专题8 构造法在导数中的应用2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计 (人教A版2019)

专题8构造法在导数中的应用2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(人教A版2019)学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图本章节旨在通过构造法在导数中的应用，帮助学生深入理解导数的概念，掌握构造函数解决实际问题的方法。结合人教A版2019高中数学选择性必修第二册教材，本教学设计旨在提高学生运用导数解决实际问题的能力，培养其逻辑思维和创新意识。教学内容紧密围绕课本，关注学生实际需求，注重实用性，以确保学生能够学以致用，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标分析本节课核心素养目标在于培养学生的逻辑推理、数学抽象、数学建模和数学运算能力。通过构造法的应用，引导学生运用逻辑推理分析函数性质，培养其数学抽象能力；同时，通过解决实际问题，提升学生的数学建模素养；在导数运算过程中，锻炼学生的数学运算技能，进而全面提高学生的数学核心素养。重点难点及解决办法重点：理解构造法的原理及其在导数应用中的具体操作，掌握构造函数解决实际问题的步骤。

难点：灵活运用构造法构造合适的函数，以及在复杂问题中准确使用导数性质。

解决办法：

1.强化基础：通过复习导数的基本概念和性质，为学生构造函数打下坚实基础。

2.案例引导：通过典型例题，引导学生理解构造法的思路，逐步学会如何构造函数。

3.实践操作：布置针对性的练习题，让学生在实际操作中运用构造法，培养解题技巧。

4.小组讨论：鼓励学生分组讨论，共同分析问题，互相启发构造函数的思路。

5.及时反馈：对学生练习中的错误及时给予反馈，指导学生纠正错误，巩固学习成果。教学资源准备1.教材：人教A版2019高中数学选择性必修第二册，确保每位学生配备。

2.辅助材料：收集相关的数学建模案例，准备含构造法应用的PPT演示文稿。

3.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪等基本教学工具，以及计算器和绘图软件。

4.教室布置：提前划分学习小组，准备小组讨论所需的桌椅排列，确保教室环境有利于互动交流。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，包括本节课相关的导数概念和构造法的理论基础，明确预习目标和要求。

设计预习问题：围绕构造法在导数中的应用，设计问题如“如何通过构造函数解决极值问题？”

监控预习进度：通过平台作业提交情况和学生反馈，监控学生的预习进度。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生阅读教材中关于导数和构造法的基础知识。

思考预习问题：学生针对预习问题进行思考，尝试构建初步的解题思路。

提交预习成果：学生将预习笔记和思考的问题提交至平台。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：培养学生独立思考和解决问题的能力。

信息技术手段：利用在线平台实现资源的共享和预习进度的监控。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过生活中的实际案例引入构造法在导数中的应用。

讲解知识点：详细讲解构造法的原理和步骤，结合具体例题进行分析。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生合作探讨如何构造函数解决实际问题。

解答疑问：对学生在讨论中提出的问题进行解答。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，对构造法在导数中的应用有初步理解。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，共同探讨构造函数的方法。

提问与讨论：学生在讨论中提出问题，与同学和老师交流。

教学方法/手段/资源：

讲授法：讲解构造法的理论知识和应用。

实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中学习构造法。

合作学习法：培养学生的团队合作和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与构造法在导数中的应用相关的练习题，巩固学习效果。

提供拓展资源：提供相关的数学建模案例，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，针对学生的错误给出指导性反馈。

学生活动：

完成作业：学生独立完成作业，巩固课堂学习内容。

拓展学习：学生利用提供的资源进行深入学习，尝试解决更复杂的问题。

反思总结：学生对学习过程进行反思，总结构造法在导数应用中的关键点。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生通过反思总结提高自我学习能力。

本节课的重难点在于理解构造法的原理和步骤，以及如何将构造法应用于导数问题的解决。通过上述教学实施过程，旨在帮助学生掌握这些重点难点内容。学生学习效果学生学习效果体现在以下几个方面：

1.理解构造法的概念：通过本节课的学习，学生能够理解构造法的定义，知道构造法是一种通过构建新的函数来解决数学问题的方法。他们能够识别出哪些问题可以通过构造法来解决，并在实际问题中运用这一方法。

2.掌握构造法的步骤：学生能够熟练掌握构造法的基本步骤，包括确定目标函数、构造辅助函数、利用导数分析辅助函数的性质，以及根据辅助函数的性质得出原问题的解。他们在解决具体问题时，能够按照这些步骤进行操作。

3.应用构造法解决实际问题：学生在课堂练习和课后作业中，能够运用构造法解决一些实际的导数问题，如求函数的极值、证明不等式等。他们能够独立构建函数模型，并运用导数的知识进行分析。

4.提升逻辑推理能力：在学习构造法的过程中，学生的逻辑推理能力得到提升。他们能够通过分析函数的性质，逻辑地推导出问题的解，并在解题过程中逐步形成严密的逻辑思维。

5.增强数学建模能力：通过构造函数解决实际问题的训练，学生的数学建模能力得到增强。他们能够将实际问题抽象成数学模型，并利用构造法找到解决问题的途径。

6.提高数学运算技能：在运用构造法解决问题的过程中，学生需要进行一系列的数学运算，包括求导、积分、解方程等。这些运算技能在不断的练习中得到提高。

7.培养创新意识和实践能力：构造法的学习不仅要求学生掌握已有的知识，还鼓励他们尝试新的解题思路和方法。这种探索过程有助于培养学生的创新意识和实践能力。

8.形成良好的学习习惯：通过本节课的学习，学生能够养成预习、复习和反思的学习习惯。他们在课前预习教材内容，课中积极参与讨论，课后及时复习巩固，并对自己的学习过程进行反思。

9.提升团队合作和沟通能力：在小组讨论和课堂互动中，学生学会了如何与他人合作，如何表达自己的观点，以及如何倾听和理解他人的想法。这些能力的提升对他们的未来学习和职业生涯都有积极影响。

10.增强对数学的兴趣和自信：通过解决实际问题，学生能够感受到数学的实用性和趣味性，从而增强对数学的兴趣。同时，成功解决问题的经历也增强了他们学习数学的自信心。教学反思与改进这节课结束后，我认真反思了整个教学过程和学生的学习效果。虽然在设计课程时，我已经尽量考虑了学生的实际情况和教材的要求，但在实际教学中，仍有一些地方需要改进。

首先，在课前预习环节，我发现部分学生并没有按照要求完成预习任务，这导致他们在课堂上的参与度和理解程度不如预期。为此，我计划在未来的教学中，加强对预习任务的监督和反馈，确保每个学生都能在课前做好充分的准备。

其次，在课堂讲解环节，我意识到自己在讲解构造法的原理时，可能过于侧重于理论，而忽略了与实际例题的结合。这可能导致学生在理解构造法的应用时感到困难。因此，我计划在未来的课堂上，更多地结合具体例题来讲解构造法，让学生能够更直观地理解其应用。

在小组讨论环节，虽然学生们的参与度很高，但我发现部分小组在讨论时缺乏深度，没有真正达到交流和探讨的目的。为了改善这一点，我计划在未来的教学中，提前为每个小组设定明确的讨论主题和目标，引导他们进行更有深度的交流。

此外，我在课后作业的布置上也发现了一些问题。有些作业题目难度过大，超出了部分学生的能力范围，导致他们无法完成。为了解决这个问题，我计划在未来的教学中，根据学生的实际情况，适当调整作业难度，确保每个学生都能在完成作业的过程中得到提升。

在评估学生的学习效果时，我发现虽然学生们在理解构造法的基本概念和步骤上取得了不错的成果，但在实际应用中，仍有一些学生感到困难。这让我意识到，我需要更多地关注学生的个性化需求，为他们提供更多的个别辅导和支持。

为了进一步提升教学效果，我还计划采取以下措施：

1.定期组织学生进行课堂小测验，以评估他们对知识的掌握程度。

2.鼓励学生在课堂上提问，培养他们的批判性思维和问题解决能力。

3.利用在线平台，为学生提供更多的学习资源和辅导材料，方便他们自主学习。

4.定期与学生进行交流，了解他们的学习需求和困惑，及时调整教学方法。板书设计①构造法的概念

-构造法定义

-通过构建新函数解决数学问题

-应用场景

②构造法的步骤

-确定目标函数

-构造辅助函数

-利用导数分析辅助函数性质

-得出原问题解

③构造法的应用

-极值问题

-不等式证明

-函数单调性分析

-应用实例展示课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它有助于教师及时了解学生的学习情况，发现问题并进行针对性的解决。以下是我对课堂评价的具体实施策略：

1.提问评价

提问是课堂评价的重要手段之一。通过提问，我可以了解学生对知识的掌握程度和理解深度。以下是我实施提问评价的几个方面：

-设计开放性问题：鼓励学生积极参与讨论，表达自己的观点，从而锻炼他们的思维能力和表达能力。

-针对不同层次的学生设计问题：针对基础较好的学生，提出更具挑战性的问题；针对基础较弱的学生，提供更具针对性的指导。

-提问与讨论相结合：在提问过程中，引导学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

2.观察评价

课堂观察是教师了解学生学习情况的重要途径。以下是我进行课堂观察的几个方面：

-观察学生的课堂参与度：关注学生在课堂上的注意力集中程度、参与讨论的积极性等。

-观察学生的课堂表现：关注学生在课堂上的学习态度、遵守纪律情况等。

-观察学生的作业完成情况：关注学生在课堂练习中的表现，以及他们对知识的掌握程度。

3.测试评价

测试是检验学生学习效果的有效手段。以下是我实施测试评价的几个方面：

-定期进行课堂小测验：通过小测验，了解学生对知识的掌握程度，及时发现问题并进行针对性辅导。

-设计多样化的测试形式：如选择题、填空题、解答题等，以适应不同学生的学习需求。

-评价标准明确：对学生的测试成绩进行客观、公正的评价，鼓励他们在接下来的学习中继续努力。

4.学生自评与互评

鼓励学生在课堂学习中进行自评与互评，有助于提高他们的学习自觉性和责任感。以下是我实施学生自评与互评的几个方面：

-引导学生进行自评：让学生反思自己在课堂上的学习表现，找出自己的优点和不足。

-组织学生互评：鼓励学生互相评价，学会欣赏他人的优点，同时借鉴他人的学习经验。

5.反馈与改进

在课堂评价过程中，我将根据学生的表现及时给予反馈，并针对存在的问题进行改进。以下是我实施反馈与改进的几个方面：

-及时反馈：在课堂教学中，针对学生的表现给予及时的反馈，帮助他们纠正错误，巩固知识。

-针对性辅导：针对学生在课堂上的问题，进行个别辅导，帮助他们克服学习难点。

-教学方法改进：根据学生的学习情况，不断调整教学方法和策略，以提高教学效果。典型例题讲解1.例题一：求函数的极值问题

给定函数f(x)=x^3-3x+2，求其在区间[-2,2]上的极值。

解答：

首先，对函数f(x)求导得f'(x)=3x^2-3。

令f'(x)=0，解得x=±1。

将x=-1和x=1分别代入f(x)，得到f(-1)=0和f(1)=0。

因此，函数在区间[-2,2]上的极值为0。

2.例题二：证明不等式问题

证明对于任意实数x，有x^2+1≥2x。

解答：

构造函数f(x)=x^2+1-2x。

对f(x)求导得f'(x)=2x-2。

令f'(x)=0，解得x=1。

将x=1代入f(x)，得到f(1)=0。

因此，函数f(x)在x=1处取得最小值0。

由于f(x)的导数在x=1处为0，且导数在x=1两侧符号相反，因此f(x)在x=1处取得极小值。

又因为f(x)是一个二次函数，开口向上，所以f(x)在x=1处取得最小值0。

因此，对于任意实数x，有x^2+1≥2x。

3.例题三：函数单调性问题

判断函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[-1,3]上的单调性。

解答：

对函数f(x)求导得f'(x)=3x^2-12x+9。

令f'(x)=0，解得x=1和x=3。

将x=-1,1,3分别代入f'(x)，得到f'(-1)=0,f'(1)=0,f'(3)=0。

因此，函数在x=-1,1,3处取得导数为0。

由于f'(x)在x=-1和x=3处的符号相同，而在x=1处的符号相反，因此f(x)在x=1处取得局部最大值。

由于f'(x)在x=-1和x