浙江省杭州市上城区杭州中学2024年中考数学押题卷含解析

浙江省杭州市上城区杭州中学2024年中考数学押题卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．42 B．96 C．84 D．482．小明解方程的过程如下，他的解答过程中从第（）步开始出现错误．解：去分母，得1﹣（x﹣2）＝1①去括号，得1﹣x+2＝1②合并同类项，得﹣x+3＝1③移项，得﹣x＝﹣2④系数化为1，得x＝2⑤A．① B．② C．③ D．④3．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC4．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（）﹣1=﹣2 C．=±4 D．|﹣6|=65．若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x≠0 D．x≠16．两个有理数的和为零，则这两个数一定是（）A．都是零 B．至少有一个是零C．一个是正数，一个是负数 D．互为相反数7．如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的A． B． C． D．8．已知关于的方程，下列说法正确的是A．当时，方程无解B．当时，方程有一个实数解C．当时，方程有两个相等的实数解D．当时，方程总有两个不相等的实数解9．已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′10．如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（）A．30° B．60° C．50° D．40°二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：_________________．12．如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为___13．用科学计数器计算：2×sin15°×cos15°=_______（结果精确到0.01）.14．如图，点D在的边上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离的长等于________．15．计算（﹣3）+（﹣9）的结果为______．16．分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=1．（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．i）求证：△CAE∽△CBF；ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且时，若BE＝1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）18．（8分）如图，已知△ABC内接于，AB是直径，OD∥AC，AD=OC．(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；(2)填空：①当∠B=时，四边形OCAD是菱形；②当∠B=时，AD与相切.19．（8分）如图，已知三角形ABC的边AB是0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E,(1)求证：CB平分∠ACE；(2)若BE=3，CE=4，求O的半径.20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以OA，OC为邻边作矩形OABC，动点M，N以每秒1个单位长度的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）直接写出点B的坐标为，直线OB的函数表达式为;（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式；并求t为何值时，S有最大值，并求出最大值．21．（8分）为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．若用户的月用水量不超过15吨，每吨收水费4元；用户的月用水量超过15吨，超过15吨的部分，按每吨6元收费．（I）根据题意，填写下表：月用水量（吨/户）41016……应收水费（元/户）40……（II）设一户居民的月用水量为x吨，应收水费y元，写出y关于x的函数关系式；（III）已知用户甲上个月比用户乙多用水6吨，两户共收水费126元，求他们上个月分别用水多少吨？22．（10分）如图，已知△ABC，分别以AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠DAC=90°，连结BD,CE交于点F，设AB=m，BC=n.（1）求证：∠BDA=∠ECA．（2）若m=，n=3，∠ABC=75°，求BD的长.（3）当∠ABC=____时，BD最大，最大值为____（用含m，n的代数式表示）（4）试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。23．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F．求证：OE＝OF．24．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆与地面仍保持垂直的关系，而折断部分与未折断树杆形成的夹角．树杆旁有一座与地面垂直的铁塔，测得米，塔高米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆落在地面的影子长为米，且点、、、在同一条直线上，点、、也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（结果精确到，参考数据：，，）．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解析】

由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）•BE=（10+6）×6=1．故选D.【点睛】本题考查平移的性质，平移前后两个图形大小，形状完全相同，图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离.2、A【解析】

根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的，从而可以解答本题．【详解】=1，去分母，得1-（x-2）=x，故①错误，故选A．【点睛】本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．3、C【解析】

解：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，BE=DE．∴∠BCE=∠DCE．在Rt△BCE和Rt△DCE中，∵BE=DE，BC=DC，∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）．∴选项ABD都一定成立．故选C．4、D【解析】

运用正确的运算法则即可得出答案.【详解】A、应该为a5，错误；B、为2，错误；C、为4，错误；D、正确，所以答案选择D项.【点睛】本题考查了四则运算法则，熟悉掌握是解决本题的关键.5、D【解析】试题解析：由题意可知：x-1≠0，

x≠1

故选D.6、D【解析】解：互为相反数的两个有理数的和为零，故选D．A、C不全面．B、不正确．7、D【解析】

Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．8、C【解析】当时，方程为一元一次方程有唯一解．当时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：∵，∴当时，方程有两个相等的实数解，当且时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法C正确．故选C．9、B【解析】∵抛物线C：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为x=﹣1．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣3）．则与A点以对称轴对称的点是B（2，﹣3）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（4，﹣3），因此将抛物线C向右平移4个单位．故选B．10、A【解析】分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC的度数，根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可．详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．∵∠A=120°，∴∠C=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．故选A．点睛：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、【解析】

提公因式法和应用公式法因式分解．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．12、100°【解析】

由条件可证明△AMK≌△BKN，再结合外角的性质可求得∠A＝∠MKN，再利用三角形内角和可求得∠P．【详解】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN（SAS），∴∠AMK＝∠BKN，∵∠A+∠AMK＝∠MKN+∠BKN，∴∠A＝∠MKN＝40°，∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为100°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK≌△BKN是解题的关键．13、0.50【解析】

直接使用科学计算器计算即可，结果需保留二位有效数字.【详解】用科学计算器计算得0.5，故填0.50，【点睛】此题主要考查科学计算器的使用，注意结果保留二位有效数字.14、4【解析】

连接并延长交于G，连接并延长交于H，根据三角形的重心的概念可得，，，，即可求出GH的长，根据对应边成比例，夹角相等可得，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】如图，连接并延长交于G，连接并延长交于H，∵点E、F分别是和的重心，∴，，，，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：4【点睛】本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．15、-1【解析】试题分析：利用同号两数相加的法则计算即可得原式=﹣（3+9）=﹣1，故答案为﹣1．16、1（x﹣1）1【解析】

先提取公因式1，再根据完全平方公式进行二次分解．【详解】解：1x1-4x+1，=1（x1-1x+1），=1（x-1）1．故答案为：1（x﹣1）1【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，难度不大．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）i）证明见试题解析；ii）；（2）；（3）．【解析】

（1）i）由∠ACE+∠ECB=45°，∠BCF+∠ECB=45°，得到∠ACE=∠BCF，又由于，故△CAE∽△CBF；ii）由，得到BF=，再由△CAE∽△CBF，得到∠CAE=∠CBF，进一步可得到∠EBF=1°，从而有，解得；（2）连接BF，同理可得：∠EBF=1°，由，得到，，故，从而，得到，代入解方程即可；（3）连接BF，同理可得：∠EBF=1°，过C作CH⊥AB延长线于H，可得：，，故，从而有．【详解】解：（1）i）∵∠ACE+∠ECB=45°，∠BCF+∠ECB=45°，∴∠ACE=∠BCF，又∵，∴△CAE∽△CBF；ii）∵，∴BF=，∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF，又∵∠CAE+∠CBE=1°，∴∠CBF+∠CBE=1°，即∠EBF=1°，∴，解得；（2）连接BF，同理可得：∠EBF=1°，∵，∴，，∴，∴，，∴，∴，解得；（3）连接BF，同理可得：∠EBF=1°，过C作CH⊥AB延长线于H，可得：，，∴，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质；正方形的性质；矩形的性质；菱形的性质．18、（1）证明见解析；（2）①30°，②45°【解析】试题分析：（1）根据已知条件求得∠OAC=∠OCA，∠AOD=∠ADO，然后根据三角形内角和定理得出∠AOC=∠OAD，从而证得OC∥AD，即可证得结论；

（2）①若四边形OCAD是菱形，则OC=AC，从而证得OC=OA=AC，得出∠即可求得

②AD与相切，根据切线的性质得出根据AD∥OC，内错角相等得出从而求得试题解析：(方法不唯一)(1)∵OA=OC，AD=OC，∴OA=AD，∴∠OAC=∠OCA，∠AOD=∠ADO，∵OD∥AC，∴∠OAC=∠AOD，∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO，∴∠AOC=∠OAD，∴OC∥AD，∴四边形OCAD是平行四边形；(2)①∵四边形OCAD是菱形，∴OC=AC，又∵OC=OA，∴OC=OA=AC，∴∴故答案为②∵AD与相切，∴∵AD∥OC，∴∴故答案为19、（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．（1）证明：如图1，连接OB，∵AB是⊙0的切线，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CB平分∠ACE；（2）如图2，连接BD，∵CE丄AB，∴∠E=90°，∴BC===5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴，∴BC2=CD•CE，∴CD==，∴OC==，∴⊙O的半径=．考点：切线的性质．20、（1），；（2），1，1．【解析】

（1）根据四边形OABC为矩形即可求出点B坐标，设直线OB解析式为，将B代入即可求直线OB的解析式；（2）由题意可得，由（1）可得点的坐标为，表达出△OMP的面积即可，利用二次函数的性质求出最大值．【详解】解：（1）∵OA=6，OC=4，四边形OABC为矩形，∴AB=OC=4，∴点B，设直线OB解析式为，将B代入得，解得，∴，故答案为：；（2）由题可知，，由(1)可知，点的坐标为，∴当时，有最大值1．【点睛】本题考查了二次函数与几何动态问题，解题的关键是根据题意表达出点的坐标，利用几何知识列出函数关系式．21、（Ⅰ）16；66；（Ⅱ）当x≤15时，y=4x；当x＞15时，y=6x﹣30；（Ⅲ）居民甲上月用水量为18吨，居民乙用水12吨【解析】

（Ⅰ）根据题意计算即可；（Ⅱ）根据分段函数解答即可；（Ⅲ）根据题意，可以分段利用方程或方程组解决用水量问题．【详解】解:（Ⅰ）当月用水量为4吨时，应收水费=4×4=16元；当月用水量为16吨时，应收水费=15×4+1×6=66元；故答案为16；66；（Ⅱ）当x≤15时，y=4x；当x＞15时，y=15×4+（x﹣15）×6=6x﹣30；（Ⅲ）设居民甲上月用水量为X吨，居民乙用水（X﹣6）吨．由题意：X﹣6＜15且X＞15时，4（X﹣6）+15×4+（X﹣15）×6=126X=18，∴居民甲上月用水量为18吨，居民乙用水12吨．【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意在实际问题中，利用方程或方程组是解决问题的常用方法．22、135°m+n【解析】试题分析：（1）由已知条件证△ABD≌△AEC，即可得到∠BDA=∠CEA；（2）过点E作EG⊥CB交CB的延长线于点G，由已知条件易得∠EBG=60°，BE=2，这样在Rt△BEG中可得EG=，BG=1，结合BC=n=3，可得GC=4，由长可得EC=，结合△ABD≌△AEC可得BD=EC=；（3）由（2）可知，BE=，BC=n，因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC=，此时BD最大=EC最大=；（4）由△ABD≌△AEC可得∠AEC=∠ABD，结合△ABE是等腰直角三角形可得△EFB是直角三角形及BE2=2AE2，从而可得EF2=BE2-BF2=2AE2-BF2.试题解析：（1）∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠DAC=90°，∴AE=AB，AC=AD，∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD，∴∠BDA=∠ECA；（2）如下图，过点E作EG⊥CB交CB的延长线于点G，∴∠EGB=90°，∵在等腰直角△ABE，∠BAE=90°，AB=m=，∴∠ABE=45°，BE=2，∵∠ABC=75°，∴∠EBG=180°-75°-45°=60°，∴BG=1，EG=，∴GC=BG+BC=4，∴CE=，∵△EAC≌△BAD，∴BD=EC=；（3）由（2）可知，BE=，BC=n，因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC=，∵BD=EC，∴BD最大=EC最大=，此时∠ABC=180°-∠ABE=180°