专题06整式的乘法重难点题型专训(原卷版+解析)2

专题06整式的乘法重难点题型专训【题型目录】题型一整式乘法中的化简求值问题题型二整式乘法中不含某项求字母的值题型三整式乘法中的看错问题题型四整式乘法中的遮挡问题题型五整式乘法的应用问题题型六整式乘法中的规律探究性问题题型七整式乘法的新定义问题题型八整式乘法的混合运算【经典例题一整式乘法中的化简求值问题】1、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.2、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.3、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【例1】（2023秋·四川内江·八年级统考期末）已知，则当，的值为（

）A．25 B．20 C．15 D．10【变式训练】【变式1】（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）已知，则a＋b＋c＋d+1的值为（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【变式2】（2021秋·全国·八年级专题练习）已知，，化简的结果是__________．【变式3】（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①，②，③，④，反过来，这4条运算法则可以写成：①，②，③，④．问题解决：已知，且满足等式，(1)求代数式、的值；(2)化简代数式，并求当，时该代数式的值．【经典例题二整式乘法中不含某项求字母的值】【解题技巧】整式乘法中不含某一项，合并同类项后系数为0。解决这类题目，首先要掌握单项式与多项式，多项式与多项式的乘法。单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。除此以外，还要注意区分未知数和参数，会合并同类项。同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变，实际上就是乘法分配律的逆向运用。【例2】（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（）①当的结果为关于的三次三项式时，则；②若二次三项式能分解成，则；③当多项式与的乘积中不含项时，则；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】【变式1】（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知的计算结果中不含的项，则的值为（

）A．3 B． C． D．0【变式2】（2023春·七年级课时练习）若的积不含项，则___________．【变式3】（2021秋·江苏无锡·七年级校联考期中）【感悟数学方法】已知：，．（1）计算：；（2）若的值与字母的取值无关，求的值．【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．【经典例题三整式乘法中的看错问题】【例3】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（

）A． B．C． D．【变式训练】【变式1】（2021秋·全国·八年级专题练习）因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（

）．A． B．C． D．【变式2】（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________.【变式3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）利用多项式乘以多项式的法则，可以计算，反过来．请仔细观察，一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1，具有这种特点的二次三项式可利用进行因式分解．根据上述阅读，解决下列问题：(1)已知关于x的二次三项式有一个因式是，求另一个因式和k的值；(2)甲，乙两人在对二次三项式进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为，乙看错了常数项，分解的结果为，求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．【经典例题四整式乘法中的遮挡问题】【例4】（2022春·河北承德·七年级承德市民族中学校考期末）小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（）A．12 B．﹣12 C．12或﹣12 D．36【变式训练】【变式1】（2022秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（

）A． B． C． D．【变式2】（2021春·全国·七年级专题练习）小明同学在做数学作业时发现一道数学题有部分内容被墨水污染了：“先化简，再求值，其中＝“■”小明翻开答案看到这题的结果是7.

你能帮他确定出被墨水污染了的部分内容“■”＝_________．【变式3】（2020春·山东枣庄·八年级统考期末）【类比学习】小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2＋3x＋2进行因式分解的方法：即（x2＋3x＋2）÷（x＋1）＝x＋2，所以x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）．【初步应用】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2＋□x＋6＝（x＋2）（x＋☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：得出□＝，☆＝．【深入研究】小明用这种方法对多项式x2＋2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3＋2x2﹣x﹣2＝（x＋2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3＋2x2﹣x﹣2因式分解．【经典例题五整式乘法的应用问题】【例5】（2022秋·河南三门峡·八年级校考期末）比较图1和图2你可以得到①，如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积是②（

）A．①②26 B．①②C．①② D．①②26【变式训练】【变式1】（2022秋·河南周口·八年级统考期中）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（

）A．7 B．8 C．5.6 D．10【变式2】（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）现有如图所示的，，三种纸片若干张．（1）现取1张纸片，2张纸片，其面积和为______．（2）淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片______张．【变式3】（2023秋·陕西安康·八年级统考期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中．(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？（用含、的式子表示，并化简）(2)用含、的式子表示该种植基地这两块实验田一共种植了多少株踠豆幼苗，并化简；当，时，一共种植了多少株？【经典例题六整式乘法中的规律探究性问题】【例6】（2022秋·全国·八年级期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将其称为“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【变式训练】【变式1】（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243；④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为；四个结论错误的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式2】（2022春·河南郑州·七年级统考期末）如果将为非负整数的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：它只有一项，系数为；，它有两项，系数分别是，；，它有三项，系数分别是，，；，它有四项，系数分别是，，，；，它有四项，系数分别是，，，，；如果将上述的每个式子的各项系数都排成下表，我们发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行的数多，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．参考这个表，请你直接写出______．【变式3】（2021·陕西西安·七年级西安市中铁中学校考阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝（n为大于3的正整数），并证明你的结论；（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．【经典例题七整式乘法的新定义问题】【例7】（2022秋·重庆江津·九年级校考期中）设a，b是有理数，定义运算，例如：，，．下列结论：①；②；③m，n为有理数，当时，则；④x，y为有理数，当时，则；⑤设，，则．其中所有正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式训练】【变式1】（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：，又因为，则．那么以下结论中：①；②若是一个完全平方数，则；③是一个完全立方数（即，是正整数），则；④若，则．正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】（2022春·四川成都·七年级统考期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是__________；若乘以的结果为，则的值为__________【变式3】（2023秋·北京石景山·八年级校考期末）阅读材料：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：∵，∴，因此，该式有最小值1．材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．(1)已知多项式，，则C关于D的“雅常值”是________；(2)已知多项式，（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且N的最小值为，求M关于N的“雅常值”．【经典例题八整式乘法的混合运算】【例8】（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算的结果是（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【变式训练】【变式1】（2021春·浙江·七年级期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（

）①小长方形的较长边为；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．A．①③④ B．①④ C．①③ D．①②③【变式2】（2021·全国·七年级假期作业）有一个多项式除以，商为，余式为，那么这个多项式为___．【变式3】（2022秋·河北衡水·七年级校考期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值；(2)已知，；且的值与x无关，求y的值；(3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【培优检测】1．（2023秋·贵州安顺·八年级校联考期末）如与的乘积中不含的一次项，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）已知，，是正整数，，且，则等于（

）．A． B．或 C．1 D．1或133．（2023秋·河北沧州·八年级校考期末）已知，，则的值为（

）A．2022 B．2023 C．3954 D．40464．（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）已知，则的值是（

）A． B．10 C． D．25．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（）①当为关于x的三次三项式时，则；②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则；③；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，①第二次操作后整式串为：，，，，；②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数；③第四次操作后整式串中共有19个整式；④第2022次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．①④9．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）已知，则的值为______．10．（2021春·浙江温州·七年级校考期中）如果，则代数式的值为________．11．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）如图，边长为的正方形纸片中，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是_____________．12．（2022春·广西·七年级统考阶段练习）观察下列各式的计算过程：；根据上面算法，计算：______．13．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是______．14．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试验田面积的种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为__________．15．（2023秋·广东惠州·八年级统考期末）学习了平方差、完全平方公式后，小明同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子：①化简：______；②计算：______；(2)【公式运用】已知：，求的值．16．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如(a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；根据以上信息，完成下列问题:(1)计算：，；(2)计算：；(3)计算：17．（2022秋·福建福州·八年级校考阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片______张，号卡片______张，号卡片_____张．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值．(3)两个正方形，如图3摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和．18．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）我们知道，对于任意一个实数a，“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题．例如：，∵，∴，∴．(1)填空：（______）______．(2)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程．(3)求的最小值．19．（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）【阅读理解】“若x满足，求的值”解：设，，则，，所以【解决问题】(1)若x满足，求的值．(2)若x满足，求的值．(3)如图，正方形ABCD的边长为x，，，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．20．（2023春·全国·七年级专题练习）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1；，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；则(1)的展开式共有___________项，系数和为___________．(2)___________．(3)___________．(4)___________．(5)的展开式中第三项系数为___________．专题06整式的乘法重难点题型专训【题型目录】题型一整式乘法中的化简求值问题题型二整式乘法中不含某项求字母的值题型三整式乘法中的看错问题题型四整式乘法中的遮挡问题题型五整式乘法的应用问题题型六整式乘法中的规律探究性问题题型七整式乘法的新定义问题题型八整式乘法的混合运算【经典例题一整式乘法中的化简求值问题】1、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.2、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.3、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【例1】（2023秋·四川内江·八年级统考期末）已知，则当，的值为（

）A．25 B．20 C．15 D．10【答案】A【分析】把所求的式子化简成已知式子是解此类题的关键.【详解】,,∴d=25选A【点睛】式子的变形，一定是加了多少就要减去多少才能保持不变.【变式训练】【变式1】（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）已知，则a＋b＋c＋d+1的值为（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】令，求出，即可求出．【详解】解：，令，得，故选：C．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据式子的特点巧解．【变式2】（2021秋·全国·八年级专题练习）已知，，化简的结果是__________．【答案】【分析】根据多项式乘以多项式展开，在把已知式子代入求解即可；【详解】由题可知，∵，，∴原式；故答案是：．【点睛】本题主要考查了整式的化简和代数式求值，准确化简计算是解题的关键．【变式3】（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）知识再现：我们知道幂的运算法则有4条，分别是：①，②，③，④，反过来，这4条运算法则可以写成：①，②，③，④．问题解决：已知，且满足等式，(1)求代数式、的值；(2)化简代数式，并求当，时该代数式的值．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）逆用积的乘方法则即可求得的值，逆用幂的乘方法则可求得的值；（2）利用多项式乘多项式的法则化简，并把值代入即可求得代数式的值．【详解】（1）解：，由得：，即，所以，故得，解得；所以，；（2）解：，当，时，原式．【点睛】本题考查了幂的运算法则的逆用，多项式的化简求值，熟练运用幂的运算法则，能正确进行多项式的乘法运算是关键．【经典例题二整式乘法中不含某项求字母的值】【解题技巧】整式乘法中不含某一项，合并同类项后系数为0。解决这类题目，首先要掌握单项式与多项式，多项式与多项式的乘法。单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。除此以外，还要注意区分未知数和参数，会合并同类项。同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变，实际上就是乘法分配律的逆向运用。【例2】（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（）①当的结果为关于的三次三项式时，则；②若二次三项式能分解成，则；③当多项式与的乘积中不含项时，则；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④先求，再列方程求解．【详解】解：①，，均为非零常数，，，故①正确；②，，，，故②是正确的；③，，，故③是错误的；④，，解得：，，故④是正确的；故选：C．【点睛】本题考查了多项式，整式的加减，方程思想是解题的关键．【变式训练】【变式1】（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知的计算结果中不含的项，则的值为（

）A．3 B． C． D．0【答案】B【分析】先计算的结果，不含的项，则合并后含的项的系数为0．【详解】∵已知的计算结果中不含的项，∴∴故选：B．【点睛】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含某一项，则多项式合并后，该项的系数为0．【变式2】（2023春·七年级课时练习）若的积不含项，则___________．【答案】【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．【详解】解：==∵的积不含项，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【变式3】（2021秋·江苏无锡·七年级校联考期中）【感悟数学方法】已知：，．（1）计算：；（2）若的值与字母的取值无关，求的值．【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．【答案】感悟数学方法：（1）；（2）；解决实际问题：．【分析】感悟数学方法：（1）将A、B的值代入计算整式的加减即可得；（2）根据“值与字母的取值无关”建立方程，再解方程即可得；解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，从而可得购进乙型口罩箱，再根据题意列出利润的表达式，然后参照（2）的方法求解即可得．【详解】感悟数学方法：（1），，，，；（2），的值与字母的取值无关，，解得；解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，则购进乙型口罩箱，则经销商的利润为，，，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，则，解得．【点睛】本题考查了整式乘法与加减法的应用、以及无关型问题、一元一次方程的应用，正确列出利润的表达式是解题关键．【经典例题三整式乘法中的看错问题】【例3】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据甲看错了a的值可以知道，甲的分解结果中b的值是正确的，根据乙看错了b的值可以知道，乙的分解结果中a的值是正确的，据此即可得到a、b的值，进而得到答案．【详解】解：∵甲看错了a的值，∴，∴；∵乙看错了b的值，∴，∴，∴分解因式正确的结果为：，故选：C．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义．【变式训练】【变式1】（2021秋·全国·八年级专题练习）因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．【详解】解：∵甲看错了a的值∴b是正确的∵=∴b=-6∵乙看错了b的值∴a是正确的∵=∴a=-1∴=故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．【变式2】（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考阶段练习）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________.【答案】【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，∵小刚看错了m的值，∴n＝﹣6；（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，∵小芳看错了n的值，∴m＝﹣1．∴x2+mx+n＝x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）．故答案为：（x﹣3）（x+2）．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键．【变式3】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）利用多项式乘以多项式的法则，可以计算，反过来．请仔细观察，一次项系数是两数之和，常数项是这两数之积，二次项系数是1，具有这种特点的二次三项式可利用进行因式分解．根据上述阅读，解决下列问题：(1)已知关于x的二次三项式有一个因式是，求另一个因式和k的值；(2)甲，乙两人在对二次三项式进行因式分解时，甲看错了一次项系数，分解的结果为，乙看错了常数项，分解的结果为，求这个二次三项式，并将其进行正确的因式分解．【答案】(1)另一个因式为；k的值为(2)；【分析】（1）设，根据定义对应系数相等即可解得．（2）把，，依次展开，分别取正确的常数项和一次项系数．【详解】（1）设∴，，∴，∴另一个因式为，k的值是．（2），，由题意得：，，∴这个二次三项式是．【点睛】此题考查了多项式乘以多项式的法则、因式分解，解题的关键是读懂题意，熟悉运算规则．【经典例题四整式乘法中的遮挡问题】【例4】（2022春·河北承德·七年级承德市民族中学校考期末）小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（）A．12 B．﹣12 C．12或﹣12 D．36【答案】C【详解】试题分析：运用完全平方公式求出（2a±3b）2对照求解即可．解：由（2a±3b）2=4a2±12ab+9b2，∴染黑的部分为±12．故选C．考点：完全平方公式．【变式训练】【变式1】（2022秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．【详解】解：∵左边．右边，∴□内上应填写．故选：A．【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．【变式2】（2021春·全国·七年级专题练习）小明同学在做数学作业时发现一道数学题有部分内容被墨水污染了：“先化简，再求值，其中＝“■”小明翻开答案看到这题的结果是7.

你能帮他确定出被墨水污染了的部分内容“■”＝_________．【答案】5【分析】先进行化简，令化简的代数式等于7求得a值即可【详解】∵===4a-13，∴4a-13=7，解得a=5，故答案为：5【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，整式的加减，一元一次方程，熟练运用乘法公式化简，构造一元一次方程求解是解题的关键．【变式3】（2020春·山东枣庄·八年级统考期末）【类比学习】小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2＋3x＋2进行因式分解的方法：即（x2＋3x＋2）÷（x＋1）＝x＋2，所以x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）．【初步应用】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2＋□x＋6＝（x＋2）（x＋☆），（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：得出□＝，☆＝．【深入研究】小明用这种方法对多项式x2＋2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3＋2x2﹣x﹣2＝（x＋2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3＋2x2﹣x﹣2因式分解．【答案】【初步应用】5；3【深入研究】（x＋2）（x＋1）（x﹣1）,详见解析【分析】【初步应用】根据竖式除法的运算方法先确定☆表示的数，然后确定□代表的数；【深入研究】利用列竖式除法的结果进行分解．【详解】【初步应用】仿照例题，得：(□-2)x+6-(☆x+2☆)=（□-☆-2）x+(6-2☆)=0，则有□-☆-2=0，6-2☆=0□＝5，☆＝3；故答案为5，3；【深入研究】仿照例题，得：所以x3＋2x2﹣x﹣2＝（x＋2）（x2﹣1）＝（x＋2）（x＋1）（x﹣1）．【点睛】本题考查整式的加减运算、因式分解、解一元一次方程、归纳与类比，会利用类比的方法，仿照例题解决问题是解答的关键．【经典例题五整式乘法的应用问题】【例5】（2022秋·河南三门峡·八年级校考期末）比较图1和图2你可以得到①，如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积是②（

）A．①②26 B．①②C．①② D．①②26【答案】B【分析】①利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，②用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题．【详解】①大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，大正方形边长为，故面积也可以表达为：，因此，即；②设，因为，所以，因为，所以，解得，由题意：，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和正方形的性质，利用数形结合思想对完全平方公式以及变式理解．【变式训练】【变式1】（2022秋·河南周口·八年级统考期中）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正图乙的边长为（

）A．7 B．8 C．5.6 D．10【答案】B【分析】设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，列出等式求得图乙的面积，最后求得图乙的边长．【详解】解：设正方形Ａ的边长是，正方形的边长是，由题可得图甲中阴影部分的面积是，图乙中阴影部分的面积是，图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，，，图乙面积为：，．故选：B．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和列出等式是解题的关键．【变式2】（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）现有如图所示的，，三种纸片若干张．（1）现取1张纸片，2张纸片，其面积和为______．（2）淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片______张．【答案】

6【分析】（1）直接计算纸片，纸片的面积进形求和即可；（2）先分别求出，，纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可．【详解】解：（1）取1张纸片，2张纸片，其面积和为：；故答案为：；（2）∵取纸片9张，取纸片1张，∴面积为，∵小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为，∴还需6张丙纸片，即，故答案为：6．【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个．【变式3】（2023秋·陕西安康·八年级统考期末）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中．(1)长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？（用含、的式子表示，并化简）(2)用含、的式子表示该种植基地这两块实验田一共种植了多少株踠豆幼苗，并化简；当，时，一共种植了多少株？【答案】(1)，化简为：(2)，化简为：，株【分析】（1）利用多项式乘以多项式的知识分别求出长方形、正方形试验田的豌豆苗数量，则利用多项式的减法即可作答；（2）结合（1）中的结果，将长方形、正方形试验田的豌豆苗数量相加，化简，再代入求值即可作答．【详解】（1）长方形试验田的豌豆苗数量为：（株），正方形试验田的豌豆苗数量为：（株），则长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗：（株）；即答案为：，化简为：；（2）根据（1）的结果，可知两块试验田一种种植数量为：，当，时，（株），即答案为：，化简为：，株．【点睛】本题主要考查了根据题意列代数式、多项式乘以多项式、整式的加减等知识，题中涉及了平方差公式以及完全平方公式，明确题意是，正确列式是解答本题的关键．【经典例题六整式乘法中的规律探究性问题】【例6】（2022秋·全国·八年级期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如图，后人也将其称为“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】D【分析】根据表中的系数找出规律，首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．【详解】解：根据题意，得，可知，展开式中第二项为，∴展开式中含项的系数是2020．故选：D．【点睛】本题考查整式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】【变式1】（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243；④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为；四个结论错误的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意，计算出进行2次操作后所得多项式，即可判定①；根据题意，计算出以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定②；根据题意，计算出进行4次操作后所得多项式，再把代入计算即可判定③；根据题意，总结归纳出进行次操作后所得多项式规律，即可判定④．【详解】解：第1次操作后，得，第2次操作后，得，∴第2次操作后所得多项式项数是4，故①错误；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得，∴将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为故②正确；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得，第4次操作后，得，当a=2时，，故③正确；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得第4次操作后，得…第n次操作后，得，故④错误；综上，错误的有①④共2个，故选：C．【点睛】本题考查多项式乘多项式，数式规律探究，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．【变式2】（2022春·河南郑州·七年级统考期末）如果将为非负整数的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：它只有一项，系数为；，它有两项，系数分别是，；，它有三项，系数分别是，，；，它有四项，系数分别是，，，；，它有四项，系数分别是，，，，；如果将上述的每个式子的各项系数都排成下表，我们发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行的数多，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．参考这个表，请你直接写出______．【答案】【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1，利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．【详解】解：各项系数的变化规律如图所示：它只有一项，系数为；，它有两项，系数分别是，；，它有三项，系数分别是，，；，它有四项，系数分别是，，，；，它有五项，系数分别是，，，，；可知，（a+b）5有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1，∴．故答案为：．【点睛】此题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，正确得出系数变化规律是解题的关键．【变式3】（2021·陕西西安·七年级西安市中铁中学校考阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝（n为大于3的正整数），并证明你的结论；（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．【答案】（1）x4−1；（2）xn＋1−1，理由见详解；（3）；（4）【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求解；（2）利用发现的规律填写，再利用多项式乘多项式法则证明即可；（3）利用得出的规律计算得到结果；（4）两个数一组分别提取公因数，再把底数化为9，利用得出的规律计算，即可求解．【详解】解：（1）解：根据多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，故答案是：x4−1；

（2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1，∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）=xn＋1−1，理由如下：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）=xn＋1+xn+xn﹣1+……+x-（xn+xn﹣1+……+x+1）=xn＋1−1，故答案是：xn＋1−1；（3）（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）=﹣32100×4÷8÷380=-=；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3=2×32018+2×32016+2×32014+……+2×32+3=2×（32018+32016+32014+……+32）+3=2×（91009+91008+91007+……+9+1-1）+3=2×+3=2×=，故答案是：．【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则，归纳出公式（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）=xn＋1−1，是解题的关键．【经典例题七整式乘法的新定义问题】【例7】（2022秋·重庆江津·九年级校考期中）设a，b是有理数，定义运算，例如：，，．下列结论：①；②；③m，n为有理数，当时，则；④x，y为有理数，当时，则；⑤设，，则．其中所有正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据已知算式总结出运算规律，分别判断①②③④⑤即可得知答案．【详解】解：，故①正确；，故②错误；∵，∴，，，故③正确；若，则，，，或，故④错误；，同理，，…，即，故⑤错误；正确的有①③共2个故选：A【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知算式总结出运算规律．【变式训练】【变式1】（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：，又因为，则．那么以下结论中：①；②若是一个完全平方数，则；③是一个完全立方数（即，是正整数），则；④若，则．正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】理解新运算的方法，再以法则计算各式，从而判断．【详解】解：①，则，正确；②若是一个完全平方数，即，是正整数，则，正确；③是一个完全立方数（即，是正整数），如，，错误；④若，则，∴，故正确；综上，正确的个数为3个故选：C【点睛】本题考查了因式分解的运算，此题的关键是读懂新运算，特别注意“把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解”这句话．【变式2】（2022春·四川成都·七年级统考期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是__________；若乘以的结果为，则的值为__________【答案】

2x2+5x+2

±2【分析】认真读懂新定义，代入新定义公式化简求值即可．【详解】解：（1）(1，2)=(x+2)(2x+1)=2x2+x+4x+2=2x2+5x+2，故答案为：2x2+5x+2．（2）(a，b)=(ax+b)(bx+a)，(b，a)=(bx+a)(ax+b)；∴(a，b)(b，a)=(ax+b)2(bx+a)2=a2b2x4+(2a3b+2ab3)x3+(a4+4a2b2+b4)x2+(2a3b+2ab3)x+a2b2，∴a2b2=9，ab=±3，2a3b+2ab3=-60，即2ab(a2+b2)=-60，∴ab=-3，∴-3×2(a2+b2)=-60，a2+b2=10，(a+b)2=a2+b2+2ab=10+2×(-3)=4，∴a+b=±2．故答案为：±2．【点睛】考查整式的新定义，整式的四则运算，关键是读懂新定义，会合并同类项．【变式3】（2023秋·北京石景山·八年级校考期末）阅读材料：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：∵，∴，因此，该式有最小值1．材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．(1)已知多项式，，则C关于D的“雅常值”是________；(2)已知多项式，（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且N的最小值为，求M关于N的“雅常值”．【答案】(1)1(2)M关于N的“雅常值”为2【分析】（1）先计算，再根据“雅常式”的定义即可判断C是D的“雅常式”，并求出C关于D的“雅常值”；（2）先求出，由M是N的“雅常式”，得出，得出，由x为实数时，N的最小值为，得出，求出，进而求出．【详解】（1）解：∵，∴C关于D的“雅常值”是1；故答案为：1．（2）解：∵M是N的“雅常式”，∴，∴，∴，∵，且N的最小值为，∴，∴，∴，∴M关于N的“雅常值”为2．【点睛】本题主要考查了配方法的应用、整式的加减运算、新定义运算，理解A是B的“雅常式”的定义是解决本题的关键．【经典例题八整式乘法的混合运算】【例8】（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）计算的结果是（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】A【分析】设，，则，，换元后化简求值即可．【详解】解：设，，则，，．故选：A．【点睛】本题主要考查有理数的简便运算，根据题中所给式子的结构特征，采用换元法简化运算是解决问题的关键．【变式训练】【变式1】（2021春·浙江·七年级期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（

）①小长方形的较长边为；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．A．①③④ B．①④ C．①③ D．①②③【答案】B【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合y为定值可得出说法③错误；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=25可得出说法④正确．【详解】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），∴若y为定值，则阴影A和阴影B的周长之和不为定值，说法③错误；④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，当x=25时，xy-25y+375=375cm2，说法④正确．综上所述，正确的说法有①④．故选：B．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．【变式2】（2021·全国·七年级假期作业）有一个多项式除以，商为，余式为，那么这个多项式为___．【答案】【分析】先根据被除式、除式、商式、余式的关系列出算式，再根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可．【详解】根据题意得：；故答案为：；【点睛】本题考查了整式乘法的混合运算，用到的知识点是多项式乘以多项式的法则，根据被除式、除式、商式、余式关系列出算式是解题的关键．【变式3】（2022秋·河北衡水·七年级校考期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值；(2)已知，；且的值与x无关，求y的值；(3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先展开，再将含x的项合并，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答；（2）先计算可得到，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答；（3）设，由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与的值无关，即有，则问题得解．【详解】（1），∵关于的多项式的值与的取值无关，∴，解得；（2）∵，，∴，∵的值与无关，∴，解得；（3）解：设，由图可知，，则∵当的长变化时，的值始终保持不变，∴的值与的值无关，∴，∴．【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．【培优检测】1．（2023秋·贵州安顺·八年级校联考期末）如与的乘积中不含的一次项，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含的一次项求出的值即可．【详解】解：原式，由结果不含的一次项，得到，解得：，故选：B．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）已知，，是正整数，，且，则等于（

）．A． B．或 C．1 D．1或13【答案】D【分析】根据因式分解的分组分解法，，再根据，，是正整数，，即可得出的值．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，，是正整数，，∴或13，或1．故选：D【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．3．（2023秋·河北沧州·八年级校考期末）已知，，则的值为（

）A．2022 B．2023 C．3954 D．4046【答案】B【分析】根据完全平方公式的变形求解．【详解】∵，，①②①+②，得故选：B．【点睛】本题考查完全平方公式及其变形求解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）已知，则的值是（

）A． B．10 C． D．2【答案】B【分析】根据多项式乘以多项式展开得出，的值，然后代入求解即可．【详解】解：，，，故选：B．【点睛】本题主要考查多项式的乘法及求代数式的值，熟练掌握多项式乘法法则是解题关键．5．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（）①当为关于x的三次三项式时，则；②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则；③；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据整式的加减混合运算即可判断①，根据整式的乘法运算即可判断②，将和代入即可判断③．【详解】解：∵，，∴，∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数，∴，解得：，说法①正确；，∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项，∴，解得，说法②错误；，当时，，当时，，则，说法③错误．故选：B．【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．6．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】计算，结果中项的系数即为需要类卡片的张数．【详解】解：，需要类卡片5张，故选：C．【点睛】本题考查了整式的乘法，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要类卡片的张数．7．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先分别求出前三项以及，，，从而得出规律为第项为，，据此求解即可．【详解】解：第1项为，，∴第2项为，，∴第3项为，，∴可以推出第项为，，∴第5项为，，故结论①、②正确；∵第2023项为，，∴，∴，∴，∴，∴当时，，当时，，∴若第2023项的值为0，则或，故结论③错误；同理可得：第m项为，∴当时，第m项的值为，故结论④正确，综上可得：结论正确的个数为3个．故选：C【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的规律，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．8．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，①第二次操作后整式串为：，，，，；②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数；③第四次操作后整式串中共有19个整式；④第2022次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断．【详解】解：第一次操作后的整式串为：，3，，第二次操作后的整式串为，，3，，，即，，3，，，故①的结论正确，符合题意；第二次操作后整式的积为，，，即，，即第二次操作后，当时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意；第三次操作后整式串为，，，，3，，，3，，第四次操作后整式串为，，，，，，，，3，，，3，，，3，，，共17个，故③的说法错误，不符合题意；第一次操作后所有整式的和为，第二次操作后所有整式的和为，第三次操作后所有整式的和为，...，第n次操作后所有整式的积为，∴第2022次操作后，所有的整式的和为，故④的说法正确，符合题意；正确的说法有①④，故选：D．【点睛】本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式是解题关键．9．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）已知，则的值为______．【答案】2022【分析】利用多项式乘多项式法则计算，再将整体代入，即可求解．【详解】解：，将代入，可得，故答案为：2022．【点睛】本题考查代数式求值，多项式乘多项式，掌握整体代入思想是解题的关键．10．（2021春·浙江温州·七年级校考期中）如果，则代数式的值为________．【答案】【分析】利用多项式乘多项式的法则对进行运算，从而可确定相应的m，n的值，再代入运算即可．【详解】解：，∵，∴，∴，，解得：，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对多项式乘多项式的运算法则的掌握．11．（2021春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）如图，边长为的正方形纸片中，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是_____________．【答案】##【分析】由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用长方形的面积公式即可求出另一边长．【详解】解：由题意得，矩形的另一边长为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确根据原正方形面积等于减去的正方形面积加上拼接成的长方形面积是解题的关键．12．（2022春·广西·七年级统考阶段练习）观察下列各式的计算过程：；根据上面算法，计算：______．【答案】【分析】先把减法化成乘法，再约分计算．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了数字的变化类及有理数的混合运算，平方差公式的运用是解题的关键．13．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是______．【答案】-99【分析】观察已知可得，列出算术可得的值，即可得到答案．【详解】解：由知，，，即，，，故答案为：．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是理解求和符号“”的意义，求出，的值．14．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试验田面积的种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为__________．【答案】##4:7【分析】设第一小组已经种植黄瓜面积为3m，种植黄瓜的单位面积种植株数为n，根据三种蔬菜面积之比及单位面积种植株数之比可得第一小组已经种植番茄面积为2m，已经种植辣椒的面积为4m，种植番茄的单位面积种植株数为2n，种植辣椒的单位面积种植株数为2n，设余下的面积为z，第二小组在余下的实验田里种植辣椒面积的，可列方程，可得，设第二小组种植黄瓜面积为a，第二小组种植番茄面积为，利用第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的，列方程，解方程即可．【详解】解：设第一小组已经种植黄瓜面积为3m，种植黄瓜的单位面积种植株数为n，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2，第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第一小组已经种植番茄面积为2m，已经种植辣椒的面积为4m，种植番茄的单位面积种植株数为2n，种植辣椒的单位面积种植株数为2n，设余下的面积为z，第二小组在余下的实验田里种植辣椒面积的，解得，设第二小组种植黄瓜面积为a，第二小组种植番茄面积为，黄瓜种植面积：，番茄种植面积：，辣椒种植面积：，第二小组种植三种蔬菜的总株数为：第一小组种植三种蔬菜的总株数为：解得，黄瓜总株数：，番茄总株数：最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为．【点睛】本题主要考查了代数式表示数、代数式在生活中的的运用和一元一次方程的实际问题等知识，仔细阅读抓住辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的，列出方程是做出本题的关键．