2021年上海七年级数学期末测试专题-第14章 三角形章节压轴题专练

第14章三角形章节压轴题专练

I能力提升

一、单选题

1.（2019•上海七年级课时练习）如图，OP//QR//ST下列各式中正确的是（）

A.Z1+Z2+Z3=18O°B.N1+N2-N3=9O,

C.Z1-Z2+Z3=9OD.Z2+Z3-Z1=18O

【答案】D

.•.N2=N4,

；N3与NESR互补,

.,.ZESR=180°-Z3,

是aFSR的外角，

.,.ZESR+Z1=Z4,即180°-Z3+Z1=Z2,

/.Z2+Z3-Z1=180°.

故选D.

考点：平行线的性质.

2.（2018•上海市第八中学七年级月考）如图所示，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE=AF,

当满足下列条件仍无法确定的AABE乌4ACF是（）

A.AB=ACB.CF=BEC.BF=CED.ZB=ZC

【答案】B

【分析】由条件隐含条件是公共角NA,AE=AF,然后再逐个添加条件，如果不符合判定法则，

即为答案.

【详解】解：结合已知条件：可发现A选项满足SAS;C选项和已知条件AE=AF,可说明AB=AC,满

足SAS即C可以；B选项添加条件后变为SSA,但SSA不能证明三角形全等，故B错误；D选项满足

ASA;

故选B

【点睛】本题考查添加一个条件让三角形全等，SSA不能证明三角形全等是解答本题的关键.

二、填空题

3.（2019•上海闵行区•七年级期中）如图，对面积为1的小钻。逐次进行操作：第一次操

作，分别延长A8、BC、C4至点4、B］、C,,使得A8=2AB,B】C=2BC,C,A=2CA,

顺次连接4、4、£,得到A418G,记其面积为S”第二次操作，分别延长为巴、B£、

GA至点4、B2、C2,使得&4=24与、BQ=2BC、=2。小，顺次连接&、B2C2,

得到A4282c2,记其面积为邑，…，按此规律继续下去，可得到M&CG，则其面积52=

【答案】361

【分析】根据三角形等高时底之比等于面积比得出AA8C的面积为AABC面积的两倍，则

△44。的面积是AA8C的2倍…，以此类推，得出A&B2G的面积.

【详解】

连接AC,,根据A8=2AB,A41BC的面积为AABC的2倍，所以郎田。的面积

为2；同理想耳。的面积为AABC的2倍，所以A4#C的面积为4；

以此类推：A4cBi的面积为2,A4G用的面积为4,的面积为2,A4£G的面积为4

/.A4,BC=4=19,即△ABC面积为AABC面积的19倍，以此类推“与C2的面积为

MBC面积的0倍，所以AA/2G=S2=19?x1=361.

故答案为：361

【点睛】利用三角形的底与高之间的数量关系判断面积的数量关系是解决本题的关键.

4.（2019•上海奉贤区•）如图，已知AADC的面积为4,AD平分N8AC,且4）,80于

点O,那么AABC的面积为.

【答案】8

【分析】延长BD交AC于点E,则可知AABE为等腰三角形，则SAHS皿：,可得出义,、“二

GSAW.即可求出答案.

2

【详解】解：如图，延长BD交AC于点E,

；AD平分NBAE,ADXBD,

ZBAD=ZEAD,ZADB=ZADE,

在4ABD和aAED中，

NBAD=NEAD

<AD=AD,

ZBDA=ZEDA

AAABD^AAED（ASA）,

・・・BD=DE,

=

••SAABDSAADE，SABIX^SACDE9

•••SAABD+SABDC=SAADE+SACDI^SAAIK-,

SAADC~-SAABC,

2

••=2x4=8；

故答案为：8.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定和性质，由BD=DE得

至USAABD=SAADE,SABIGSACDE是解题的关键.

5.（2019•上海普陀区•七年级期末）已知一个等腰三角形的三边长都是整数，如果周长是

10,那么底边长等于.

【答案】2或4

【分析】设等腰三角形的腰是X,底是y,然后判断1至4中能构成三角形的情况.

【详解】设等腰三角形的腰是x,底是y,.•.2x+y=10

当x取正整数时，x的值可以是：从1到4共4个数，

相应的y的对应值是：8,6,4,2.

经判断能构成三角形的有：3、3、4或4、4、2,

故答案为2或4.

【点睛】此题考查二角形的二边关系及等腰二角形的定义，首先根据周长找到整数的边长的

情况，判断其是否为等腰三角形即可解答.

6.（2019•上海浦东新区•七年级月考）在中，AB=AC,把AABC折叠，使点3与

点A重合，且折痕交边A3于点M，交边于点N.如果AC4N是以CN为腰的等腰三角

形，则D8的度数是_______.

【答案】45。或36°

【分析】是AB的中垂线，则AABN是等腰三角形，且NA=NB,即可得到

ZB=ZBAN=ZC.然后对AANC中的边进行讨论，然后在AABC中，利用三角形内角和

定理即可求得D8的度数.

【详解】解：•.•把A46C折叠，使点3与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N,

.•.MN是A3的中垂线.：.NB=NA.：.ZB=ZBAN,

•.•AB=AC，.-.ZB=ZC.

设ZB=x。，则NC=N£L47V=x。.

1）当⑷V=NC时，NGW=NC=x°.

则在MBC中，根据三角形内角和定理可得：4%=180,

解得：x=45。则4=45°；

18（）_x

2）当C4=GV0寸，NNAC=ZANC=------.

在AA8C中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+------=18（）.

2

解得：x=36。.故DB的度数为45。或36。.

故答案为：45。或36°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角，正确对AANC的边进行讨论是解题的

关键.

7.（2019•上海浦东新区•七年级期末）如图，8/平分NABD,CE平分NACO,BF与

CE交于G,若NBDC=m。,ZBGC=n°,则NA的度数为.（用〃?，〃表示）

【答案】2n°-m°

【分析】连接BC,根据三角形内角和定理可求得NDBC+NDCB的度数，再根据三角形内角和定

理及三角形角平分线的定义可求得NABC+NACB的度数，从而不难求得/A的度数.

【详解】连接BC.VZBDC=m",ZDBC+ZDCB=180°-m°,

VZBGC=n°,AZGBC+ZGCB=180°-n°,

ZGBD+ZGCD=(180°-n°)-(180°-m°)=m°-n°,

•••BF是NABD的平分线，CE是NACD的平分线，

ZABD+ZACD=2ZGBD+2ZGCD=2m°-2n°,

/.ZABC+ZACB=2m°-2n°+180°-m°=180°+m°-2n°,

ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-(180°+m°-2n°)=2n°-m°,

故答案为2n°-m°.

【点睛】本题考查的是二角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题

的关键.

8.(2018•上海市第八中学七年级月考)如图,在△ABC中，ZA=58°,AB=AC,BD=CF,BE=CD,

贝ijZEDF=度。

【答案】61°

【分析】先由等腰三角形的性质求得NB的大小，再证明4EBD也△DFC,得到/DEB=NFDC;又

由三角形内角和为NBED+NB+/EDB=180°,即ZFDC+NB+/EDB=180°,可得/FDC+N

EDB=180°-/B由因为/BDC是平角可得：ZEDF=180°-(/FDC+/EDB),即可完成作答。

【详解】解：•等腰三角形ABC

在aEBD和aDFC中

BD=CF

<NB=NC

BE=CD

.,.△EBD^ADFC(AAS)

NDEB=NFDC

又；在aEBD中，ZBED+ZB+ZEDB=180

AZFDC+ZEDB=180°-ZB=119°

又ZEDF+(ZFDC+ZEDB)=180°

.,.ZEDF=180°-(ZFDC+ZEDB)=180°-119°=61°

故答案为61°。

【点睛】本题考查了等腰三角形和全等三角形的知识，特别是角的等量代换成为本题解答的

关键。

9.（2018•上海市第八中学七年级月考）如图，^ABC中，ZC=90°,DE1AB,ZBAD=ZCAD,

BE=2,AC=4,贝i]AB=。

【答案】6

【分析】根据已知条件判定△CDATaEDA,然后利用其性质得到AE=AC,又AB=AE+EB,即可求出

答案。

【详解】解：由题意得：

ZAED=ZC

-/BAD=ZCAD

AD=AD

.,.△CDA^AEDA（AAS）

Z.AE=AC=4

又•；AB=AE+EB

；.AB=4+2=6

故答案为6.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定以及线段和差，其中分析出利

用全等正确线段的相等是解题的关键。

10.（2018•上海市第八中学七年级月考）如图，已知CDJ_AB于点D,BEJ_AC于点E,CD、

BE交于点0,且AO平分NBAC,则图中的全等三角形共有对。

［分析］先利用已知条件和隐含条件AO=AO确定△ADOgAAEO,然后再利用由全等得到的条件,

继续判定其他三角形的全等。

【详解】解：VCD±AB,BE±AC,A0平分NBAC

A.ZAD0=ZAE0=90°,ZDAO=ZEAOAO=AO

.,.△ADO^AAEO；(AAS)

,\OD=OE,AD=AE

ZDOB=ZEOC,ZODB=Z0EC=90°

.二△BOD丝△COE：

，.BD=CE,OB=OC,ZB=ZC

VAE=AD,NDAC=NCAB,ZADC=ZAEB=90°

.,.△ADC^AAEB；(ASA)

；.AD=AE,BD=CE

XV.AB=ACOB=OC,AO=AO

△ABO^AACO.(SSS)

故答案为4..

【点睛】本题考查全等三角形的综合知识，特别是在确定三角形全等后，再应用全等三角形

的性质得到条件，再证明其他三角形全等，是解答本题的关键。

11.(2018•上海市第八中学七年级月考)一个三角形有两边长分为3与2。若它的第三边的

长为偶数。则它的第三边长为。

【答案】2或4

【分析】根据三角形的边的关系，求得第三边的取值范围，在结合偶数条件，即可确定答案。

【详解】解：设第三边长为x

根据三角形的边的关系可得：l<x<5,

又由第三边为偶数，所以第三边长为2或4

故答案为：2或4

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，确定第三边的取值范围是关键。也可使用列举，但

是容易因遗漏导致错误。

12.(2019•上海七年级期中)在△/比中，ZJ=36°.当/小°,四

等腰三角形.

【答案】72°、36°、108°

【分析】在等腰三角形中，当不确定//为顶角还是底角时，分类处理：(1)当N4=36°为

顶角，可得底角/小勺值.（2）当/4=36°为底角时，2物顶角或底角，根据内角和性质代

入求解即可得出结论.

【详解】解：（1）当/斤36°为顶角时，4=180-36。=72。；

2

（2）当/4=36°为底角时，/相为底角，则/俏24=36°,

N席为顶角,NC=180°-36°-36°=108°，

故答案为72°、36°、108°

【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，本题关键在于不确定等腰三角形

的顶角与底角的情况下，要注意分类讨论.

三、解答题

13.（2018•上海市第八中学七年级月考）如图，已知aABC和4CDE都是等边三角形，且B、

C、E在一直线上，AC、BD交于F点，AE、CD交于G点，试说明FG〃BE的理由.

【分析】运用SAS证得△ACD04ACE,得到NCAE=NCBD,/BCD=NACE;由公共部分/ACD,利

用角和差可确定/BCF=NDCF,结合BC-AC,判定△BCF@Z\ACG,可得NACD=/BAC=60°,CF=CG;

可以发现aCFC也是等边三角形，则NCFG=60°,即NCFG=NBCA=60°,利用平行线判定定理,

即可判定平行.

【详解】解：理由如下：

,/已知△ABC和4CDE都是等边三角形

.\AC=AB,CD=CE,ZBAC=ZABC=ZBCA=ZDCE=ZCED=ZEDC=60°

，ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,即/BCD=NACE

在AACD和4ACE中

BC^AC

</BCD=NACE

CD=CE

.,.△ACD^AACE(SAS)

NCAE=NCBD,ZBCD=ZACE

ZBCD-ZACD=ZACE-ZACD即NACD=NBCA=60°；

在4BCF和4ACG中

NCAE=ZCBD

<AC=BC

ZACD=ZBCA

.,.△BCF^AACG(ASA)

.,.CF=CG

...△CFG是等边三角形

ZCFG=60°

，ZCFG=ZBCA=60°

...FG〃BE(内错角相等，两直线平行)

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，其中

全等三角形的判定是解题的关键.

14.(2019•上海浦东新区•七年级期末)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,

则这个等腰三角形顶角的度数为多少？

【答案】120°或20°

【分析】等腰三角形两内角的度数之比为1:4,不能确定谁是顶角，需要分类讨论进行解答.

【详解】解：①顶角为底角的4倍，则设三角形的三个内角为4《，H，k"，

则4Z+Z+Z=180,解得。=30,42=120,则顶角为120。.

②底角为顶角的4倍，则设三角形的三个内角为4/，4k，k。，则软+4%+4=180,解得

4=20,则顶角为20。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的概念，解题的关键是理解等腰三角形的概念进行分类讨论.

15.(2019•上海浦东新区•七年级月考)已知，MBC、&回均为等边三角形，点E是

△ABC内的点

(1)如图①，说明3£>=CE的理由；

图①

(2)如图②，当点E在线段CD上时，求NCDB的度数;

c

图②

（3）当AD5E为等腰直角三角形时，ZABD=度（直接写出客案）.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45。或30。或15°.

【分析】（1）先理由等边三角形的性质得出=AC,AD=AE，ZBAC=ZDAE,即可

得出结论；

（2）同（1）得AC4E三ABAD,再判断出=进而求出NAEC=120°,即

可得出结论；

（3）当ADBE为等腰直角三角形时，有三种情况：/.当/&W=90°,D4D睨,”.当N

BED=90°,B&D州,当N应注90°,腔物寸，分别作出图形，然后根据等腰三角形性质即

可求出.

【详解】解：（1）；AABC和A4£E>都是等边二角形（已知）

AAC=AB,AE=AD，ZCAB=ZEAD=60°（等边三角形的性质）。

AZCAB-ZEAB^ZEAD-ZEAB（等式性质），即NCAE=N班。，

在△（"七和AR4O中，

AC=AB

<NCAE=NBAD,

AE=AD

：.ACAE=^BAD（SAS）

:.BD=CE（全等三角形对应边相等）

（2）是等边三角形（已知）。

AZAED=ZA£>£：=60°（等边三角形的性质）。

AZA£C+ZA£D=180°（邻补角的意义）

AzL4EC=120°（等式性质）

二同理（1）得△C4£MAB4）（S4S）

/.ZADB=ZAEC=12Q°（全等三角形对应角相等）

二ZCDB=ZADB-ZADE=60°（等式性质）

（3）当455£为等腰直角三角形时，有三种情况：

/.当/应比90。，妗历时，如图③-1：

图③-1

•.•/力梦60°,

ZADB-ZADB-Z£95=60°+90°=150°,

又,：AFDE,

:.AD=BD,

二ZDAB=NAB2-(180°-150°)；

2

〃.当/必万90。，陷加时，如图③-2：

在和中：

"AE=AD

<AB=AB,

EB=DB

:./\AB监XADB(SSS)

二NAB斤NABD,

：.ZABD=-ZDBE=45°；

2

III.当ZED斤9Q°，庞=耐,如图③一3：

同可得：，

■:NEBA450,

：.4ABD=3U.

综上所述：//吠45°或30。或15°.

故答案为：45°或30。或15°.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质，

等腰直角三角形性质，（2）中求出NAEC=120。是解本题的关键.（3）中关键是根据题意

画出等腰直角三角形.

16.（2019•上海嘉定区•）在等腰AABC中，AB=AC,点M是直线上一点（不与民C

重合），以AM为一边在AM的右侧作等腰使=AV=AN,连结CN.

备用图

（1）如图1,当点“在线段8C上时，如果N84C=90。，则N8CN=______

（2）设ZBAC=a,4BCN=0.

①如图2,当点M在线段8C上移动时，尸之间有怎样的数量关系？请说明理由.

②当点M在直线上移动时，以尸之间有怎样的数量关系？请你直接写出你的结论.

【答案】（1）N3CN=90。；（2）①/尸之间的数量关系是a+£=180。，理由见解析；

②结论：a+4=180。，a=（3.

【分析】（1）先用等式的性质得出NCAN=/BAM,进而得出△ABM丝AACN,有/B=NACE,最

后用等式的性质即可得出结论

（2）①由（1）的结论即可得出a+。=180°；②同（1）的方法即可得出结论.

【详解】（1）­：AMAN=ABAC,ZBAC=ZBAM+ZMAC=ZNAC+ZMAC

：./CAN=NBAM

在aABM和AACN中

AB^AC

<NBAM=NCAE

AM=AE

;.AABM=AACN（S4S）

ZB=ZACN

乙BCN=/BCA+NACN=NBCA+N5=180°-ZBAC=90"

，ZBCN=90°

（2）①解：a,夕之间的数量关系是a+£=180。

理由：

-,-ZMAN=ZBAC（已知）

AMAN-NM4c=^BAC-ZMAC（等式性质）

即ZCAN=ZBAM

在AABM和AAOV中

AB=AC

<ZBAM=/CAN

AM=AN

/\ABM/AACN（5.AS）

:"B=ZACN（全等三角形对应角相等）

-,-^BAC+ZB+ZACB=ISO°（三角形的内角和为180°）

ABAC+ZAC7V+ZACfi=180°（等量代换）

ABAC=Na,ZBCN=NBCN=AACN+ZACB

"+力=180。（等量代换）

②结论：

D当点〃（不与B,C.重合）在射线BC上时,

A

同（1）的方法可得△ABM丝△ACN（S.A.S）

ZABM=ZACN,

0=/BCN=NACB+ZACN=ZACB+ZABM=180°-ABAC=180°-a

：.a+P=\80

a,B之间的数量关系是a+尸=180。

2）当点M（不与匹C重合）在射线8C的反向延长线上时，

同（1）的方法可得丝△ACN（S.A.S）

ZABM=ZACN,

p=ZBCN=ZACN-ZACB=ZABM-ZACB=ZABM-ZACB=ABAC=a

a，4之间的数量关系是a=£.

【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的

关键.

17.（2019•上海奉贤区•）如图1,已知NABC=90。，△ABE是等边三角形，点尸为射

线8c上任意一点（点尸与点3不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60。得到

线段A。，连结QE并延长交射线于点

（1）如图1,当8P=84时，NEBF=°,猜想/。回。=°；

（2）如图2,当点尸为射线3C上任意一点时，猜想NQFC的度数，并说明理由；

【答案】（1）30，60；（2）NQFC=6。。,理由见解析

【分析】（1）NEBF与NABE互余，而NABE=60°,即可求得/EBF的度数；先证明NBAP=N

EAQ,进而得到AABP丝△AEQ,证得/AEQ=/ABP=90°,则NBEF=180°-ZAEQ-ZAEB=180"

-90°-60°=30°,NQFC=NEBF+NBEF,即可得到答案；

（2）先证明NBAP=NEAQ,进而得到△ABPgAAEQ,证得NAEQ=/ABP=90°,则NBEF=180°

-ZAEQ-ZAEB=180°-90°-60°=30°,NQFC=NEBF+NBEF,即可得到答案.

【详解】证明：（1）••,ZABC=90°,Z\ABE是等边三角形，

/.ZABE=60°,

；.NEBF=30°；

猜想：ZgFC=60°:

理由如下：如图，

宜

BFPC

图1

ZBAP=ZBAE-ZEAP=（G°-ZEAP,NE4Q=/QAP-NE4P=60°-/E4P,

NBAP=NEAQ,

VAB=A£.AP=AQ,

：.AABP^AA£C（SAS）,

ZAEQ=ZABP=90°,

：.NBEF=180°-Z.AEQ-NAEB=180°-90°-60°=30°,

ZQFC=ZEBF+ZBEF=30°+30°=60°；

故答案为：30；60；

（2）结论：NQFC=60。,

如图：

图2

•；ZBAP=NBAE+NEAP=60°+NE4P,Z£AQ=NQAP+NEAP=60°+ZE4P

NBAP=NEAQ

在AA8P和△4EQ中，AB=AE，ZBAP=ZEAQ,AP=AQ

△ABP四△A£Q（SAS）

ZAEQ=ZABP=90°.

：.NBEF=180°-ZAEQ-NAEB=180°-90°-60°=30°

，NQFC=NEBF+NBEF=300+30°=60°；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，

以及二角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性

质进行证明猜想成立.

18.（2019•上海金山区•七年级期中）如图NEOP,O用平分NEO尸，点A、B、C分

别是射线OE、OM、OF上的点（点A、B、C不与点。重合），联结AC,交射线与

点、D.

（1）如果AB〃OC,AC平分NQ4B,试判断AC与射线的位置关系，试说明理由；

（2）如果NEC尸=40°,AB1OE,垂足为点A，中有两个相等的角，请直接写出

ND4O的大小.

【答案】（1）AC与射线OB垂直，理由见解析；（2）NZMO的大小为20°或35。或50°.

【分析】（1）先根据平行线的性质、角平分线的定义得出加£>=48,再根据角平分线

的定义得出最后根据三角形的外角性质、领补角的定义即可得出结论；

（2）先根据角平分线的定义、直角三角形的性质求出ZAOD和NABD的度数，再根据

“△AZ出中有两个相等的角”分三种情况，然后分别根据三角形的外角性质、角的和差求解

即可得.

【详解】（1）AC与射线08垂直，理由如下：

如图1,-.-AB//OC

：.ZABD=ZCOD

（2。0平分2£0尸，AC平分NOAB

：.ZAOD=ZCOD,ZBAD=ZOAD

:.ZABD=ZAOD

ZADO=ZABD+ZBAD

由三角形的外角性质得:

ZADB=ZAOD+NOAD

:.ZADO=ZADB

又NADO+NADB=180°

.•.ZA£X9=ZAD8=90°

AC±OB

即AC与射线08垂直；

(2)QOM平分NEOF,NEOF=40°

ZAOD=ZCOD=-aEOF=20°

2

-,-AB1OE

：.ZBAO^90°

ZABD=90°-ZAOD=70°

如图2,由题意，分以下三种情况：

①当ZADB=ZABD=70°时

NDAO=ZADB-ZAOD=70°—20。=50。(三角形的外角性质)

②当44。=NA8£>=70。时

ZDAO=NBAO-ABAD=90°-70°=20°

③当。时，

ZADB=ZDAO+ZAOD=ZDAO+20°

NBAD=ZBAO-ZDAO=90°-ZDAO

则ZDAO+20°=90°-ZDAO

解得4X0=35。

综上，ND4O的大小为20°或35°或50°.

【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的定义、二角形的外角性质等知识点，较难的是题

（2）,依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键.

19.（2019•上海闵行区•七年级期中）（1）在锐角ZVLBC中，AC边上的高所在直线和A3

边上的高所在直线的交点为P,"PC=110。，求NA的度数.

(2)如图，AE和CE分别平分㈤。和NBC。，当点。在直线AC上时，ZAPC=100°,

则/B=.

(3)在(2)的基础上，当点O在直线AC外时，如下图：NADC=130°,ZAPC=100°,

求D3的度数.

【答案】(1)70°；(2)20°；(3)70°.

【分析】(1)根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可；(2)根据NAPC=100。

以及AF和CE分别平分ZBAD和ZBCD,算出ABAD和NBCD,从而算出DB

【详解】

如图AC边上的高所在直线和A3边上的高所在直线的交点为尸

二ZBDA=ZCEA=9Q°

又：=110°

/.NEPD=NBPC=110。

•.•在四边形中，内角和为360°

/.ZA=360°-l100-900-900=70°

•；AF和CE分别平分ZBAD和NBCD

：.ZBAP=ZFAC,NBCE=ZACE

又：NAPC=100。

AFAC+ZACE=180°-100°=80°

二ZBAC+ZBG4=160°

二骈=180-160鞍20

(3)如图：连接AC

■:ZADC=130°,ZAPC=100°

/.ADAC+ZDCA=180。-130°=50°,ZPAC+ZPCA=180°-100°=80°

/.Z2+Z3=30°

又；AF和CE分别平分ZBAD和ZBCD

：.Nl+N4=N2+N3=30°

ZBAC+ZBCA=1W°

：.W=180-11嫩70

【点睛】三角形的内角和定理以及角平分线的定义是解决本题的关键.

20.（2018•上海杨浦区•七年级期末）如图，已知。是等边三角形ABC内一点，。是线段

80延长线上一点，且00=04,4408=120。，求N8DC的度数.

【答案】60。

【分析】先证AAOD是等边三角形，得出AABC是等边三角形，再证AABOgAACD,得

NAQ?=NAZ）C=120°，从而得出NBOC的大小.

【详解】VZA0B=120°,ZA0D=60°

,.,AO=OD,.•.△AOD是等边三角形

ABAC=60°,AB^AC

「△ABC是等边二角形，ZBAC=60°,AB=AC

ZBAC=ZOAD,二ZBAO+ZOAC=ZOAC+ZCAD

ZBAO=ZCAD

在ABAO和△CADU」

-AO=AD

<NBAO=ZCAD

AB=AC

：.AABO^MCD

：.ZAOB=ZADC=\2Q°

NBDC=ZADC-ZADO=60"

【点睛】本题考查全等的证明和等边三角形的性质和证明，解题关键是证AABO之AACD.

21.（2019•上海市松江区九亭中学七年级期中）如图（1）A8=8cm,AC±AB,B"AB，

AC=8O=6cm,点尸在线段A3上以2a〃/s的速度由点A向点3运动，同时，点Q在线段

5。上由点B向点。运动，它们的运动时间为/（5）.

（1）若点。的运动速度与点P的运动速度相等，当1=1时，A4cp与是否全等，请说

明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图（2）,将图（1）中的“ACLM,BD±AB"改为"NC4B=NOB4=60”，

其他条件不变，设点Q的运动速度为xa〃/s,是否存在实数x,使得A4CP与全等？

若存在，求出相应的x、f值；若不存在，请说明理由.

图(1)图(2)

((f-2

t=1

【答案】(1)Z\ACP丝△BPQ,PCVPQ.(2)存在!\3，使得AACP与ABPQ全

x=2x=—

LI2

等.

【分析】(1)根据SAS证明aACP丝△BPQ,利用全等三角形的性质即可得到PC_LP。；

(2)分两种情况：①若△ACPgABPQ,②若△ACPgZ\BQP,利用全等三角形的性质得到对应线

段相等，由此求出答案.

【详解】

(1)当f=l时，AP^BQ=2,BP=AC=6.

又NA=NB=90°,

在AACP与^BPQ中

AP=BQ

<NA=NB,

AC=BP

.♦.△ACP/△BPQ(SAS),

：.ZACP=ZBPQ,

ZAPC+NBPQ=ZAPC+ZACP=90,

:.ZCPQ=90\

即PCLPQ.

(2)①若AACP丝△BPQ,

则AC=BP,AP=BQ,

8-2z=6

2t=xt

t=l

解得《

x=2

②若AACP丝ZXBQP,

则AC=BQ,AP=BP，

6=xt

'2t=8-2t'

解得，=：

\x=3

t=17=2

综上所述，存在《c,使得A4cp与ABPQ金等.

x=2x=3

【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质定理，（2）中利用分类思想分别利用全等三角形

的性质求出未知数的值，熟练掌握三角形全等的判定及性质定理是解题的关键.

22.（2020•上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末）如图，已知，aABC和4ADE都是

等边三角形，连接BD、CE.

（1）说明BD=C£的理由；

（2）延长BD,交CE于点F,求/BFC的度数.

【答案】（1）见解析；（2）60°.

【分析】（1）证明aABD丝Z\ACE即可得到结论；

（2）由△ABD/Z\ACE得到NABD=NACE,根据NABC=NACB=60°推出NFBC+NACB+NACF=N

ABC+ZACB=120°,再根据三角形内角和定理求出NBFC的度数.

【详解】（1）证明：:△ABC和4ADE都是等边三角形，

.'.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZCAE,

.".△ABD^AACE,

/.BD=CE；

(2)VAABD^AACE,

ZAB