（人教A版）2021年新高一数学暑假讲义-第七讲 集合的运算（补集）

第七讲：集合的运算(补集)

鞫【学习目标】

1.了解全集的含义及其符号表示；

2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集；

3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.

一、知识点：全集

(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.

(2)记法：全集通常记作U.

二、补集

对于一个集合4,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为

自然语言

集合A相对于全集U的补集，记作

符号语言={x|xeU且工金A}

图形语言

(5g【考点剖析】

考点一：补集的计算(基础)

小］例1.已知全集〃={*62|*€2},集合A={-2-1,2},则2A=()

A.{-5,04,4,7}B.{0,1,3,4,7}C.{-5,0,3,4,7}D.{0,3,4,5,7}

【答案】C

【详解】

U={xeZ|aJez}={-5,-2,-1,0,2,3,4,7},

.•启/={-5,0,3,4,7}.

故选：c.

变式训练1：已知全集为实数集R,集合A={x[(x+l)(2—x)N0},则条A=()

A.1x|-l<x<2}B.{x|x<-l或x>2}

C.{%|工<-1或x>2}D.{x|-l<x<2}

【答案】B

【详解】

由(x+l)(2-x)20,解得一1WXW2，

A={x|-l<x<2},

I.3RA={xI%v-1或x>2},

故选：B.

变式训练2：已知集合。={m―1<%<3},A={X|X2-2X-3<0},则()

A.{-1}B.{3}C.{-1,3}D.0

【答案】C

【详解】

由已知4={工|工2—2*—3<0}={划一1<%<3},所以。,4={-1,3}.

故选：C.

变式训练3：.若集合4={乂3/一3—10<()},则々A=()

A.{x|x<-§或x>2}B.{x|或x22}

C.[x|—~<x<2}D.{x\~<x<2}

【答案】B

【详解】

.1-3^T4={X|X<-1-UJ4X>2|.

故选：B.

考点二：补给的运算（提升）

例2.已知集合。=H,A={x|x>l},B={x[-l<x<2},贝iJ(Q,A)n8=()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}

C.{x|-l<x<l}D.{x|-l<x<l}

【答案】C

【详解】

由题设知：4/A={x|xVl},而8={幻―1<犬<2},

A(^A)n5={x|-l<x<l}.

故选：C

变式训练1：设集合U={0,1,3,5,6,8},A={3,5,8},B={2},则®A)U3=()

A.{0,1,2,6}B.{0,3,6}C.{1,2,5,8}D.0

【答案】A

【详解】

由题设知：令4={0,1,6},而8={2},

.•«4)118={0,1,2,6}.

故选：A.

变式训练2：设集合A={X|X2«4},B={X|X<0},则今(AUB)=()

A.{x}x>2}B.{x\x>2}

C.{x|尤<-2或0<x<2}D.{x|xW-2或0<xW2}

【答案】B

【详解】

集合A={x\x2<4}=|x|(x+2)(x-2)<o!=|x|-2<x<21,5={x|x<0},

故AU8={MXW2},则5(AU3)={X|X>2}.

故选：B.

变式训练3：已知全集0=尺4=卜|x2-4x_2i>o},B={xeN|x>3},则(电A)nB=()

A.{x|3<%,7}B.{x|-3熟k3}C.{4.5,6}D.{4,5,6,7}

【答案】D

【详解】

好4={%1♦一4%—2啜0}={w一3/7},

.・.他A)c8={xeN|3<匕,7}={4,5,6,7}

故选:D.

考点三：交、并、补的综合运算

例3.已知集合A={x|x<l或X>2},6={x[0<x<3},则()

A.AU8={x|0«x<l或2cx<3}B.Ap\B=R

C.^A={x|1<x<2}D.^B={x|0<x<3}

【答案】C

【详解】

；A={x|x<l或x>2},B={x|0<x<3},

/.dRA={x|1<x<2},今3={*|%<0或x23}

AU8=R,An8={x|0<x<l或2Vx<3}

故选：C

变式训练1：设集合A={1,2,3,4},B={2,4},则集合{1,3}=()

A.AQj?B.C.AUBD.3n(QA)

【答案】B

【详解】

解：因为集合{1,3}的元素都在集合A中，但不在3中，所以为AI（CRB）.

故选：B.

变式训练2：已知全集。=R,集合A={1,2,3,4,5},8={-2,0,1,2}之间关系的Venn图如图所示，则图

中阴影部分表示的集合为（）I

A.{-2,0}B.{-2}

C.{-2,0,1}D.{-2,0,2,1）（

【答案】A、-

[详解]'-------------------------------1

由维恩图可知，阴影部分为BcQA,

因为全集。=R,集合A={1,2,3,4,5},B={-2,0,1,2},

.•.BnG/A={-2,0},

故选：A

变式训练3：设全集U=ADB={H—1<X<3},An&8）={x[2<x<3},则集合8=（）

A.同-l〈x<2}B.1%|-1<x<21C.{x[2<x<3}D.{x|24x<3}

【答案】B

【详解】

因为。=4U8,

所以3=旗40°8）=卜卜l<x<2}.

故选：B

考点四：集合相关的运算（论”图）

例4.已知全集。=R,集合A={-4,0,l,2,3,4,6,7,9},B={-5,-3,1,3,4,5,7,8},

。={-2,-1,0,1,2,3,5,8},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{0,2,4,5,7,8}u

B.{0,123,4,5,7,8}

C.1-5,^4,—3,—2,—1,6,9}

D.{-1,2,4,5,7,8}

【答案】A

【详解】_

将对应的数字放在相应的集合中，如下图所示：

故图中阴影部分表示的集合为{024,5,7,8}.

故选：A.

变式训练1：已知全集。={123,4,5,6,7,8},M={1,3,6},P={3,4,5},指出口〃图中阴影部分表示

的集合是（）

A.{3}B.{1,4,5,6}C.{2,3,7,8)D.{2,7,8}

【答案】C

【详解】

因为M={1,3,6},P={3,4,5},

所以McP={3},MuP={l,3,4,5,6},

因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以屯（〃u尸）={2,7,8},

由Venn图易知，Venn图中阴影部分表示的集合是布（MUP）C尸）,

故也加图中阴影部分表示的集合是{2,3,7,8},

故选：C.

变式训练2：图中阴影部分所对应的集合是（）

A.（AUB）A（^B）B.0，（4口8）

c.（e（An8））n（AU3）D.（^,（AUB））U（AAB）

【答案】c

【详解】

图中阴影部分所对应的集合是两部分集合的并集，

即⑷（施）［u［BI（精）卜也（AIB）］I（AUB）,

故选：c

变式训练3：如图所示，表示图形阴影部分的是（）

A.(AAB)UCB.AplCfiUC)C.(AUB)UCD.(AU8)nC

【答案】A

【详解】

由已知中阴影部分所表示的集合元素满足：“是A的元素且是B的元素，或是C的元素”.

故阴影部分所表示的集合是：Cu(AcB)

故选：A

考点五：与补集有关的求参(基础)

例5.已知A={x|x<a},B={x[l<x<4},若则实数。的取值范围为()

A.{o|a<l}B.{«|a<4)C.{a|a<l}D.{cz|«>l)

【答案】C

【详解】

因为A={x|x<a},3={x|1<x<4},

所以3*={x[x<l或九24},

因为所以aVl.

故实数。的取值范围为{。|。VI}

故选：c

变式训练1：设集合A={x|x>〃z},B=^x|(x+3)(x-4)<01,若(6/3)口8={,一3cx〈1},则加=

()

A.-3B.1C.4D.-1

【答案】B

【详解】

依题意，8={目(％+3)(*-4)<0}={川一3Vx<4}；

而务A={x|x</n},(qA)c5={x[—3<x<l},故/〃=1.

故选：B.

变式训练2：设全集U={2,3,/+2a—3},A={|a+l|,2},医4={5},求4的值.

【答案】。=2或。=7.

【详解】

因为dA={5},所以5eU,/+勿_3=5,解得。=2或。=7，

当a=2时，U={2,3,5},A=[3,2],满足,A={5},符合题意；

当a=Y时,U={2,3,5},A={3,2},满足用A={5},符合题意；

所以。=2或。=7^

变式训练3：已知全集。=1<,A={x|f+px+12=0},B={x\x2-5x+q=0}

(1)若A=0,求。的取值范围；

⑵若(电A)A5={2},@B)nA={4},求AUB.

【答案】(1)-473<p<4x/3；(2){2,3,4}.

【详解】

(1)若A=0,则方程/+勿+12=0无实数解，

A=p2-4xl2<0,则-46<〃<4"

(2)：@B)cA={4},

•••方程f+px+12=0的一个根为4,则。=一7,方程另一个根为3.

A={3,4}.

♦.•&4"={2},

二方程x2-5x+q=0的一个根为2,则夕=6,方程另一个根为3.

3={2,3}

，AUB={2,3,4}

考点六：与补集有关的求参(提升)

例6.已知集合A={x|-14x43},集合5={尤|m-2<x<m+2,xeR}.

(1)若An3={x|0<x<3},求实数小的值;

(2)若An(O8)=A,求实数小的取值范围.

【答案】⑴2；(2)[m\m>5,或〃2<-3}.

【详解】

(1)因为405={目04%43},

m—2=0m=2

所以《cr,所以所以机=2；

m+2>3m>1

(2)^RB=[x\x<m-2,或x>m+2},由已知可得Aqd*,所以〃?一2>3或，"+2<—1,所以加>5

或相v—3,

故实数m的取值范围为{m\m>5,或机<—3}.

变式训练1：已知集合4=卜,2+%一2>()},B={x\a<x<2a-\],设全集U=R.

(1)求集合A的补集AM；

(2)若©A)?B?,求实数。的取值范围.

【答案】(1){x|-2<x<l}；(2){。|。20}.

【详解】

(1)4=3产+x-2>0}={x|xl或x<-2},a，A={H-2Wx〈l}.

(2)当。>2。一1,即。<1时，3=0,满足题意；

当时，有。〉1或勿一1<一2,解得。〉1；

综上，实数。的取值范围是{。1〃工0}.

变式训练2：已知全集0=1i,集合A={X|-X2+11X—18>0},B={X|-2<%<5),

(1)求ADB,BU@A)；

(2)已知集合加={划。〈》42-。},若BU(电M)=R，求实数a的取值范围.

【答案】(1)AnB={x|2<xW5}；6U^A={x|xK5垢29}；(2){a\a>^2]

【详解】

(1)A={x|-x2+iix-i8>0}={x|(x-2)(x—9)<0}={x[2<x<9}

B={x|-5<-x<2}

.二AIB={x\2<x<5]

乂〃=R,二.={x|xW2^4%>9},z.BUd^A=[x\x<5或xN9}

(2)QM={x|a〈xW2-a},B\J^,M)=R

当"=0时，q,M=R,满足3U(d")=R，即a>2—a,解得。>1

当M蛊时，gM=(—8,a)U(2—a,+a)),要满足BU(Q/M)=R，结合数轴：

---------------------------2A---------a--------2------a----------5-------------------------►

a<2-a

由数轴可知，^>-2,解得：一2<々<1

2-67<5

综上可知，实数。的取值范围是：{a|a»-2}

变式训练3：已知集合4={%|〃<%<。+1},B={x||x+l|<l}.

(1)若a=l,求A|J3；

(2)在①=②(&3)nA=0,③3U(aA)=H,这三个条件中任选一个作为己知条件，求

实数a的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)

【答案】(1)AUB={x|0<^<2}；(2)答案不唯一，具体见解析.

【详解】

(1)当a=l时，A={x[l<x<2},B={x\Q<x<2},

.-.AUB={x|0<x<2};

(2)选择①=0作为已知条件.

・"口3=0,

/.«+l<0s£a>2.

解得。<一1或。22.

选择②(。3)1|A=0作为已知条件.

•••(O3)nA=0,48={x|x<0或x>2},

6!>0

・・<，

。+1W2

解得OWQWL

选择③3U(aA)=R作为己知条件.

,.・3U(aA)=R,々A={x|xWQ或x2a+l},

a>0

«+1<2

解得OWaWl

【当堂小结】

1.知识清单:

(1)全集和补集的概念及运算.

⑵并、交、补集的综合运算.

(3)与补集有关的参数值的求解.

2.方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合.

3.常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍.

H(检测】

1、已知全集。={%,=2无,2上1|4,&43},集合A={4,6},则«A=()

A.{2}B.{0,2}C.{2,3}D.{3,4}

【答案】B

【详解】

由已知可得U={0,2,4,6},则6A={0,2}.

故选：B.

2、已知全集。={1,2,3,4,5},71={1,3},则电A=()

A.{1,2,3,4,5}B.{2,4,5}C.{1,3}D.0

【答案】B

【详解】

因为全集〃={1,2,3,4,5},A={1,3},

所以e4={2,4,5}

故选：B

3、已知集合(/={1,2,3,4,5,6},4={1,2,3},8={2,3,4,5},则40405)=()

A.{6}B.{1,6}C.{2,3}D.{1,4,5,6)

【答案】A

【详解】

由题意，AuB={l,2,3,4,5},^(AuB)={6}.

故选:A.

4、已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},3={2,3,4,5},则04)0(。*)=()

A.{6}B.{1,6}C.{2,3}D.{1,4,5,6}

【答案】A

【详解】

解：由题意，C£/A={4,5,6},C[/B={l,6},(C£/A)n(CuB)={6},

故选：A.

5、设全集U=R,集合A={x|x>3},8={x|x<4},贝iJ(QA)U8=()

A.{x\x<3\B.[x\x<3}C.{x|x<4}D.{x|x<4）

【答案】C

【详解】

'：A=[x\x>3]9：.CuA={x|x43},

而B={x|x<4},（GA）U8={Mxv4}.

故选：C.

6、已知R为全集，集合A={x|-2cx<2},B={x|x<3},则（gA）IB=（）

A.{x[2<x<3}B.{x|24]<3}

C.{%|工<0或2«%<3}D.[x\x<-2g22<x<3}

【答案】D

【详解】

解：A={x|-2vxv2},

/.CRA-<-2^x>2},

乂3={x|xv3}

/.（C^A）QB=|x|x<—2^cx>2}n{Rxv3}=何x<-2或2<%<3}.

故选：D

7、已知U为全集，非空集合A、8满足4n（。4）=0,则（）

A.AoBB.BoA

c.（腑）n（m）=0D.（秘）u（/）=u

【答案】A

【详解】

如下图所示：

•••An（e3）=0,由图可知，A^B,（腑）C（“5）=%5,

故选：A.

8、已知全集为u且P,。为u的子集，pn（Q,Q）=尸，则Qn（q/）=（)

A.0B.PC.QD.U

【答案】C

【详解】

由题意，全集为U,P,Q为U的子集，且Pc（Q/Q）=P,

如图所示，可得

Qc47P=Q.

电

A.A^\B=AB.ADA=0C.BQ6(/A=0DA(JB=B

【答案】C

【详解】

已知全集U,集合Aq3,Ar\B=A,AcaA=0,

8口电4,则5caA=3w0,A<JB=B

故选：c.

10、设全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},集合4=卜€凶卜一4卜2},集合3={1,3,5,7},则«(4113)=()

A.{1,3,4,5,7}B.{2,6,8}C.{3,4,5}D.{1,2,6,7,8}

【答案】B

【详解】

A={xeN||x-4|<2}={3,4,5},则Au3={l,3,4,5,7}

所以2(AuB)={2,6,8}

故选：B.

11、设集合A={X|X2—X—2>。},B={X|0<%<4},贝.

A.{x[0<x<4}B.{x[0<x«2}C.D.{x|x〈4}

【答案】B

【详解】

由于A=(-oo,-l)u(2,+oo),所以伞4=[-1,2],

又5={M()<x<4},.♦.(5A)cB=(0,2].

故选：B.

12、己知集合A={x|-2<%,2},B=1},则()

A.AC|8=AB.C.Af)条8=0D.Au条8=R

【答案】D

【详解】

由题意An8={x[—A错；

。4={》|%《-2或%>2},13错；

=或x>l},An5B={x[—2<x4—1或l<x〈2},C错；

AU3RB=R,D正确.

故选：D.

13、设集合A={x,>4},8={x|(x+l)(x—3)<O},则(a4)口3=()

A.{x|-l<x<3}B.{止1<%,2}

C.{x|-2,,x<3}D.{x|-2,,x<-l|

【答案】B

【详解】

*/A={x/>4}=3»2或％<-2},

：.dKA-{x卜2<x<2j.

又6=1x|(x+l)(x—3)<O}=1x|—1<x<3},

/.A)r>B={x|—1<x<21.

故选：B.

14、设。=1<,A={X|6+X-X2>0},B={X|X<-1},则图示中阴影部分表示的集合为（）

A.{x|-l<x<3}B.{x|-l<x<3}

C.{JC|-2<X<1}D.{x|x<-1}

【答案】A

【详解】

由不等式6+X—X2N(),可化为X2-X—6=(X—3)(X+2)40,解得-2WXW3,

即集合A={x|-2VxW3},

又由3={x|*W—1},可得阴影部分所表示的集合为Ane3={x1-l<xV3}.

故选：A.

15、已知全集0=11,集合4=卜卜2一4）卜2-9）=（））,3=卜,2〉丹6},则如图所示的地加图中阴

影部分表示的集合为（）

A.{-2}B.{2}C.{-3,-2,2}D.{-2,2,3)

【答案】D

【详解】

=3,—2,2,3},B={x|(x-3)(x+2)>0}=(-oo,-2)u(3,+oo),

又Venn图中的阴影部分表示的集合为AC(电8),

.©B=[-2,3],/.An(^B)={—2,2,3}.

故选:D.

16、已知全集(/={2,4,3-丁},M={2,f-x+2},令用={-1},则实数x的值为(

A.2B.-2C.2或一2D.不存在

【答案】A

【详解】

解：因为。={2,4,3-d},M={2,f-x+2},QM={—1},

所以一Ie。且一

所以3-工2=_!且f_x+2~i，

解得x=±2

当x=2时，f_x+2=4—2+2=4/2,此时M={2,4}满足题意

当x=-2时，/_%+2=4+2+2=8*2,此时M={2,8}不满足题意，

所以x=2,

故选：A

17、设集合M={x|x<m},集合N={x|2f+5x-3<0"

（1）当m=0时，求MUMMClN；

(2)若求实数优的取值范围.

【答案】MUN={x|x<g},MDN={x[—3<x<0}；(2){m|m<-3}.

【详解】

(1)当加=0时，集合M={x|x<0},N={x|2x2+5x-3<0}={x|-3<x<g},

所以AluN={x|x<g},A/cN={x|-3<x<0}.

(2)由集合N={x[—3<x<2},可得务N={x|x〈一3或xN1},

22

因为知={》|%<m},MJ3RN,所以加4一3，

即实数m的取值范围{机|机<一3}.

18、已知A={x[a<x<a+1},8={x||x-l|Wl}.

(1)若a=l,求A|JB；

(2)在①AA8=0,②(a3)门4=0，③5U(QA)=R，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实

数4的取值范围.

【答案】(1