专题02一元二次方程（难点）（原卷版）

专题02一元二次方程（难点）一、单选题1．关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（

）A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则 D．若，则1＜a＜02．对于一元二次方程，下列说法：①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④3．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（

）A．0 B． C． D．4．下列给出的四个命题，真命题的有（

）个①若方程两根为1和2，则；②若，则；③若，则方程一定无解；④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．若a，b，c均为非零实数，且，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．9 D．136．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（）A．若，则有一种围法B．若，则有一种围法C．若，则有两种围法D．若，则有一种围法7．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（

）①当时，若，则②无论x取任何实数，等式都恒成立，则③若，，则④满足的整数解共有8个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．关于x的方程，给出下列四个题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根其中假命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．39．已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设，，，其中n，a是常数，（

）A．若，则点A在点B，C之间 B．若，则点A在点B，C之间C．若，则点C在点A，B之间 D．若，则点C在点A，B之间10．根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（

）①化简一共有8种不同的结果；②的最大值是5；③若，（为正整数），则当时，；④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题11．直线：、为常数分别与轴、轴交于点、，动点的坐标为（为常数）．（1）当时，有且仅有一个满足条件的的值，使得点在直线上；（2）若有且仅有两个符合条件的的值，使得点到直线的距离为1，则的取值范围是．12．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为．13．已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是．14．对于实数a、b，定义运算“*”；，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是．15．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则．16．如图，，，，…是分别以，，，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数的图象上，则的值为．17．已知正实数满足，则．18．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是．三、解答题19．阅读下面的例题：分解因式：．解：令得到一个关于的一元二次方程，，．解得，；．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：(1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为；(2)将代数式分解因式．20．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解这个方程得：，．当时，，∴；当时，，∴所以原方程有四个根：，，，．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．(2)若，求的值．(3)利用换元法解方程：．21．阅读材料，解答问题：【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．【材料2】已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程的解为；(2)间接应用：已知实数，满足：，且，求的值．22．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则，．(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．(3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值．23．已知关于x的方程．求证：不论为何实数时，方程有固定的自然数解，并求这自然数；设方程另外的两个根为、，求、的关系式；若方程的三个根均为自然数，求的值．24．已知关于x的方程，其中p，q都是实数．(1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值．(2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值．(3)是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，说明理由．25．概念引入定义：平面直角坐标系中，若点满足：，则点叫做“复兴点”．例如：图①中的是“复兴点”．(1)在点，，中，是“复兴点”的点为；初步探究(2)如图