押江苏南京中考数学第16题(几何与函数探究)(原卷版+解析)-备战2022年中考数学临考题号押题(江苏南京专用)

押江苏南京中考数学第16题几何与函数探究南京中考数学的第16题比较难，属于压轴题，主要以几何与函数的探究为主要考查内容。例如：2021年南京中考第16题考查了利用平行四边形的性质求解、旋转的性质、相似三角形的判定与性质综合等知识点；2020年第16题考查了二次函数图象的平移；y=a（x-h）²+k的图象和性质；2019年第16题考查了几何图形中三角形的边角关系探究；2018年第16题考查了圆与四边形综合的性质与探究。命题侧重对所学知识的理解和运用，难度通常比较大。解此类题型对考生的要求比较高，需要考生在熟练掌握函数与几何基本知识基本原理的前提下，运用原理定理和数学思想和方法进行探究。1．（2021·江苏南京·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．2．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．3．（2021·江苏淮安·中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是___．4．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为__．5．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．1．（2022·江苏南京·一模）如图，在直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为________________．2．（2022·江苏盐城·一模）如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点，把△CEF沿直线EF折叠得到△GEF，再把△BEG沿直线BG折叠，点E的对应点H恰好落在对角线BD上，若此时F、G、H三点在同一条直线上，且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，则的值为______．3．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是矩形ABCD对角线AC上的动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC所在直线与点F，以DE、EF为边作矩形DEFG，当S矩形DEFG＝时，则AE长为_____．4．（2022·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，，其中，与x轴相交于点P．当取得最小值时，的长为__________．5．（2022·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为_____，点C'的坐标为_____．6．（2022·江苏徐州·一模）如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______．7．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，AD=3，E为对角线BD上的动点，点F在边AB上，且满足．连接AE，记△AEF的S面积为S1，△BCE的面积为S2，若，则a的取值范围是________．18．（2022·江苏扬州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，B（﹣8，0），CB与y轴交于点D，，点C在反比例函数的图象上，且x轴平分∠ABC，则k的值为______．（限时：30分钟）1．（2022·河南许昌·一模）如图1，在正方形中，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设，，图2是y关于x的函数图像，则图像上最低点Q的坐标是______．2．（2022·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为_______．3．（2022·四川广元·一模）如图，等边三角形ABC的边长为2，D，E是AC，BC上两个动点，且AD＝CE，AE，BD交于点F，连接CF，则CF长度的最小值为______．4．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，正方形的边长为4，点E是对角线上的动点（点E不与A，C重合），连接交于点F，线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接．下列结论：①；②；③若四边形的面积是正方形面积的一半，则的长为；④．其中正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）5．（2022·四川宜宾·一模）如图，线段OA分别交反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＞0）的图象于点A，B，过点B作CD⊥x轴于点D，交反比例函数y1＝（x＞0）的图象于点C，若OB＝2AB，则△OBD与△ABC的面积之比为_____．6．（2022·广东佛山·一模）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若，则_________．7．（2022·云南文山·一模）正方形ABCD的边长为8，点E在BC边上，且CE＝2，点P是正方形边上的一个动点，连接PB交AE于点F，若PB＝AE，则PF的长为_____．8．（2022·黑龙江·一模）在矩形ABCD中，，E为AD的中点，点F在射线AB上，，过点E作于点G，EF平分，则AB的长为__________．9．（2022·河南南阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是______．10．（2022·四川德阳·一模）已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为______．押江苏南京中考数学第16题几何与函数探究南京中考数学的第16题比较难，属于压轴题，主要以几何与函数的探究为主要考查内容。例如：2021年南京中考第16题考查了利用平行四边形的性质求解、旋转的性质、相似三角形的判定与性质综合等知识点；2020年第16题考查了二次函数图象的平移；y=a（x-h）²+k的图象和性质；2019年第16题考查了几何图形中三角形的边角关系探究；2018年第16题考查了圆与四边形综合的性质与探究。命题侧重对所学知识的理解和运用，难度通常比较大。解此类题型对考生的要求比较高，需要考生在熟练掌握函数与几何基本知识基本原理的前提下，运用原理定理和数学思想和方法进行探究。1．（2021·江苏南京·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．【答案】【分析】过点C作CM//交于点M，证明求得，根据AAS证明可求出CM=1，再由CM//证明△，由相似三角形的性质查得结论．【解析】解：过点C作CM//交于点M，∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形∴，，∴，∴∴∵∴∴∴∠∵∴∵∴∠∵，∴∴∠∴∠在和中，∴∴∵∴△∴∴∴故答案为：．2．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．【答案】【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．【解析】解：连接ED是的中线，，设，与是等高三角形，，故答案为：．3．（2021·江苏淮安·中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是___．【答案】5【分析】在点B'到达B之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B点以后，且点C'到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在B'到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出B'C'的长度为a，BC的长度为a＋3，再根据△ABC的面积即可列出关于a的方程，求出a即可．【解析】解：当点B'移动到点B时，重叠部分的面积不再变化，根据图象可知B'C'＝a，，过点A'作A'H⊥B'C'，则A'H为△A'B'C'的高，∵△A'B'C'是等边三角形，∴∠A'B'H＝60°，∴sin60°＝，∴A'H＝，∴，即，解得a＝﹣2（舍）或a＝2，当点C'移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，根据图像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5，∴△ABC的边长是5，故答案为5．4．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为__．【答案】9【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．【解析】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠PBD＝30°，过点P作PH⊥BD于点H，∴BH＝DH，∵cos30°＝＝，∴BH＝BP，∴BD＝BP，∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝BC＝3，∵cos∠ABC＝，∴，∴AB＝9，∴BD最大值为：BP＝9．故答案为：9．5．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．【答案】【分析】连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明,得到,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到,根据△ABC中，AB=4，BC=5，得到当AB⊥BC时，△ABC面积最大，即可求出△AFE面积的最大值．【解析】解：如图，连接DF，∵CD=2BD，CF=2AF，∴，∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴,∠CFD=∠CAB，∴DF∥BA，∴△DFE∽△ABE，∴,∴,∵CF=2AF，∴,∴,∵CD=2BD，∴,∴,∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为，此时△AFE面积最大为．故答案为：1．（2022·江苏南京·一模）如图，在直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为________________．【答案】【分析】当⊙A与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）．设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点的坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．【解析】如下图所示，连接，过点作，此时点坐标可表示为，∴，．在Rt△OBC中，，又∵的半径为5，∴．∵，∴，则，∴，∴．∵左右两侧都有相切的可能，∴A点的坐标为．2．（2022·江苏盐城·一模）如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点，把△CEF沿直线EF折叠得到△GEF，再把△BEG沿直线BG折叠，点E的对应点H恰好落在对角线BD上，若此时F、G、H三点在同一条直线上，且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，则的值为______．【答案】【分析】根据线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，可得HF=HD，由折叠和同角的余角相等得，然后证明，再利用设元法即可解决问题．【解析】解：∵线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，∴HF=HD，∴∠HFD=∠FDH，∴∠BHF=2∠HFD由折叠可知：GF=CF，HG=CE=EG，，∠BHG=∠BEG，∠CEF=∠GEF，∵∠BEG+∠CEF+∠GEF=180°，∴2∠HFD+2∠CEF=180°∴∠HFD+∠CEF=90°，又∵∠CFE+∠CEF=90°∴，又∵HF=HD，∴△DHF是等边三角形，∴∠CBD=∠CEF=30°，∴，设GF=CF=x，HF=DF=y，则HG=CE=EG=，HF=HG+GF=GE+CF，即y=x+，∵，∴.3．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是矩形ABCD对角线AC上的动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC所在直线与点F，以DE、EF为边作矩形DEFG，当S矩形DEFG＝时，则AE长为_____．【答案】或【分析】作于点，交于点，设，先根据勾股定理求出的长，再证明，可求得，则，可推导出，再用含的代数式表示、，而，推导出，再根据列方程求出的值即可．【解析】解：如图1，作于点，交于点，设，四边形是矩形，，，，，，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，整理得，解得，，当时，如图1，当时，如图2，故答案为：或．

4．（2022·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，，其中，与x轴相交于点P．当取得最小值时，的长为__________．【答案】【分析】过点，作轴，轴于点，，证明，可得，根据，此时等号成立时，有，所以，进而可得和的值，再设的解析式为，把，代入得一次函数解析式，进而可以解决问题．【解析】解：如图，过点，作轴，轴于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，此时等号成立时，有，，，解得，，，，设的解析式为，把，代入得，，解得，的解析式为，令，则，，的长为．故答案为：．5．（2022·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为_____，点C'的坐标为_____．【答案】

【分析】连接OB交MN于Q，由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，先证明△BMQ≌△ONQ得到QM=QN，即点Q为OB的中点，过点Q作QH⊥x轴于H，证明△OHQ∽△OCB，求出，则；过点作轴于G，可以推出，设AM=a，则BM=OM=3a，则，解得，得到AB=OC=2，，从而求出，，利用三角形面积法求出，则，即点C的坐标为．【解析】解：如图所示，连接OB交MN于Q，由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，∵四边形OABC是矩形，∴，∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，又∵BQ=OQ，∴△BMQ≌△ONQ（AAS），∴QM=QN，即点Q为OB的中点，过点Q作QH⊥x轴于H，∴，∴△OHQ∽△OCB，∴，∵四边形OABC是矩形，∴，∵Q在反比例函数图象上，∴；过点作轴于G，∵点M在反比例函数图象上，∴，又∵，∴，设AM=a，则BM=OM=3a，∴，∴，解得（负值已经舍去），∴AB=OC=2，，∵QM=QG，OQ=BQ，∴四边形OMBN是平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴点C的坐标为故答案为：，．6．（2022·江苏徐州·一模）如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______．【答案】【分析】根据题意得出是的中位线，所以取到最大值时，也取到最大值，就转化为研究也取到最大值时的值，根据三点共线时，取得最大值，解出的坐标代入反比例函数即可求解．【解析】解：连接，如下图：在中，分别是的中点，是的中位线，，已知长的最大值为，此时的，显然当三点共线时，取到最大值：，，，设，由两点间的距离公式：，，解得：（取舍），，将代入，解得：，故答案是：．7．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，AD=3，E为对角线BD上的动点，点F在边AB上，且满足．连接AE，记△AEF的S面积为S1，△BCE的面积为S2，若，则a的取值范围是________．【答案】【分析】过点E作EH⊥AB于点H，作EG⊥BC于点G，证明△BHE∽△BAD，得到，根据得到，可证明△EHF∽△EGC，可得CE⊥EF，设EH=x，表示出S1和S2，得到，分别得到EH最大和最小时的情况，可得对应EH值，代入可得a的取值范围．【解析】解：过点E作EH⊥AB于点H，作EG⊥BC于点G，则四边形HEGB为矩形，∵HE∥AD，∴△BHE∽△BAD，∴，又，∴，∵∠EHF=∠EGC=90°，∴△EHF∽△EGC，∴∠HEF=∠GEC，∴∠HEG=∠FEC=90°，即CE⊥EF，设EH=x，∵，∴HB=EG=，CG=BC-BG=6-x，，∴HF=，BF=BH-HF=，AF=AB-BF=，∴===，==4x，∴，∵点F在AB上，∴当F与B重合时，EH最小，此时EH=，当E与D重合时，EH最大，此时EH=AD=3，∴，故答案为：．18．（2022·江苏扬州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，B（﹣8，0），CB与y轴交于点D，，点C在反比例函数的图象上，且x轴平分∠ABC，则k的值为______．【答案】【分析】作y轴的垂线，构造相似三角形，利用BD=4CD和B（-8，0）可以求出C的横坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点C的坐标，进而确定k的值．【解析】解：过C作CE⊥y轴，垂足为E，∵B（-8，0），∴OB=8，∵∠CED=∠BOD=90°，∠CDE=∠BDO∴△CDE∽△BDO，∵BD=4CD，∴，∴CE=2；

又∵x轴平分∠CBA，BO⊥AD，∴AO=OD，∵∠CAB=90°，∴∠OBD=∠DCE=∠CAE，∴△CAE∽△DBO，∴，

设DE=n，则AO=OD=4n，AE=9n，∴，解得，，∴，故答案为：．（限时：30分钟）1．（2022·河南许昌·一模）如图1，在正方形中，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设，，图2是y关于x的函数图像，则图像上最低点Q的坐标是______．【答案】【分析】连接，由B、D关于对称，推出，得出，得出当D、P、E共线时，的值最小，设正方形的边长为，则，，分别求出的最小值和的长即可解决问题．【解析】解：如图，连接，设正方形ABCD的边长为，∴，∴，∵点E是边的中点，∴，∵正方形是轴对称图形，关于对称，点B和点D是一组对应点，∴点B、D关于对称，∴，∴，．当D、P、E共线时，的值最小，如下图：在中，，∴的最小值为，∴点Q的纵坐标为，∵，∴∵，∴，∴点Q的横坐标为，∴点Q的为，结合图2可知，当点P与点C重合时，，解得：，∴点Q的坐标为．2．（2022·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为_______．【答案】【分析】已知正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，可先证明△OA1B1∽△OA2B2，求出正方形A1B1C1A2的边长1=20，正方形A2B2C2A3的边长为21=2；同理可证明△OA2B2∽△OA3B3，求出正方形A3B3C3A4的边长为4=22......由此可归纳出规律：正方形AnBnCnDn+1的边长为2n－1．在正方形A2021B2021C2021A2022中，n=2021，将n的值代入2n－1即可求出该正方形的边长，根据正方形面积公式，即可求出该正方形的面积．【解析】解：∵正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，∴，∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴，∴△OA1B1∽△OA2B2，∴，∵，∴，∴，∴正方形A1B1C1A2的边长1=20，∵△OA1B1∽△OA2B2，∴，∴，∴正方形A2B2C2A3的边长为21=2；同理可证△OA2B2∽△OA3B3，∴，∵四边形A2B2C2A3是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴正方形A3B3C3A4的边长为4=22，综上，可归纳出规律：正方形AnBnCnDn+1的边长为2n－1．∴正方形A2021B2021C2021A2022的边长为：，∴正方形A2021B2021C2021A2022的面积为：．故答案为：．3．（2022·四川广元·一模）如图，等边三角形ABC的边长为2，D，E是AC，BC上两个动点，且AD＝CE，AE，BD交于点F，连接CF，则CF长度的最小值为______．【答案】【分析】由AD＝CE，可知点F的路径是一段弧，即当点D运动到AC的中点时，CF长度的最小，即点F为△ABC的中心，过B作于，过A点作交于点，则可知，由△ABC是等边三角形，BC＝2，得，进而可知，则CF长度的最小值是．【解析】解：∵AD＝CE，∴点F的路径是一段弧，∴当点D运动到AC的中点时，CF长度的最小，即点F为△ABC的中心，过B作于，过A点作交于点，∴，∵△ABC是等边三角形，BC＝2，∴，∴．∴CF长度的最小值是．故答案为：．4．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，正方形的边长为4，点E是对角线上的动点（点E不与A，C重合），连接交于点F，线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接．下列结论：①；②；③若四边形的面积是正方形面积的一半，则的长为；④．其中正确的是_________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】过E作EM⊥BC，EN⊥CD，可证△BEM≌△FEN得BE=EF，故①正确；可证四边形BEFG是正方形得∠EBG=90°，BE=BG，可证∠ABE=∠CBG，进而得到△ABE≌△CBG，所以∠BAE=∠BCG，得∠BCA+∠BCG=90°，即∠ACG=90°，可证②正确；由可求BE=，过E作EH⊥AB，则∠AEH=180°-∠BAC-∠AHE=45°，知AH=HE，设AH=HE=x，则BH=4-x，由，得到AH=HE=2，从而得到，知③错误；由②可知，△ABE≌△CBG，所以AE=CG，而CG+CE=AE+CE=AC可求，④正确．【解析】解：过E作EM⊥BC，EN⊥CD∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD∴EM=EN∵∠EMC=∠MCN=∠ENC=90°∴∠MEN=90°∵EF⊥BE∴∠BEM+∠MEF=∠FEN+∠MEF=90°∴∠BEM=∠FEN∵∠EMB=∠ENF=90°，EM=EN∴△BEM≌△FEN∴BE=EF故①正确；∵∠BEF=∠EFG=90°，EF=FG，BE=EF∴BE=FG，BE∥FG∴四边形BEFG是平行四边形∵∠BEF=90°，BE=EF∴四边形BEFG是正方形∴∠EBG=90°，BE=BG∵∠ABC=90°∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBG=90°∴∠ABE=∠CBG又∵AB=BC，BE=BG∴△ABE≌△CBG∴∠BAE=∠BCG∵∠BAE+∠BCA=90°∴∠BCA+∠BCG=90°，即∠ACG=90°故②正确；∵∴∴BE=过E作EH⊥AB∵四边形ABCD是正方形∴∠BAC=45°∵∠AHE=90°∴∠AEH=180°-∠BAC-∠AHE=45°∴AH=HE设AH=HE=x，则BH=4-x∵∴解得∴AH=HE=2∴故③错误；由②可知，△ABE≌△CBG∴AE=CG∴CG+CE=AE+CE=AC∵∠ACB=45°∴AC=∴CG+CE=故④正确，所以答案为：①②④．5．（2022·四川宜宾·一模）如图，线段OA分别交反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＞0）的图象于点A，B，过点B作CD⊥x轴于点D，交反比例函数y1＝（x＞0）的图象于点C，若OB＝2AB，则△OBD与△ABC的面积之比为_____．【答案】【分析】根据题意，用含k1、k2的式子表示各点，从而表示△OBD与△ABC的面积之比，最终得到比值；【解析】解：过点A作AE⊥OD于E点，∵CD⊥x轴于点D，∴BD∥AC，OB＝2AB，∴，，∵反比例函数y1＝（x＞0），y2＝（x＞0）的图分别经过点A，B，∴S△OBD＝k1，S△OAE＝k2，∴k1：k2＝4：9，设点B的纵坐标为2m，则点B坐标为（，2m），点A坐标为（，3m），∴点C的横坐标为，纵坐标为，∴，∴，故答案为：8：5．6．（2022·广东佛山·一模）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若，则_________．【答案】18°【分析】连接，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得和为等腰三角形，，；由折叠可知，可得；由，，，可得，进而得到；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得；最后在中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．【解析】解：连接，如图：∵四边形是矩形，．∵M是的中点，，，．∵与DC关于DE对称，，．∵MF=AB，，，．．∵∠DFC=∠FDM+∠FMD，．∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，．设，则，．∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°，．．故答案为：18°．7．（2022·云南文山·一模）正方形ABCD的边长为8，点E在BC边上，且CE＝2，点P是正方形边上的一个动点，连接PB交AE于点F，若PB＝AE，则PF的长为_____．【答案】5或5.2【分析】当点P在BC上，AE＞BP，当点P在AB上，AE＞BP，当点P在CD上，如图，根据PB=AE，可证Rt△ABE≌Rt△BCP（HL），可证BP⊥AE，根据勾股定理可求，根据三角形面积可求，可求PF=BP-BF；当点P在AD上，如图，可证Rt△ABE≌Rt△BAP（HL），再证AF=PF=BF=EF，根据AE=BP=10cm，可求PF=BP=×10=5．【解析】解：当点P在BC上，AE＞BP，当点P在AB上，AE＞BP，不合题意；当点P在CD上，如下图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=AD=CD=8，在Rt△ABE和Rt△BCP中，∴Rt△ABE≌Rt△BCP（HL），∴∠EAB=∠PBC，∵∠EAB+∠AEB=90°，∴∠PBC+∠AEB=90°，∴∠BFE=180°-∠PBC-∠AEB=90°，∴BP⊥AE，∵EC=2，∴BE=BC-EC=8-2=6，∴，∴，∴，∴PF=BP-BF=AE-BF=10-4.8=5.2；当点P在AD上，如下图，在Rt△ABE和Rt△BAP中，∴Rt△ABE≌Rt△BAP（HL），∴BE=A