（人教A版）2021年新高二数学暑假讲义-第十讲 函数的图象

第十讲函数的图象

【基础知识】

1.利用描点法作函数的图象

步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期

性、对称性等）；（4）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等）,

描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

⑴平移变换

|吃）+」|

上个单位

移

ML<’：：啊n丑…）।

下

移MAX））个单位

I

（2）对称变换

y=*x）的图象——关于x轴对称一»y=—外力的图象:

y=./（x）的图象——关于例对称»y=»—x）的图象；

y=/（x）的图象-----关丁:原点对称——“=—由一x）的图象；

y=a\a>Q,且的图象一~关了月•线”二工对称一丫=1。&式（a>0,且。#1）的图象.

（3）伸缩变换

纵坐标不变

y=*x）-----------------------;------------^y=Aax）.

各点横坐标变为原来的/（«>0）倍

横坐标不变

y=*x）--------------------------------------=A/U）.

各点纵坐标变为原来的A（A>0）倍

（4）翻折变换

x轴下方部分翻折到上方

产/U）的图象——;-、二二的图象;

x轴及上方部分不变

y轴右侧部分翻折到左侧

y=/U)的图象一一，.二：八十玷„八"»y=@D的图象.

原y轴左侧部分去掉，右侧不变

［微点提醒］

记住几个重要结论

(1)函数y=_/(x)与y=/(2a—x)的图象关于直线x=a对称.

(2)函数y=Xx)与y=2/?一式2a—x)的图象关于点(a,加中心对称.

(3)若函数y=/(x)对定义域内任意自变量x满足：fia+x)—J(a—x),则函数y=/(x)的图象关于直

线x=a对称.

【考点剖析】

考点一作函数的图象

【例1】作出下列函数的图象：

/nw

；(2)y=|log2(x+l)|；(3)y=x2-2W-l.

【解析】(1)先作出y=(3的图象，保留图象中x20的部分，再作出y=QJ的图象

中x>0部分关于y轴的对称部分，即得)，=住了的图象，如图①实线部分.

⑵将函数y=log”的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到

函数y=|log2a+1)|的图象,如图②.

X^-TJC—1,x20,

（3）力=。+2r—…,且函数为偶函数，先用描点法作出［0,+8)上的图象，再根据对

称性作出(-8,0)上的图象，得图象如图③.

规律方法作函数图象的一般方法

(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描

出图象的关键点直接作出.

(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象

变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

考点二函数图象的辨识

【解析】(1)法一易知g(x)=x+学为奇函数，故y=l+x+学的图象关于点(0,1)对

称，排除C；当xG(0,1)时，>->0,排除A；当尤=无时，y=l+n,排除B,选项D满足.

法二当x=l时，川)=l+l+sinl=2+sin1>2,排除A,C；又当x—+8时，y--Foo,排

除B,而D满足.

(2)/(x)=2x2-ew,xG［-2,2］是偶函数，

又/2)=8-e2e(0,1),排除选项A,B；

x=2—r

当x20时，y()2^e,/(X)=4JC—

所以八0)=—1<0,/(2)=8-e2>0,

所以函数/》)在(0,2)上有解，

故函数;(x)在「。，2］上不单调，排除C,故选D.

规律方法1.抓住函数的性质，定性分析：

⑴从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数

的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从周期性，判断图象的循环往复；（4）从函数的奇偶性，

判断图象的对称性.

2.抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

考点三函数图象的应用

【例3—1】已知函数y（x）=x|x|-2x,则下列结论正确的是（）

AKx）是偶函数，递增区间是（0,+°°）

B«r）是偶函数，递减区间是（一8,1）

是奇函数，递减区间是（一1,1）

D：*x）是奇函数，递增区间是（一8,0）

【解析】将函数/U）=x|x|—2x去掉绝对值得

x2—2x,x20,

fix）—'[—x,2—2x,x<0,

画出函数兀r）的图象，如图，观察图象可知，函数7U）的图象关于原点对称，故函数为奇函

数，且在（一1,1）上是减少的.

【例3—2】已知函数y=/U）的图象是如图所示的折线ACB,且函数g（x）=log2（x+l）”，则不

等式_/U）2g（x）的解集是（）

A.{x|-U0}

B.{x|-lWxWl}

C.{x|-1}

D.{x|—l<rW2}

【解析】令g(x)=y=log2(x+l),

作出函数g(x)图象如图,

x+y=2,[x=1

由〈得〈9

ly=log2(x+1),[y=l.

，结合图象知不等式於)，k)g2(x+l)的解集为{x|—l<xWl}.

【例3—3】已知函数；(x)=Lc一其中加>0.若存在实数b,使得关于X的方程

氏x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是.

【解析】在同一坐标系中，作y=/(x)与y=〃的图象.

下，心

~~ojmx

当x>m时，X2—2mx+47M=(x—/n)2+47n—nz2,

...要使方程./u)=力有三个不同的根，则有4，”一加2<加，

即加―3加>0.又加>0,解得m>3.

规律方法1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，

其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质

与图象特征的对应关系.

2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程火x)=g(x)的根就是函数式处与g(x)

图象交点的横坐标；不等式/u)<g(x)的解集是函数兀行的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标

的集合，体现了数形结合思想.

【真题演练】

d+；,g(x)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

1.(2021•浙江高考真题)已知函数/(x)

y

A-jx)+g(x)4B-if*

c.y=/(x)g(x)

【答案】D

【详解】

y=f(x)+g(x)-^=x2+sinx,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除A；

对于A,

y=/(x)_g(x)_；=x2—sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B;

对于B,

对于C,y=/(x)g(x)=sinx,则y'=2xsinx+lxIcosx,

<4,

71,，)O(外1)V2

当x时，y=­x——十一+一x—>0,与图象不符，排除C.

2(164J2

故选：D.

2.(2021.全国高三其他模拟)函数/(x)=)

【详解】

因为〃—x）=（—x）-sin（T）+n=-Fsinx+-=一/（力，所以〃x）是奇函数，所以/（x）的图

（一町IX）

象关于点（0,0）对称，故排除B、C；当X€（0,4）时，dsinx＞。，L＞0,所以当xe（O,〃）时，/（x）＞0,

排除D.

故选：A.

3.（2021.宁波中学高三其他模拟）函数y（x）=（2"-2）sin2”的图象大致为（）

\/\/1X

/V|「v

【答案】D

【详解】

函数八》）的定义域为（f,o）5°，s），且

（2-2）g）=_（25）sin2x=

-XX

所以“X）为奇函数，由此排除BC选项，

当y（x）=（2'-2'）sin2x=0此时方程的解为x=竽，仅wZ,Z70）

x2

（24-2-^）sinf2x—4（24--工

当T时,佃，」.」一=£

->0

4兀2&

所以A选项错误，故D选项正确.

4.（2021•陕西咸阳市•高三其他模拟）已知函数/。）=1|/一4何€R),则y=/(x)的大致图象不可能

为（）

A.B.

x

yy

c.W,D.

(Ax

【答案】C

【详解】

①当a=0时，/(x)=N，则A符合，C不符合；

②当a〉0时，f2(x)^\x2-a\=y2,

若丁＞0,即&或时，则y2=/-。，即/一丁2=。，则其图象为双曲线在x轴上方的部

分，

若丁＜。，即一五V工＜一右时，则)/=一一+。，即x?+y2=。，则其图象为圆在X轴上方的部分，

故B符合；

③当〃＜0时，f\x)=x2-a=y2,即其图象表示为双曲线的上支，故D符合.

5.(2021•全国高考真题(文))已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|T2x-l|.

(2)若/(x+a)2g(x),求a的取值范围.

【详解】

2-x,x<2

(1)可得f(x)-\x-2\-<cc，画出图像如下:

x-2,x>2

,画出函数图像如下:

(2)f(x+a)=|x+a-2\,

如图，在同一个坐标系里画出〃x),g(x)图像,

y=/(x+a)是>=/(%)平移了时个单位得到,

则要使/(x+a)Ng(x),需将y=/(x)向左平移，即a>0,

当y=/(x+")过时，|：+a-21=4,解得a=U或一上（舍去），

22

则数形结合可得需至少将y=f(x)向左平移^1…八11

一个单位，.\a>一.

2

['[Ay=g(x)

、,\/「

y=f{x+d)x'37/

Ax）

11、一/111/11111AX

-5-AJ-3-2--1Q12345

-----------------1-4-

【过关检测】

1.函数/(x)=e"sinx(f为常数，t>0,e为自然对数的底数）的图象可能为（）

【答案】B

【详解】

Q/(0)=0,排除A选项；

当OVXVTT时，sinx>0.则/(x)=ettsinx>0,排除D选项；

因为，>0,所以—>1，根据指数函数的性质，对于%>0,e%>e-%>0,

因为卜inxo|=卜in（一七）|,故九-,排除C选项.

2.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（）

【答案】A

【详解】

设圆锥尸。底面圆半价r,高4,注水时间为r时水面与轴P。交于点。'，水面半径AO=x,此时水面高

度PO'=/z,如图：

Xhr

由垂直于圆锥轴的截面性质知，一二—,即1=一・力，则注入水的体积为

rHH

V=-7rx2h=-•A)2•h=•h',

33H3H2

令水匀速注入的速度为叭则注水时间为，时的水的体积为V=近,

T.日俎3,32r

33H2Vt,J3HV3

J是得——--h=vtn/z=———=>〃="———•<Jt，

3H2"2Y2

而r,H,u都是常数，即是常数,

所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是〃=J竺i.W，0<?<巴二"，h'=J竺^]>0.

V7vr23v\7tr23

函数图象是曲线且是上升的，随r值的增加，函数〃值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓,

A选项的图象与其图象大致一样，B,C,D三个选项与其图象都不同.

故选：A

【答案】C

【详解】

因为/(%)=期加定义域为R,

又f(-x)=-xsin(-x)=Asinr=f(x),

所以函数/(X)是偶函数，故排除AD,

结合选项BD,只需求解函数f(x)与直线y=尤在%>。时交点的横坐标,

7T

令jcsinx=x,xwO,解得sinx=l即工=耳+2匕i,

TT

当2=0时，x=—>

2

所以函数/(力与直线y=x在％>0时的第一个交点的横坐标为

结合函数图象可知，选项c符合题意,

故选：c.

4.函数/(%)=—；^—L的图象是()

ev+e'

【详解】

易知xeR,iTijf(-x)=+-r=--f—=-f(x),所以函数/(x)为奇函数,

ex+exex+ex

这样可排除A,8选项，由f(l)=O,可知选项D符合题意.

故选：D.

5.以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是()

A.尸中(x2+l)e*

B.y=-----------

2xIxl

exex

C.y=——D.

'I2x|-V=27

【答案】C

【详解】

A项为奇函数，排除,

(..1x

B项，当x>(),yrl+we\.2e>2,排除

D项x=2时y=—<1,排除

8

故选：C

—2x,-l<x<0

已知函数

6./(x)=«r,则下列图象错误的是()

\]X,Q<X<\

A.

B.

C.

D.y=/(—x)的图象:

【答案】C

【详解】

—2x,-1<xK0

先作出〃x)=«厂的图象，如图所示,

Vx,O<x<1

对于B,y=/(x-l)的图象/(%)是由的图象向右平移一个单位得到，故5正确;

对于C,当x>0时，，丁=/(附的图象与〃可的图象相同，且函数y=/(|x|)的图象关于y轴对称，故

c错误;

对于。，y=/(「x)的图象与f(x)的图象关于>轴对称而得到，故。正确.

故选：C.

7.函数了=/%..2在［-2,2］上的图象大致为()

【答案】A

【详解】

/(-%)=0问COS(-X)=洲cosX=/(X),故函数/(X)为偶函数,

又〃0)=eMcos0=l>0,排