2025届西南交通大学附属中学高一数学第一学期期末达标检测试题含解析

2025届西南交通大学附属中学高一数学第一学期期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，则函数（）A.有最小值 B.有最大值C有最大值 D.没有最值2．已知全集，集合，，它们的关系如图（Venn图）所示，则阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.3．刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到的近似值为（）A. B.C. D.4．如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）A. B.C. D.5．圆与直线相交所得弦长为（）A.1 B.C.2 D.26．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则A. B.C. D.7．集合{0，1，2}的所有真子集的个数是A.5 B.6C.7 D.88．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.9．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于A2 B.4C.6 D.810．下列所给出的函数中，是幂函数的是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的最大值为___________.12．在中，，则等于______13．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________.14．函数，的图象恒过定点P，则P点的坐标是_____.15．设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是_____.16．计算：（）0+_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数()（1）求在区间上的最小值；（2）设函数，用定义证明：在上是减函数18．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.（1）用，表示，，（2）求与夹角的余弦值.19．设函数，其中.（1）求函数的值域；（2）若，讨论在区间上的单调性；（3）若在区间上为增函数，求的最大值.20．某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为am的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A，B分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形；方案乙：如图2，围成区域为矩形；方案丙：如图3，围成区域为梯形，且.（1）在方案乙、丙中，设，分别用x表示围成区域的面积，;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.21．已知，，求，的值；求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】换元法后用基本不等式进行求解.【详解】令，则，因为，，故，当且仅当，即时等号成立，故函数有最大值，由对勾函数的性质可得函数，即有最小值.故选：B2、C【解析】根据所给关系图（Venn图），可知是求,由此可求得答案.【详解】根据题意可知，阴影部分表示的是，故，故选:C.3、B【解析】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形；根据题意，可知个等腰三角形的面积和近似等于圆的面积，从而可求的近似值.【详解】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，设圆的半径为，则，即，所以.故选：B.4、D【解析】A，B，C选项都有，所以四点共面，D选项四点不共面.故选：D.5、D【解析】利用垂径定理可求弦长.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，故弦长为：，故选：D.6、B【解析】分析：直接利用余弦定理求cosA.详解：由余弦定理得cosA=故答案为B.点睛：(1)本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对余弦定理的掌握水平.(2)已知三边一般利用余弦定理：.7、C【解析】集合{0，1，2}中有三个元素，因此其真子集个数为.故选：C.8、C【解析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.【详解】对A，函数的图象关于轴对称，故是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故B错误；对C，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，且在上单调递减，故C正确；对D，函数的图象关于原点对称，故是奇函数，但在上单调递增，故D错误.故选：C.9、D【解析】由于函数与函数均关于点成中心对称，结合图形以点为中心两函数共有个交点，则有，同理有，所以所有交点横坐标之和为.故正确答案为D.考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.10、B【解析】根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论【详解】幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，所以选项中A，C，D不正确；B正确；故选B【点睛】本题考查幂函数的定义，考查判断推理能力，基本知识掌握情况，是基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.【详解】由，则开口向上且对称轴为，又，∴，，故函数最大值为.故答案为：.12、【解析】由题；，又，代入得：考点：三角函数的公式变形能力及求值.13、2x＋y－14＝0【解析】求出直线AB的斜率，即可得出高的斜率，由点斜式即可求出.【详解】由A，B两点得，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.故答案为：2x＋y－14＝0.14、【解析】令，解得，且恒成立，所以函数的图象恒过定点；故填.15、2【解析】设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，由弧度制下扇形的弧长与面积计算公式可得，，解得半径r=2，圆心角的弧度数，所以答案为2考点：弧度制下扇形的弧长与面积计算公式16、【解析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.【详解】依题意，原式.故答案为：【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知得函数的对称轴，开口向上，分别讨论，，三种情况求得最小值；（2）利用函数单调性的定义可得证【详解】（1）因为的对称轴，开口向上，当，即时，；当，即时，；当，即时，，所以；（2），设，则，，所以，所以，所以在上是减函数【点睛】方法点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：1、在区间D上，任取，令；2、作差；3、对的结果进行变形处理；4、确定符号的正负；5、得出结论18、（1），；（2）.【解析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.【详解】解法一：（1）由图可知.因为E是CD的中点，所以.（2）因为，为等边三角形，所以，，所以，所以，.设与的夹角为，则，所以在与夹角的余弦值为.解法二：（1）同解法一.（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，.因为E是CD的中点，所以，所以，，所以，.设与的夹角为，则，所以与夹角的余弦值为.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用19、（1）（2）在区间上单调递增，在上单调递减（3）【解析】（1）首先化简函数，再求函数的值域；（2）利用代入法，求的范围，再结合函数的性质，即可求解函数的单调性；（3）由（1）可知，，首先求的范围，再根据函数的单调区间，求的最大值.【小问1详解】，所以函数的值域是；【小问2详解】时，，当，，当，即时，函数单调递增，当，即时，函数单调递减，所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是；【小问3详解】若，则，若函数在区间上为增函数，则，解得：，所以的最大值是.20、（1），；，.（2）农户应该选择方案三，理由见解析.【解析】（1）根据矩形面积与梯形的面积公式表示即可得答案；（2）先根据基本不等式研究方案甲得面积的最大值为，再根据二次函数的性质结合（1）研究，的最大值即可得答案.【小问1详解】解：对于方案乙，当时，，所以矩形的面积，；对于方案丙，当时，，由于所以，所以梯形面积为，.【小问2详解】解：对于方案甲，设，则，所以三角形的面积为，当且仅当时等号成立，故方案甲的鸡圈面积最大值为.对于方案乙，由（1）得，，当且仅当时取得最大值.故方案乙的鸡圈面积最大值为；对于方案丙，，.当且仅当时取得最大值.故方案丙的鸡圈面积最大值为；由于所以农户应该选择方案丙，此时鸡圈面积最大.21、（1），；（2）.【解析】正切的二倍角公式得，再由同角三角函数关系式即可得的值．先计算然后由角的范