2022年二轮复习高考圆锥曲线解答题专题一 (求面积的大小)

圆锥曲线解答题专题一求面积的大小

1.已知椭圆。：4+£=1(«>>>0)的离心率6=孝，且椭圆过点(a,1)

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线/与C交于用、N两点，点。在椭圆C上，。是坐标原点，若丽+丽=丽,

判定四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

2.已知定点M(—1,0),圆N:(x-iy+y2=i6,点Q为圆N上动点，线段MQ的垂直

平分线交NQ于点尸，记尸的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点M与N作平行直线乙加4,分别交曲线C于点A、8和点。、E，求四边形

44力石面积的最大值.

£十工=l(a>b>0)的离心率为逅，且经过点《，!).

3.己知椭圆C：

ab2322

(1)求椭圆C的方程.

(2)过点P(0,2)的直线交椭圆。于A、8两点，求“08(。为原点)面积的最大值.

4.在平面中，已知椭圆C:1+£=l(a>b>0)过点尸(2,1),且离心率e=*

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/方程为y=直线/与椭圆。交于A，8两点，求MAS面积的最大值.

5.在平面直角坐标系xQy中，椎圆C:4十方的离心率为苧直线y=x

被椭圆C截得的线段长为生匝.

5

(1)求椭圆。的方程；

(2)过原点的直线与椭圆C交于AB两点(AB不是椭圆。的顶点)，点。在椭圆c上，

且AQJLAB，直线3。与x轴》轴分别交于M,N两点.

①设直线3RAM斜率分别为占水2,证明存在常数之使得K=丸&，并求出义的值；

②求bOMN面积的最大值.

22

6.已知椭圆时：二+1庐=1(〃>b>0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三

个顶点，且椭圆经过点&，¥[

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)直线/：X=6+〃与椭圆"相交于48两点，且以线段48为直径的圆过椭圆的右

顶点C,求6c面积的最大值.

Z21

7.己知椭圆。：£+卓=1（〃>0>0）的离心率为其短轴长为2石.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知直线/:x=4,过椭圆右焦点尸的直线（不与工轴重合）与椭圆C相交于A,B

两点，过点A作AOJJ,垂足为O.

①求证：直线3。过定点E，并求出定点E的坐标；

②点。为坐标原点，求408。面积的最大值.

8.已知直线y=2x+m（加工0）与抛物线V=4x交于A、B两点,

（1）若。4_LQB,求）的值;

（2）以AB为边作矩形A8CD,若矩形ABCO的外接圆圆心为求矩形A8CD的

12）

面积.

9.在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆「十乌=1（4＞。＞0）的长轴长为6,且经过点

ab"

Q（|,右），A为左顶点，8为下顶点，椭圆上的点尸在第一象限，外交y轴于点C,PB

交”轴于点Q.

（1）求椭圆的标准方程

（2）若砺+2觉=6,求线段P4的长

（3）试问：四边形488的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由

10.己知椭圆C：1+与=1（。＞力＞o）的左焦点为尸（一2,0）,离心率为巫.

a2b23

（0）求椭圆C的标准方程；

（国）设0为坐标原点，7为宜线工=一3上一点，过尸作7F的垂线交椭圆于P,Q.当

四边形OP7Q是平行四边形时，求四边形OP7Q的面积.

11.已知椭圆£:鼻+马=1（々>匕>0）和圆&：/+丫2=/”>0）,石、尸2为椭圆C

的左、右焦点，点8（0,百）在椭圆a上，当直线8月与圆G相切时，r=y.

（I）求G的方程；

（团）直线]:>=依+机（左>0,m>0）与椭圆G和圆02都相切，切点分别为M、N,求

△QMN面积的最大值.

12.已知椭圆c：三+菅=1（。>>>0）的左右焦点分别是F\,F”抛物线/=4x与椭圆C

有相同的焦点，点尸为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且满足|尸鸟|二；.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点6作直线/与椭圆。交于A,8两点，设丽=几用.若义41,2],求面

积的取值范围.

13.已知抛物线C：Y=2〃y（〃>0）的焦点为F,点Q在抛物线C上，点P的坐标为（l,g

且满足砺+2而=殖（。为坐标原点）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线/交抛物线C于48两点，且弦A8的中点M在直线V=2上，试求AQAB的

面积的最大值.

14.已知△ABC的两个顶点坐标是6（—26,0）,C（2百,0）,“IBC的周长为8+46,

。是坐标原点，点M满足以=-2加

（0）求点M的轨迹上的方程；

（0）设不过原点的直线/与曲线E交于P,。两点，若直线。只。。,。。的斜率依次成等比

数列，求面积的最大值.

15.已知抛物线E：y2=3x,圆M：%—2）2+必=4,点N为抛物线£上的动点，0为坐标原

点，线段。N的中点P的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵点Qxo,yo）（XoN5）是曲线C上的点，过点。作圆M的两条切线，分别与X轴交于48两

点，求团面积的最小值.

17.己知椭圆E：I+工=1（。>b>0）过点。1）且离心率e=—

a2b22

（助求椭圆E的方程；

（勖设动直线/与两定直线/i：x-y=0和/2：x+y=O分别交于PQ两点.若直线/总与椭圆E有且只

有一个公共点，试探究:团OPQ的面积是否存在最小值?若存在，求出该最小值;若不存在,说明理

由.

18.已知椭圆之[+£=1（々＞8〉0）的左焦点为尸卜J5,0）,过F的直线交£于4C

两点，AC的中点坐标为（一苧，亭.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过原点O的直线80和4C相交且交E于8、D两点，求四边形ABCO面积的最大值.

圆锥曲线解答题专题一求面积的大小(解析)

1.已知椭圆。：4+£=1(«>>>0)的离心率6=孝，且椭圆过点(a,1)

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设直线/与C交于用、N两点，点。在椭圆C上，。是坐标原点，若丽+丽=丽,

判定四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

22

【答案】(1)工+二=1;(2)是定值，其定值为卡.

42

J也

a~2

z21

(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),由题意可得//+乒=1解得片=4，廿=2,

a2=b2^c2

因此，椭圆c的标准方程为《+£=i；

42

(2)当直线/的斜率不存在时，直线MN的方程为工二-1或x=l.

x=]x=l

若直线/的方程为x=l,联立x2y2J可得，

--F—=1y=±

42T

此时，|MN|=几，四边形QM0N的面积为gx遥x2=J4,

同理，当直线/的方程为x=-l时，可求得四边形QMDN的面积也为几；

当直线/的斜率存在时，设直线/方程是)，=履+机,

代人到；+[_=[,得（1+2/卜2+被郎+2/一4=0,

-4km2M2—4

=9,△=8（422+2-加2）＞0,

,,"1+"21\+2FX1b2—1+2公r

2m

y+%=%（内+々）+2m=

1+公'

22万42+2-加

IMN\=Jl+%2-\xy-X2\=J1+&2.^（x,+X2）-4X（X2=J1+&2x

1+2公

,m

点O到直线MN的距离d=J二,

4km2m

由两+反=而，得而=玉+/=一%=X+%=

2k2+*411+2/

(一4km)(2m)

•・•点O在椭圆C上，所以有11+2k2Jll+IF),，整理得1+2公=2帆2,

--+-—=1

4------2

由题意知，四边形OW0N为平行四边形，

二平行四边形OMDN的面积为

Ss=2§刖=2x；|MN|xd=J]+rX?"也’2*乂7与■

_小4叫8r+4-2*_曲2公+1)[弘2+4-(2公+3_后(28+1)_

-1+2—2-2公+1--2k2+1--6

故四边形OMEW的面积是定值，其定值为6.

2.己知定点M(-1,0),圆N:(x—1)2+9=16,点。为圆N上动点，线段MQ的垂直

平分线交NQ于点尸，记P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点M与N作平行直线4却4,分别交曲线C于点4、8和点。、E,求四边形

ABOE面积的最大值.

22

【答案】(1)—+^-=1；(2)6.

43

(1)由中垂线的性质得|PM|=|PQ|,.•.|网+|四=归。|+|称|=4>|肱7|=2,

所以，动点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆，

22

设曲线C的方程为，+£=l(〃>b>0),则。=2,/?=,/_]=,，

22

因此，曲线c的方程为:三+*=1；

43

(2)由题意，可设，2的方程为x="+l，

’22

土匕=]

联立方程得，43一=>(3?+4)y2+6ry-9=0,

x=ty+l

6/

设。（巧，y）、^（Q，乃），则由根与系数关系有，

9

%%=一内

所以QE|=町*=回岛卜其=婴?’

同理.」；（；+?’《与，2的距离为〃=不孑，

所以，四边形A5QE1的面积为S=24xY旦，

3『+4

。24〃24

2

令J1+*=u,则〃N1,得3w+13〃+，，

u

由双勾函数的单调性可知，函数y=3〃+2在［1,+8）上为增函数，

S二24

所以，函数3〃+，在［L*。）上为减函数，

u

当且仅当〃=1,即1=0时，四边形A8OE的面积取最大值为6.

3.已知椭圆C：［+耳=1（。＞匕＞0）的离心率为逅，且经过点己!）・

a2b2322

（1）求椭圆C的方程.

（2）过点P（0,2）的直线交椭圆C于4、B两点,求△AOBl。为原点）面积的最大值.

【答案】(D—+y2=l；(2)B

32

(1)由e2=£l^l=i一与=2得2=立①,

a2a23a3

3101

由椭圆C经过点(―>~■)得—~~-H―—1②，

224Zr

联立①②，解得b=l,a=5

团椭圆C的方程是土+y2=1；

3

（2）由题意可知直线A5一定存在斜率，设其方程为丁=履十2,

y=kx+2

联立《x2、消去>得:（1+3/）/+12履+9=0,

—+）广=1

3

则A=144二一36（1+3-）>0,得公>1，

\2k9

设%）、则芳+々、_[，xx

4%，B（X2,y2）,i2=-

1।DK1।J）AC

回S“O8=|S.POB-S/oJ=；x2X|再一%|=|X一工21，

223636（如-1）

2a+x2）-4%.x2=（--^j）-

团（内-x2）

1"iDAC1+3廿-（1+3攵2f

（x,_X2）2=^=363£_=3

设心』（f>0）,则（31+4）29,+%242mf+24人

当且仅当勿二3，即，=4时等号成立，此时公=:>1,可取,

，33

此时AAOB面积取得最大值B.

2

第2=1（。>〃>0）过点P（2,1）,且离心率e=*

4.在平面x0y中，已知椭圆C：r+y

a~

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/方程为y=；x+〃z,直线/与椭圆C交于A,B两点,求AE48面积的最大值.

22

【答案】（T）—+^-=1;（2）2.

82

（1）因为椭圆C:二+y=13>8>0）过点Q（2,1）,且离心率©二

a

41।

—+------7=1

a~a~-c

所以《

cV3

­=----

a2

解得a=272，c=R，则b=、5，

22

所以椭圆方程为：—r+^V_

1.

82

（2）设直线方程为y二^工+机，AU|,y）、B（&,y2）,

1

=—x+m

y2

联立方程组《整理得：x2+2tnx+2/w2-4=0»

二=1

182

2

所以X+/=-2m,x,x2=2m-4,

由弦长公式得：|4川=*（4-病）,

,2|川

点P到/的距离为d=毛」.

所以S=^\AB\d=府二嬴鸡="一防2,,加2+（：-"）

当且仅当加2=2,即m=±应时取到最大值，最大值为：2.

22/T

5.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:，+菅=1（〃>6>0）的离心率为半，直线y=x

被椭圆C截得的线段长为生叵.

5

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点的直线与椭圆C交于A8两点（AB不是椭圆C的顶点），点D在椭圆。上,

且A£>J_AB，直线3D与x轴丁轴分别交于M,N两点.

①设直线班）,AM斜率分别为人,白，证明存在常数；I使得4=4&，并求出义的值;

②求AOMN面积的最大值.

/1Q

【答案】⑴、+丁=1.（2）①证明见解析，2=--；

【解析】

试题分析：（1）首先由题意得到包二工=且，即/=4/.

a2

将丁=%代入/+4丁=/可得工=士半，

由&X拽4=生叵，可得。=2）=1得解.

55

（2）（0）注意从确定人,融的表达式入手，探求使占二2&成立的九

设4（百,y）（石yw0）,D（x2,%），则设F，-y），

得到=二#，

玉+x24%4玉

根据直线BD的方程为y+y=4（x+x），

4片

令y=0,得x=3x，即M（3%,0）.得到他二一六.

由匕=一!女2,作出结论.

2

（0）直线BD的方程y+y=4（工+玉），

i39

从确定△QMN的面积表达式S=7X3X|x-%=7%|凹|入手，应用基本不等式得解.

248

试题解析：（1）由题意知亚正=也，可得"=4从.

a2

椭圆C的方程可化简为x2+4y2=a2.

将丁=主代入可得*=±&,

5

因此夜x冬旦=生叵，可得Q=2.

55

因此b=1,

2

所以椭圆C的方程为三+y2=]

4

（2）（0）设A（M，），]）（%阴wO）,。®,%），则B（F，-y）,

因为直线AB的斜率38=",

又AB_LAD，所以直线AD的斜率k=一%,

y

设直线AD的方程为y=，

由题意知女工0,mwO,

y=kx+m

由，X2,可得（1+422）/+8加区+4苏一4=0.

—+y=1

14

-8mk

所O以1U…=一再

2m

因此X+必=-玉+/)+2加=]+4后，

由题意知，天工工2

所以心力

Xy+X24k4M

所以直线BD的方程为y+y=/(工+%)，

招

令y=o,得工=3芭，即M(3%,0).

可得的=—2.

2%

所以K=—k、,即4=—.

22

因此存在常数2=--使得结论成立.

2

(a)直线BD的方程y+y=—L*+x),

4%

33

令x=0,得y=-：y，即N(O,一：X),

44

由(0)知”(3%,0),

139

可得AOMN的面积5=7乂3%x-3.^=-x|yj,

248}

因为国闻《匕+才=1,当且仅当区=血=也时等号成立,

422

9

此时S取得最大值三,

8

9

所以AOMN的面积的最大值为广

8

6.已知椭圆M:kF1（6/>/?>0）的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三

个顶点，且椭圆经过点收，等）

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）直线/：X=◎叶〃与椭圆刖相交于4B两点,且以线段48为直径的圆过椭圆的右

顶点C,求AABC面积的最大值.

丫〜16

【答案】（1）---Fy2=1;（2）—

425

（1）设椭圆的上下顶点为4（0,〃），员（0,-。），左焦点为耳（-。⑼,

则△片鸟尸是正三角形，所以勖=后寿=〃，

则椭圆方程为三十4二1.

4b2b-

将代入椭圆方程，可得一方H---y=1»

2）4b2b

解得々=2,b=l,故椭圆的方程为工十寸=1.

4

（2）由题意，设直线/的方程为x=6+〃，联立J4>

x=ky+n

消去x得（r+4）），2+2%町，+*-4=0.

设A&M，5（巧,力），

.-2knn'-4

则有x+%=E，y%=E，

因为以线段48为直径的圆过椭圆的右顶点。（2,0）,所以画.行=0,

由C4=（内一2,yJ,或=（&-2,以），则（大一2）（々-2）+乂必=0,

将~=幻］+〃，兀2=妗'2+〃代入上式，

并整理得(公+1)”2+&5-2)5+%)+(〜2)2=0,

(A:2+l)(n2-4)-2k2n(n-2),k

K+4k~+4

化简得(5〃一6)(〃-2)=0,解得〃=《或〃=2,

因为直线x=ky+n不过点C(2,0),

（、

所以〃。2,故〃=?6.所以直线/恒过点。6-,0.

515，

故^^c=5locTly_%l

12,736.

-----k4-----4

6、优乂+必)?-4yM=]5(25

25J左？+4〃+4

825(^2+4)-36

25…2

。</，

设£=

则5乐=擀,-36/+25/在*上单调递增,

*116

当/="7时，S=—.—36x—+25x—=—

4"A此RC25V16425

所以△ABC面积的最大值为3.

25

22

7.已知椭圆。：£+乐=1（〃>6>0）的离心率为其短轴长为2G.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知直线/:x=4,过椭圆右焦点尸的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A,B

两点，过点A作ADJL/,垂足为。.

①求证：直线3。过定点E，并求出定点E的坐标;

②点。为坐标原点，求△QBD面积的最大值.

r2v2,5、15

【答案】⑴—+^-=(2)①证明见解析；定点E为-,0；②一.

43U；4

c1

e=—=—

a2a=2

(1)由题意可得，2b=2y/3,解得，b=8,

a2=b2+c2c=\

故椭圆。的方程为三+汇=1.

43

(2)由对称性，若直线3。过定点E，则该定点E必在4轴上，

①由题得尸(1,0),设直线AB：K=%y+l(m£R),

设A(%,yJ,网苍,%)，。(4,%),

x=my+1

联立方程.fy2,得(3m2+4)丁+6缈-9=0,(*)

143

所以有乂+必=总"7，月々"UznBbi+%)，

3m+43。m？+4

因为&c=上?，所以直线3D的方程为y一%=江?(％—4),

X2-4X2-4

令y.0,得”;4■.见至4)=4_弘(加必3)=4_殁跖3%,「)

%一乂%一凹％一乂

3

将2毁必=3(乂+%)代入(**)，则大=4]()1+)’2)—3y=43=5,

%-凹22

故直线BO过定点(|,0)，即定点£为(5,0).

②在(*)中，A=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1),

所以|乂一%|=J(y+y2)2-4yy2=

11丫力7232丫J(3疗§丝+4)2/(3>¥+4)=2=二3m'2？+4+1

又直线BD过定点E|,0）,

2

racc.c1IcriII512厢二715y/m+l

0

OBD=0ED+S.EB=2•10印|y2一%|=73病+4=3M+4，

15/15

令£=5^7万21，则△°曲"7节"171在‘目1'叱）上单调递减，

t

故当/=1,加=。时，（S△皈）由二?。

8.已知直线y=2x+m（相声0）与抛物线y2=4x交于A、B两点，

（1）若OA_LQB,求加的值；

（2）以A8为边作矩形A8C。，若矩形ABCO的外接圆圆心为（1,2］，求矩形A8CD的

（2）

面积.

【答案】（1）-8；（2）30.

（1）y=2x+/n与J=4x联立得y?—2y+26=0

由△>（）得机<5，设4（%,乂）,8（天,%），则Y+%=2,y，y2=2m

mOAlOB^^OAOB=0

团0=%/2+,必=（）'；）+%%'何）'1%=-1602/n=-167n=-8,满足题意.

（2）设弦的中点为则％=吗&=1,山=汽1生=与竺，设圆心7-,2

乙乙J\乙

2-12二］

A.AB11-w-团〃i=T,

2__2"

则0|MT|=>/5,1ale目=2石

/y—％|=］（y+必）2一4,月=V4-8/n=6^\AB\=J1+出仄一%|=3亚

回面积为|加・|8|=30.

fy2

9.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆靛+京=l(〃>b>0)的长轴长为6,且经过点

C(1,x/3),A为左顶点，8为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，力交y轴于点C,PB

交x轴于点

(1)求椭圆的标准方程

(2)若说+2交=6,求线段尸A的长

(3)试问：四边形A8CZ)的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由

【答案】(1)£.+£=1；(2)”叵；(3)是定值，6.

9415

(1)解：由题意得2〃=6,解得a=3.

r2v293

把点。的坐标代入椭圆C的方程与+\=1,得工+==1

a2b24/b-

由于。=3,解得b=2

所以所求的椭圆的标准方程为《十二=1.

94

(2)解：因为砺+2觉=0，则得反二一!砺二(0,1),即C(0/),

2

又因为A(—3,0),所以直线AP的方程为y=；*+3).

y=*+3)27

x=——

x=-315r2724^

由・22解得'尸。(舍去)或,即得P

xy.24

y=一

19415

所以加解可期喈

即线段AP的长为生叵

15

(2\

(3)由题意知，直线P8的斜率存在，可设直线P8:y=Ax—2k>-.

\5)

令尸。,得喉。,

y=Ax-2

由If得(4公+9)%2—36履=0,解得x=0(舍去)或％=——y

---F—=174+9K

194

匚匚［、।18%~—836k18^-8

所以y=------,即HnPD

4+9公、4+9公'4+9公

185一8

于是直线AP的方程为y=鸳+9x。+3),即y=誉-?(文+3)

36k+33(3%+2)

1+4公

令户°'得户孽整f2(32—2)

，即0II0rn

所以四边形ABDC的面积等于-x\AD\x\BC\

2

1(2八(2(32—2)413k+212k

=——F3--------------F2=------------------------

21攵)I3k+2)2k3左+2

即四边形ABDC的面积为定值.

10.已知椭圆C：=+与=1（。＞方＞0）的左焦点为尸（-2,0）,离心率为好.

a2b23

（0）求椭圆C的标准方程;

（回）设。为坐标原点，T为直线工=一3上一点，过尸作7F的垂线交椭圆于P,Q.当

四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.

22

r广

【答案】⑴一十上v二1；（2）26

62

试题解析：（1）由已知得：£=底，c=2,所以o=

a3

22

又由〃2=从+。2,解得b=夜，所以椭圆的标准方程为：—+^-=1.

62

（2）椭圆方程化为/+3y2=6.

m

设T点的坐标为（一3,小），则直线TF的斜率%=9,1、=-.

当加工0时，直线PQ的斜率既（）=工，直线PQ的方程是工=相）一2

m

当〃2=0时，直线PQ的方程是工=-2,也符合工=冲-2的形式.

将X=根》,—2代入椭圆方程得：（tn2+3）/-4my-2=0.

其判别式A=16m2+8（w2+3）>0.

设2（为,%）,。（%2，y2），

4,/z—2—12

则y+%=X%=-^-7^1+/=Mx+K）-4=-^―.

m+3m+3m+3

因为四边形OPTQ是平行四边形，所以而=行，SP（xpy1）=（-3-x2,/n-y2）.

-12~

x1+x2=-2---=-3

所以｛"：+3,解得相=±1.

4/??

乂+必=丫^=〃2

m+3

此时四边形OPTQ的面积

S.Q=2s加=2x1o斗E川=2^^）2-4品二「

Y，〃IDfii■。

22

11.已知椭圆G：］+当=l（a">0）和圆州：上+'2=/=>0）,耳、尸2为椭圆G

的左、右焦点，点8（0,6）在椭圆C上，当直线8片与圆G相切时，，・=且.

（|）求G的方程；

（团）直线/：）=依+6（2>0,机>0）与椭圆G和圆。2都相切，切点分别为例、N,求

△QMN面积的最大值.

【答案】（0）—+^-=1；（0）

434

（0）由题可知b=JJ.①

设£（-c,0）,则由与圆相切时厂=立，得处=且，即。==.②

2a22

22

将①②代入。2=从+/,解得〃=2,所以椭圆G的方程为?+《=1；

（0）设点M（x，y）、N优,％），

将）=奴+加代入?+方=1得（422+3）d+8/7^+4加2一［2=0.

由直线/与椭圆G相切得4=64产病-4（4r+3）（4加-12）=0,即4=4r+3,且

-4km

4?+3

3m

-km

由直线/与圆C,相切，设0N:y=-1x

与y=+m联立得，

km

必F

设直线/：>=版+〃2（4>0,〃2>0）与不轴交于点。，则。［,。

当且仅当&=1时等号成立,

所以△QMN的面积的最大值为一.

4

r2v2

12.已知椭圆。:=+方=l（a>b>0）的左右焦点分别是耳，耳，抛物线V=44与椭圆C

有相同的焦点，点尸为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且满足|「巴|二*

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点耳作直线/与椭圆。交于A8两点，设丽=4耶.若；求A4B鸟面

积的取值范围.

22

【答案】⑴三+匕

43

（1）由题意得抛物线y2=4x的焦点坐标为6（1,0）,准线方程为工工一1.

叫叫=|，

552

回点P到直线x=-l的距离为一，从而点P的横坐标为一一1二一,

333

又点P在第一象限内,

2

回点P的坐标为（士,

3

57

团2a=归周+归闯=；+§=4,

回。=2.

妨2=/_。2=3,

22

回椭圆。的方程为王+二=1.

43

（2）根据题意得直线/的斜率不为0,设其方程为工=%」1,

x=my

*2*

由，x/消去工整理得（3病+4）9-6〃少一9=0,

143

2

显然A=36m+36(3m2+4)=144(〃/+1)>0.

6

设A（百,y）,B（wj2），则'W+4①

9

3疗+4

团近=4用，即丽（_1一百,一乂）=4（勺+1,%），

团f=4%，

4/w2_(2-1)

代入①消去力，必得

3加2+42

02G[1,2],

1

=2+--2e0,-，

A22

B0<-4^解得

3〃/+425

由题意得SjBFz=J啊1%-=J(%+%)2-4yM=12，疗+1

3m2+4

令Jl+毋,则〃/=»-],

c_nt12

0^-VTT_rj,

J/n■一

设/Q)=3f+1/w[l,

,则/Q)在[1,上单调递增,

0/(1)</(0</(^-)>即+警，

也上<3

085.

即A43K面积的取值范围为叫.

13.已知抛物线C：Y=2〃），（〃>0）的焦点为F,点Q在抛物线C上,点P的坐标为（l,g）,

且满足砺+2而=殖（。为坐标原点）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线/交抛物线C于48两点，且弦A8的中点M在直线V=2上，试求AQAB的

面积的最大值.

【答案】（1）x2=4y；（2）4yh.

解：⑴设Q(%,%)，团尸(0段，

0OF+2FP=FG=>dF=Fe-2FP=>fo,-^=fx0-2,y0+^-l

团为一2=0,=

回玉）=2,y0=1,即。（2,1）.

又0点Q在抛物线C上，

022=2p-1,团p=2,

回抛物线C的方程为x2=4y.

（2）依题意，可知直线A3与x轴不垂直，故可设直线的方程为y-收+工

并设A（%,yJ,8（孙％），A3的中点M（%，2）.

y=kx+b

联立方程组12,消去，，

x=4y

得/一46一4b=0，

团%+工2=4&,为占=-46.

团线段AB的中点的纵坐标为2,

回芳+%=%（玉+9）+»=4%2+力=4,即。=2-2&2.

由△=16公+1劭>0，得/+〃>0,

故22+6=攵2+（2一2欠2）>0,则22g[o,2）.

由丁=履+6,令1=0,得y=b=2-2公.

回S.L；同•归一W|=；|2-2F卜1&+工2）2一4%也=4，（1-K丫（