2021届高三年级上册理科数学周测试卷11 含答案

高三数学(理科)每周一测(11)

选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

(1)设集合A={x|2"4},集合6={x|y=lg(x-l)},则ARB等于()

(A)(1,2)(B)(1,2](C)[1,2)(D)[1,2]

(2)在复平面内，复数一匚+i所对应的点位于()

1+1

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

22

(3)已知双曲线二―之=1的一条渐近线为y=2x,则双曲线的离心率等于()

ab-

(A)百(B)2(C)y[5(D)瓜

(4)已知两个非零单位向量冢，区的夹角为。，则下列结论不.颂的是()

—一—2一2

(A)4在4方向上的投影为cos。(B)G=e2

(C)(q-弓)(D)%•e2=1

主视图侧视图

(5)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示,

俯视图

则该三棱锥的外接球表面积()

29万

(A)29乃(B)30乃(C)----(D)216乃

2

(6)惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄

进行调查，现从中随机抽出loo名司机，已知抽到:喝

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

20253035404s年总岁

的司机年龄都在［20,45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图

如右图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是

（）

（A）31.6岁（B）32.6岁

（C）33.6岁（D）36.6岁

7T

(7)函数/(x)=Asin((yx+0)(其中A>0,|同<~）的图像如图所示，为了得到

2

g（x）=cos2x-巴的图像，只需将/（x）的图像（

、2）

TTTT

（A）向左平移上个长度单位（B）向右平移々个长度单位

33

7T7T

(C)向左平移2个长度单位（D）向右平移二个长度单位

66

（8）若函数/（X）=h优一（。>0且。彳1）在（，》,中»）上既是奇函数又是增函数,

则

g(x)=log*(x+攵)

的图

像是（）

(A)(B)(C)(D)

(9)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有()

(A)144个(B)120个(C)96个(D)72个

x-2y+4>0

(10)己知变量X,＞满足＜x<2，则的取值范围是()

x+2

x+y-2>0

5545

(A)2,-(B)(C)(D)-,2

24'25'24

(11)由等式x'+qj+/*+4=(x+l)4+伪(》+1)3+4(％+1)2+a(％+1)+”,

定义映射了(4，%,%,4)一4+"2+々+d，则/(4,3,2,1)一()

(A)0(B)10(C)15(D)16

(12)如图，正五边形ABCOE的边长为2,甲同学在A43c中用余弦定

理解得AC=78-8cosl080，乙同学在Rt^ACH中解得

AC=―5—，据此可得cos72。的值所在区间为()

cos72°

(A)(0.1,0.2)(B)(0.2,03)(C)(0.3,0.4)(D)(0.4,0.5)

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)曲线y=£与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.

(14)在A48c中，设角AB,C的对边分别是a,。,c,且NC=6()。，c=J5,则

＜z+2x/3cosA_

sin3

(15)如图所示程序框图，输出的结果是.

(16)若数列｛4｝满足片一。3p(p为常数，及N2,nwN*),则称数列｛4｝为等方差

数列，p为公方差，已知正数等方差数列｛a,,｝的首项q=1,且卬，%,%成等比数列，

1

q/a,,设集合A=Tn=―1—+—一+…+—1—,1<n<100,neAf,k取

ax+a2%+%凡+4“i

A的非空子集8,若B的元素都是整数，则8为“完美子集”，那么集合A中的完美子集

的个数为.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知｛%｝是公差为2的等差数列，且%+1是4+1与%+1的

等比中项.（I）求数列｛《,｝的通项公式；（口）令b“=a„,求数列也“｝的前〃项和S,,.

（18）（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大

于或等于82为合格品，小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结

果统计如下：

测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100)

芯片甲81240328

芯片乙71840296

（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；

（H）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙,

若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（1）的前提下，记X为生产1

件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的概率分布列和数学期望值.

（19）（本小题满分12分）如图，直角梯形A5C。与等腰直

角三角形ABE所在的平面互相垂直.ABIICD,AB1BC,EALEB,

AB=2CD=2BC.(I)求证：43，OE；(H)求二面角C—。£一A余弦值.

(20)(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，

历1

离心率e="，且其中一个焦点与抛物线y=上尤2的焦点重合.

24

(I)求椭圆C的方程；(II)过点的动直线/交椭圆C于两点，试问：在

坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论/如何转动，以A8为直径的圆恒过点T?若存

在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

(21)(本小题满分12分)已知函数/(x)=—f+21nx.

(I)求函数/(x)的最大值；(H)若函数/(x)与g(x)=x+/有相同极值点.

①求实数a的值；②若对于Vx,,x,e,,3(e为自然对数的底数)，不等式

\_e_

」(%)二§(.空)«1恒成立,求实数上的取值范围.

k—1

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请

写清题号。

(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，在"中，NABC=90°,以

A3为直径的圆。交AC于点E,点。是边的中点，连接。。交圆。于点M.

(I)求证：OE是圆。的切线；(口)求证：

DEBC^DMAC+DMAB.

BDC

(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系X。)，中，直线/

“

中的参数方程《(/为参数)，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系,

三

场

——

曲线C的极坐标方程为：2=4cos6.(I)求直线/的极坐标方程；(□)求直线/与曲线

“

M中C交点的极坐标(0>0,0<夕<2)).

密

羯

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数/(x)=|2x—a|+|2x+l](a>0),

封g(x)=x+2.(I)当。=1时，求不等式/(x)4g(x)的解集；(口)若/(x)Ng(x)恒成

“

中立，求实数。的取值范围

科

线

内

增城中学2021届高三数学(理科)每周一测(11)答题卷

不

题号选择题填空题17题18题19题20题21题总分

得得分

答

一、选择题:

题

题号123456789101112

得分

二、填空题：

13..14..

15..16..

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.（本小题满分12分）

18.（本小题满分12分）

19.（本小题满分12分）

20.（本小题满分12分）

21.（本小题满分12分）

密

封

线

内

不

得

答

题

22.（本小题满分10分）

选修4-1：儿何证明选讲（）选修4-4：坐标系与参数方程（）选修4-5不等式选讲

数学（理科）11周周测答案与评分标准

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分。

题号123456789101112

答案BACDACDCBBAC

⑴【解析】集合A={X|2”4}={X|X<2},集合5={x|y=lg(x—l)}={x|x>l},

所以405=（1,2）,故选B.

（2）【解析】」一+，=工^+?=与^,故选A.

1+z22

（3）【解析】由渐近线知2=2,则双曲线的离心率e=Ji谡=石，故选C.

a

⑷【解析】因为冢石为单位向量，所以6I2=85怎,06[-1,1],故选D.

（5）【解析】把三棱锥补为长方体，则对角线为外接球直径，所以

22222

（2/?）=4+3+2=5>4/?=29）所以外接球的表面积为S=4万火？=29万，故选

A.

（6）【解析】由面积和为1,知[25,30）的频率为0.2,为保证中位数的左右两边面积都是0.5,

必须把[30,35）的面积0.35划分为0.25+0.1,此时划分边界为

30+5x-^=33.57,故选c.

0.35

T7万7t2万

(7)【解析】由图像知4=1,-=----------=7=%，一=71=8=2、

41233

f=—2----\-(p―――+2k7i,|^|<—,得。=大，所以

■rr(jr、

/(jc)=sin(2x+—),为了得到g(x)=cos|21一不=sin(2x)的图像，所以只需将

3\27

7T

/(X)的图象向右平移二个长度单位即可，故选D.

6

(8)【解析】/(幻=5-「=3'-二是奇函数，所以/(0)=0,即Z—1=0,所以

a

%=1,即/。)="—乙，又函数y=优,y=-」在定义域上单调性相同，由函数

aa

是增函数可知。>1,所以函数g(x)=loga(x+£)=Iog“(x+l),故选C.

(9)【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4,则有2x&个；若万位上排5,

则有3xK个.所以共有2xW+3Xq=5x24=120个，选B.

kpB<上土1<kpc，根据原不等式组解得B(2,0),C(0,2),所以

✓VI乙

0+1V+12+112±1<3^5x+y+35

-------S--------s--------〉一工<------------£—故选B.

2+2~x+2~0+24-x+2~24~x+22

(11)【解析】由定义可知

/+4d+3d+2x+1=(x+1)4+b[(x+1)"+b)(x+1)~+：(x+1)+仇，令x=0

得，1+々+62+4+d=1，所以4+4+4+仇=0,即/(4,3,2,1)->0,故选A.

(12)【解析】因为，8—8cosl08°=―1—,令cos72°=t,则,8+8)」,所以

cos72°t

8户+8产一1=0.令F(t)=8户+8、一1,则当f>0时,r(f)=24*+16f>0,

所以/(7)=8/+8/一1在(0,”)上单调递增.又因为/(0.3)/(0.4)<0,所以

于(t)=8/+8产—1在(0.3,0.4)上有唯一零点，所以cos72°的值所在区间为

(03,0.4).故选C.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)(14)4,(15)4,(16)63

6

(13)【解析】S=J；(x—f)公=

(14)【解析】由正弦定理>一=—^=2,所以a=2sinA,

sinAsinC

2sinA+2^cosA.sin(A+60°).

代入得------------------=4-----------=4.

sinBsinB

(15)【解析】本程序框图中循环体为"直到型"循环结构，

第1次循环：S=0+1=1,i=2,a=lx2+l=3<50；

第2次循环：S=l+3=4,i=3,a=3x3+4=13<50；

第3次循环：5=4+13=17,i=4,“=13x4+17=69250；结束循环，

输出i=4.

a+a

(16)【解析】根据等方差数列的即时定义得a,,=，2〃—1,Tn="'~'=+I,

令Tn=k(kwN*),则“=(21+1)7,由14wWlOO得々可取1,2,3......6,即集合

2

A中有六个整数，于是A中的完美子集的个数为26-1=63个.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)

解(I)(%+1)2=(4+1)(%+1)，又”2,得4=3.............2分

an=4+(〃-l)d=2n+\,{a“}的通项公式为=2〃+1......5分

(口)=2-2"+1=2向+1......................6分

S„=22+l+23+l+……+2,,+'+1=22+23+……+2"+'+n....8分

=4(1―2")+〃=2"+2+〃_4.....................11分

1-2

数列｛bn｝的前n项和5„=2-2+〃_4................12分

(18)(本小题满分12分)

解(I)芯片甲为合格品的概率约为40+32+8=如_=±................1分

1001005

芯片乙为合格品的概率约为竺士等g=2=3..............2分

1001004

(II)随机变量X的所有可能取值为90,45,30,-15,..................4分

433133

P(X=90)=-x-=-,P(X=45)=-x-=—,

5455420

P(X=3O)=+x,=L,P(X=-15)=-xi=-,........8分

5455420

所以随机变量X的概率分布列为

X904530-15

33_1_1

P

520520

..................10分

3311

E(X)=90x-+45x—+30x-+(-15)x—=66.

520520

所以随机变量X的数学期望值为66........................12分

(19)(本小题满分12分)

解(I)取AB中点O,连结E。，DO.因为EB=E4,所以EO，A5...1分

因为四边形ABCO为直角梯形，AB=2CD=2BC,AB±BC,

所以四边形QBCO为正方形，所以.....2

分

又EOf]00=0,3分

石。匚面后。。，OOu面EOO,........4分

所以平面E。。，又EDu面E。。，

所以ABA.ED......................5分

(H)因面MEJ•面43co，且EO1AB,所以面A5c。，所以EOLOD.

由。两两垂直，建立如图的空间直角坐标系O-xyz............6分

因为三角形E48为等腰直角三角形，所以OO=QA=OE,设。。=”,

所以C(a,-a,O),£>(«,0,0),E(O,O,a),A(O,tz,O).

所以皮=(O,—a,0),DE=(-a,0,a),次=(一。,。,0),...........7分

设平面CDE的一个法向量为I=(不，,,zJ.

n,-DC=0f-a-y,=0

则nc，

n,£>E=0[-«-%)+a-z,=0

所以可取]=(1,0,1)..............8分

设平面ADE的一个法向量为%=（x2,y2,z2）.

则42一二《22八，所以可取〃2=（1」』）............9分

n2DE=0[-a-x2+a-z2=0

所以COS（E，%）=/-+1厂="，..................................11分

\/V2-V33

由图可知二面角C-OE—A为钝角，所以二面角的余弦值为-逅.......12分

3

（20）（本小题满分12分）

解（I）设椭圆的方程为；"+斗"=1（"＞人＞0）,离心率e=工-=虐~＞...1分

b1a2v'2a2

又抛物线y=的焦点为（0』），所以c=l,a=&1=1.....2分

椭圆C的方程是x2+乙=1......................3分

2

（口）若直线/与x轴重合，则以A3为直径的圆是£+丁=1,若直线/垂直于X轴,

则以AB为直径的圆是+4分

x2+y2=1,

X-1

由（1Y216解得｛_，即两圆相切于点（1,0）.............5分

卜+力广

因此所求的点7如果存在，只能是（1,0）.事实上，点T（1,O）就是所求的点.

证明如下:

当直线/垂直于％轴时，以A8为直径的圆过点7（1,0）6分

当直线/不垂直于》轴时，可设直线=+§7分

），=（局

消去y得仅2+2）f+g女+：左2-2=0

由«.8分

2

x2+—=1,

2

二公

玉+X=3

2~k2+l'

设A（X［，X）,B（X2，%），贝小9分

-k2-2

xx=9______

12k2+21

又因为瓦=（玉一l,y）,用=（工2—1,%），

：.TATB=（x}-\）（x2-l）+yly2...........................10分

俨+1）中2+（；公-1）（玉+*2）+/2

+1

=0,11分

TA1T8,即以AB为直径的圆恒过点7（1,0）.

故在坐标平面上存在一个定点T(1,O)满足条件.................12分

(21)(本小题满分12分)

解(I)r(x)=-2A：+|=j.(x>0)...............1分

由/3〉。，得0<x<l；由|'得x>1.

x>0x>0

.,./(X)在(0,1)上为增函数，在(1,+0。)上为减函数...........2分

函数/(x)的最大值为/(I)=-1.....................3分

(II)v^(x)=x+p.-.gf(x)=l-^-.

①由⑴知，X=1是函数/(X)的极值点，

又♦.•函数/(X)与g(x)=x+0有相同极值点，二x=l是函数g(x)的极值点,

g'(l)=l—a=0,解得a=l.....................4分

经验证，当。=1时，函数g(x)在X=1时取到极小值，符合题意.......5分

(1A1

②-=---2,/(l)=-l,/(3)=-9+21n3,

\e)e

1<iA

易知一9+21n3<--r-2<-l,即/(3)</-</(l).

心3卜(必=/⑶=—9+21n3J(%L=/⑴=T…分

由①知g(x)=X+—,「•g'(x)=1--2,

XX

「1、

当-,1时，g'(x)v。；当X£(l,3］时，g'(x)>0.

故g(x)在上为减函数，在(1,3]上为增函数.

(1/nC小C110

•Jg-=e+-,g(l)=2,g(3)=3+w=7

\e)e33

而2<e+-<$.g⑴<g[J<g0.

.•.V/ej,3,g(x2L=g6=2,g(X2)2=g0=¥..........9分

1°当上一l>0,即4>1时、对于-,3,不等式J(')二1('J«1恒成立

\_eJk-\

<=>Zr-l>[/(x,)-g(x2)]maxo人[〃石)一(务)]一+1.

；/(%)—g(士)《/(1)-8(1)=一1一2=—3,

k之-3+1=—2,乂.*.*k>1,1.k>1......................10分

2。当上一1<0,即左<10寸，对于V2,/e1,3],不等式/(xJ―g(/2)0]恒成立

_eJk—\

=ATw[/(xJ-g(W)Lng(w)L+L

in37

:丁(七)一8(/)2/(3)-^(3)=-9+21n3--=一~—+2In3,

34「34

:.k<——+2In3,又・・・&<1,％(——+2In3...............11分

33

综上，所求实数后的取值范围为1-00,-弓+21n3U(l，+8).........12分

22.（本小题满分10分）

解：（I）连结0E；.•点。是中点，点。是A3中点,

OD^-AC,AZA=ZBOD,ZAEO=ZEOD.

~2

.•OA=OE,NA=ZAEO,ZBOD=ZEOD.

在AEOO和ABOO中，JOE=OB,\EODs\BOD,

：.NQED=NO8D=90°,即OELED.

•••E是圆。上一点，；.是圆0的切线................5分

(II)延长。。交圆。于点尸.,：\EOD^\BOD,DE=DB.

•・・点。是BC的中点，BC=2O8,

•••DE,是圆。的切线，，DE=DBDE