＝（b﹣1）x+b得b＝0，将（4，0）代入y＝（b﹣1）x+b得5b﹣4＝0，解得b=4∴0＜b＜4令（b﹣1）x+b＝﹣x2+4x，整理得x2+（b﹣5）x+b＝0，Δ＝（b﹣5）2﹣4b＝0，解得b＝7±26∵抛物线的顶点为（2，4），∴b＝7﹣26，∴b的取值范围是0＜b＜45或b＝7﹣2（2）∵y＝ax2﹣4ax+4a+4＝a（x﹣2）2+4，∴抛物线顶点坐标为（2，4），a＞0时，抛物线开口向上，与x轴无交点，不符合题意．a＜0时，抛物线开口向下，如图，当区域内包含整点（1，1），（2，1），（3，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3）时满足题意，当抛物线过点（1，2）时，则a﹣4a+4a+4＝2，解得a＝﹣2，当抛物线过（1，3）时，则a﹣4a+4a+4＝2，解得a＝﹣1，∴该二次函数位于x轴上方的图象与x轴构成的封闭图形（不包括边界）有7个整点，a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，通过数形结合求解．19．（2023•肇源县二模）如图，抛物线y＝x2﹣6x+c与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），点A在点B的右侧，与y轴交于点C．（1）若直线AC的解析式为y＝﹣x+5，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，过点B的直线与抛物线y＝x2﹣6x+c交于另一点P．若直线AC与直线BP平行，求点P的坐标；（3）点M（﹣1，﹣4），N（6，﹣4）为平面直角坐标系内两点，连结MN．若抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出c的取值范围．【答案】﹣11≤c＜﹣4或c＝5．【分析】（1）通过直线AC的解析式为y＝﹣x+5求得点C（0，5），即可求得c＝5；（2）利用抛物线解析式求得点B的坐标，根据题意设直线BP的解析式为y＝﹣x+b，代入点B（1，0）即可求得b，令直线BP的解析式与抛物线的解析式联立，解方程组即可求得点P的坐标；（3）分类讨论抛物线顶点落在MN上，点M和点N落在抛物线上的临界值，通过数形结合求解．【解答】解：（1）在y＝﹣x+5中，令x＝0，得y＝5．∴点C（0，5）．∵抛物线y＝x2﹣6x+c与y轴交于点C，∴c＝5．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5．（2）在y＝x2﹣6x+5中，令y＝0，得x2﹣6x+5＝0．解得x1＝1，x2＝5．∵点A在点B的右侧，∴点B（1，0）．∵直线AC与直线BP平行，直线AC的解析式为y＝﹣x+5，∴设直线BP的解析式为y＝﹣x+b．∵直线BP经过点B（1，0），∴﹣1+b＝0．解得b＝1．∴直线BP的解析式为y＝﹣x+1．令﹣x+1＝x2﹣6x+5．解得x1＝1（舍去），x2＝4．把x＝4代入y＝﹣x+1，得y＝﹣3．∴点P（4，﹣3）．（3）∵y＝x2﹣6x+c＝（x﹣3）+c﹣9，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，抛物线顶点坐标为（3，c﹣9），当抛物线顶点落在MN上时，c﹣9＝﹣4，解得c＝5，满足题意．把M（﹣1，﹣4）代入y＝x2﹣6x+c得﹣4＝1+6+c，解得c＝﹣11，把N（6，﹣4）代入y＝x2﹣6x+c得﹣4＝36﹣36+c，解得c＝﹣4，∴﹣11≤c＜﹣4满足题意，综上所述，c的取值范围为﹣11≤c＜﹣4或c＝5．【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合的方法求解．20．（2023•郴州模拟）定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“和零点”．例如，求函数y＝x﹣2图象的“和零点”．解：∵“和零点”的横坐标与纵坐标互为相反数，∴“和零点”在函数y＝﹣x的图象上，∴y=-xy=x-2，解得：∴函数y＝x﹣2图象的“和零点”是（1，﹣1）．根据上述材料，解答下列问题：（1）求函数y=1（2）若函数y＝x2﹣3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，求k的值；（3）如图，点A，B是函数y＝﹣x2+4x+6图象的“和零点”，点C是函数y=12x-2图象的“和零点”，过点C作CD⊥x轴，垂足为D．连接AB，AD，BD【答案】（1）（43，-（2）k的值为1；（3）143【分析】（1）根据定义列出方程，解方程即可得出结论；（2）根据定义列出方程，由题意可知x2﹣3x+k+x＝0有两个相等的实数根，利用Δ＝0求得k的值即可；（3）解方程﹣x2+5x+6＝0求得A、B的坐标，由（1）可知C（43，-43），利用S△ABC＝S△ACD+S【解答】解：（1）由题意得：12x﹣2+x＝0解得：x=4∴12x﹣2=-∴函数y=12x-2图象的“和零点”为（4（2）∵函数y＝x2﹣3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，∴x2﹣3x+k+x＝0有两个相等的实数根，方程整理得x2﹣2x+k＝0，则Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1，故函数y＝x2﹣3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，k的值为1；（3）由题意得﹣x2+4x+6+x＝0，即﹣x2+5x+6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，∴A（﹣1，1），B（6，﹣6），由（1）可知C（43，-∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD=1【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，三角形面积．本题是阅读型题目，理解新定义并熟练应用是解题的关键．21．（2023•永兴县二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=y(x≥0)-y(x＜0)，那么称点例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．（1）在点E（0，0），F（2，5），G（﹣1，﹣1），H（﹣3，5）中，F、H的“关联点”在函数y＝2x+1的图象上；（2）如果一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是N（m，2），求点M的坐标；（3）如果点P在函数y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，求实数a的取值范围．【答案】（1）F、H；（2）点M（﹣5，﹣2）；（3）a的取值范围为2≤a＜22．【分析】（1）点E（0，0）的“关联点”是（0，0），点F（2，5）的“关联点”是（2，5），点G（﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），点H（﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），将点的坐标代入函数y＝2x+1，看是否在函数图象上，即可求解；（2）当m≥0时，点M（m，2），则2＝m+3；当m＜0时，点M（m，﹣2），则﹣2＝m+3，解方程即可求解；（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，而﹣2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值（直线y＝4）与最小值（直线y＝﹣4）直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，只要求出关键点即可求解．【解答】解：（1）点E（0，0）的“关联点”是（0，0），点F（2，5）的“关联点”是（2，5），点G（﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），点H（﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），将点的坐标代入函数y＝2x+1，得（2，5）和（﹣3，﹣5）在此函数图象上，故答案为：F、H；（2）当m≥0时，点M（m，2），则2＝m+3，解得：m＝﹣1（舍去）；当m＜0时，点M（m，﹣2），﹣2＝m+3，解得：m＝﹣5，∴点M（﹣5，﹣2）；（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，而﹣2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值（直线y＝4）与最小值（直线y＝﹣4）直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，即﹣4＝﹣a2+4，解得：a＝±22（舍去负值），观察图象可知满足条件的a的取值范围为2≤a＜22．【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型．22．（2022秋•安徽期末）抛物线y1=12（x﹣h）2+k与y2＝a（x+3）2﹣1交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC＝（1）求a的值．（2）若点（2，m），（3，n）及（4，p）都在抛物线y1上，判断m，n，p的大小关系，并说明理由．（3）求PQ的值．【答案】（1）a=1（2）m＜n＜P；（3）PQ=13【分析】（1）由B（3，3），BC＝10，得C（﹣7，3），把C（﹣7，3）代入y2＝a（x+3）2﹣1即可求得a；（2）利用y2求出A（1，3），即可可得抛物线y1=12（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝2，利用二次函数的性质即可得出可得m＜n＜（3）利用抛物线解析式求出P（0，92），Q（0，54），即可求得PQ【解答】解：（1）∵B（3，3），BC＝10，∴C（﹣7，3），把C（﹣7，3）代入y2＝a（x+3）2﹣1得：3＝a（﹣7+3）2﹣1，解得a=1（2）∵a=1∴y2=14（x+3）2﹣令y＝3得，3=14（x+3）2﹣解得x＝1或x＝﹣7，∴A（1，3），∴h=1+32∴抛物线y1=12（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝∵点（2，m），（3，n）及（4，p）都在抛物线y1上，抛物线y1=12（x﹣h）2+∴m＜n＜P；（3）∴，把B（3，3）代入y1=12（x﹣2）2+k，得k∴y1=12（x﹣2）2令x＝0得y=9∴P（0，92在y2=14（x+3）2﹣1中，令x＝0得y∴Q（0，54∴PQ=9【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数相关的性质．23．（2022秋•南关区校级期末）平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：y'=y(x≥0)-y(x＜0)则称点例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣4，﹣3）的“可控变点”坐标为（﹣4，3）．（2）若点P在函数y＝﹣x2+18的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y是7，求出“可控变点”Q的横坐标．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案，（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解（1）∵点（﹣4，﹣3），x＝﹣4＜0，∴y'＝﹣y＝3，即点（﹣4，﹣3）的“可控变点”坐标为（﹣4，3），故答案为：（﹣4，3）；（2）由题意得y＝﹣x2+18的图象上的点P的“可控变点”必在函数y′=y(x≥0)∵“可控变点”Q的纵坐标y的是7，当﹣x2+18＝7时，解得x＝±11，∴点P坐标为（11，7），当﹣x2+18＝﹣7时，解得x＝±5，∴点P坐标为（﹣5，﹣7），∴“可控变点”Q的横坐标为：11或﹣5．【点评】本题是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．24．（2023•白云区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+1与y轴交于点A，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，顶点为点C．（1）写出二次函数的对称轴及点B的坐标；（2）当△ABC的面积为3时，求a的值；（3）如图，点P（1，0），M（1，﹣3），N（4，﹣3），当抛物线y＝ax2﹣4ax+1与△PMN的边只有2个公共点时，求a的取值范围．【答案】（1）x＝2，B（4，1）；（2）38或-（3）13＜a＜【分析】（1）由对称轴的公式可求出对称轴，求出抛物线与y轴的交点即A的坐标，根据对称即可求出B的坐标：（2）先求出C点的坐标，求线段AB的长度，由面积可推出三角形的高，进而可得12×4×|﹣4a+1﹣1|＝3，即可求出（3）分成a＞0和a＜0两种情况来讨论，当a＞0时，分别求出当抛物线过P点、C在MN上时、抛物线过M点时，对应a的值，从而可求出a的范围；当a＜0时，结合图象可知此时抛物线与三角形三边无交点．【解答】解：（1）∵该抛物线的对称轴为x=--4a2a=2，点A（0，1∴点B的坐标为（4，1）．（2）把x＝2代入y＝ax2﹣4ax+1得，y＝﹣4a+1，∴C（2，﹣4a+1），∵AB＝4，△ABC的面积为3，∴12×4×|﹣4a+1﹣1|＝解得a=38或（3）若a＞0：当抛物线过点P时，将P（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+1，得a=1当a＞1当C在MN上时，此时﹣4a+1＝﹣3，解得，a=1∴当13当抛物线过点M时，将M（1，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+1，得a=4即当a＞4综上所述，当13＜a＜若a＜0时，﹣4a+1＞0，即C点在AB的上方，此时抛物线与三角形三边没有交点；综上所述，当13＜a＜【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．本题解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想，找到临界情况，从而进行求解．25．（2023•零陵区模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+9的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求A、B两点的坐标（用含m的式子表示）；（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当﹣3≤x≤﹣1时，这个新函数G的函数值y随x的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围；（3）已知直线l：y＝1，点C在二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+9的图象上，点C的横坐标为2m，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+9的图象在C、B之间的部分记为M（包括点C，B），图象M上恰有一个点到直线l的距离为2，直接写出m的取值范围．【答案】（1）A（m﹣3，0），B（m+3，0，）；（2）m≥2或﹣4≤m≤﹣3时，当﹣3≤x≤﹣1时，这个新函数G的函数值y随x的增大而减小；（3）当-6＜m＜3或m≥10时，图象M上恰有一个点到直线l【分析】（1）令y＝0，用m表示出x的值，要注意点A在点B的左侧求出两点坐标；（2）求出新函数G函数值y随x的变化规律，根据题意列出关于m的不等式，求出m的取值范围；（3）求出C的坐标，明确图象M的位置，判断图象M与哪条直线相交，根据题意列出关于m的不等值，求出m的取值范围．【解答】解：（1）令y＝0，﹣x2+2mx﹣m2+9＝0，解得x＝m﹣3或m+3，∵点A在点B的左侧，∴A（m﹣3，0），B（m+3，0）．（2）二次函数对称轴为：x＝m，经翻折后函数G的变化为：当x≤m﹣3时，函数G的函数值y随x的增大而减小，当m﹣3＜x≤m时，函数G的函数值y随x的增大而增大，当m＜x≤m+3时，函数G的函数值y随x的增大而减小，当x＞m+3时，函数G的函数值y随x的增大而增大，∴若当﹣3≤x≤﹣1时，这个新函数G的函数值y随x的增大而减小，则m﹣3≥﹣1，解得m≥2，或m+3≤-1m≥-3，解得﹣4≤m≤﹣3综上：m≥2或﹣4≤m≤﹣3时，当﹣3≤x≤﹣1时，这个新函数G的函数值y随x的增大而减小．（3）当x＝2m时，y＝9﹣m2，∴C（2m，9﹣m2），当点C在点B的左侧，那么图象M在x轴的上方，∴图象M上恰有一个点到直线l的距离为2应过直线y＝3，令y＝3，解得x＝m-6或m+∵恰有一个点到直线l的距离为2，∴m-6＜2m＜m解得-6＜m＜当点C在点B的右侧，那么图象M在x轴的下方，∴图象M上恰有一个点到直线l的距离为2应过直线y＝﹣1，令y＝﹣1，解得x＝m-10或m+∵恰有一个点到直线l的距离为2，∴m+10≤2解得m≥10综上：当-6＜m＜3或m≥10时，图象M上恰有一个点到直线l【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，二次函数图象与几何变换，解决问题的关键是找准临界点，利用特殊点列出正确的不等式．26．（2023•萧山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）过点（2，1）；（1）求b（用含a的式子表示）；（2）抛物线过点M（﹣2，m），N（1，n），P（3，p），①试证明：（m﹣1）（n﹣1）＜0；②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．​【答案】（1）b＝﹣2a；（2）①见解析；②-13＜a≤-18【分析】（1）将（2，1）代入抛物线表达式得：1＝4a+2b+1，即可求解；（2）①（m﹣1）（n﹣1）＝8a×（﹣a）＝﹣8a2＜0，即可求解；②当a＞0时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，进而求解；当a＜0时，同理可解．【解答】解：（1）将（2，1）代入抛物线表达式得1＝4a+2b+1，解得b＝﹣2a；（2）由（1）得，抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax+1，则抛物线的对称轴为直线x＝1，将点M、N、P的坐标代入抛物线表达式得：m＝4a+4a+1＝8a+1，n＝﹣a+1，p＝3a+1，①（m﹣1）（n﹣1）＝8a×（﹣a）＝﹣8a2＜0，②当a＞0时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，即3a+1＞0且﹣a+1≤0，解得：a≥1；当a＜0时，同理可得：点N、P在x轴上方，即3a+1＞0且8a+1≤0，解得：-13＜综上，-13＜a≤-18【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．27．（2023•枣阳市模拟）如图，平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（2，3），顶点为D的抛物线y＝ax2﹣2ax+2交y轴于点C．（1）如图，若a＝1时．①直接写出抛物线的解析式、直线AB的解析式，求出点C，D的坐标；②当2m﹣1≤x≤m+1时，y的最大值为3，求m的值；（2）当抛物线与线段AB有两个交点时，求a的取值范围．【答案】（1）①抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+2，直线AB的解析式为y＝2x﹣1，C的坐标为（0，2），D的坐标为（1，1）．②m的值为m=2或m=（2）当抛物线与线段AB有两个交点时，a的取值范围是a≤-112且【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②分情况讨论：1＜2m﹣1≤x≤m+1、2m﹣1≤x≤m+1＜1两种情况，求解即可．（2）利用抛物线与直线的交点的求法进行解答即可．【解答】解：（1）①∵a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+2，∵顶点为D的抛物线y＝x2﹣2x+2交y轴于点C．∴当x＝0时，y＝2，∴C的坐标为（0，2），∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴D的坐标为（1，1）．∵点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（2，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A（﹣4，0），B（2，3）代入得-4k+b=02k+b=3解得k=2b=-1∴直线AB的解析式为y＝2x﹣1，答：抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+2，直线AB的解析式为y＝2x﹣1，C的坐标为（0，2），D的坐标为（1，1）．②抛物线y＝x2﹣2x+2对称轴为直线x＝1，当1＜2m﹣1≤x≤m+1时，即1＜m≤2，x＝m+1时，y的最大值为3，此时y＝（m+1）2﹣2（m+1）+2＝3，解得m=2或m=-当2m﹣1≤1≤m+1时，有两种情况：当1﹣（2m﹣1）≤m+1﹣1时，x＝m+1，函数值最大，y＝3，此时23≤m≤1，则y＝（m+1）2﹣2（m+1）+2＝解得m=±2当1﹣（2m﹣1）≥m+1﹣1时，x＝2m﹣1，函数值最大，y＝3，此时0≤m≤23，则y＝（2m﹣1）2﹣2（2m﹣1）+2＝解得m1=2-当2m﹣1≤x≤m+1＜1，即m＜0时，x＝2m﹣1时，y的最大值为3，（2m﹣1）2﹣2（2m﹣1）+2＝3，解得m=2±∴m的值为m=2或m=答：m的值为m=2或m=（2）抛物线y＝ax2﹣2ax+2＝a（x﹣1）2+2﹣a，∴D（1，2﹣a），即抛物线的对称轴为直线x＝1．当a＞0时，把B（2，3）代入y＝ax2﹣2ax+2中，得4a﹣4a+2＝3，∴当a＞0时，抛物线y＝ax2﹣2ax+2与线段AB不可能存在两个交点．当a＜0时，抛物线与AB有一个交