第17讲一元一次不等式(组)的实际应用(原卷版+解析)-2021-2022学年七年级数学下册常考点(数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升)

第17讲一元一次不等式（组）的实际应用（原卷版）第一部分专题典例剖析+针对训练类型一盈亏问题典例1在“城乡清洁工程”中，某环卫队租来若干辆载重量为8吨的汽车运一批建筑垃圾，若每辆只装4吨，则剩下20吨建筑垃圾；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆车不满也不空．该环卫队租了多少辆汽车？针对训练11．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们。如果每人送三本，则余3本；如果每人送5本，则最后一人得到的读物不足3本。请问：学校买了多少本书？获奖人数是多少？ 类型二商品销售问题典例2某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：AB进价(元/件)12001000售价(元/件)13801200（1）该商场购进A、B两种商品各多少件?（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元?

针对练习22．某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售．已知从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元，购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元（1）求购进甲、乙两种报纸的单价；（2）已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份1元、1.5元．销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份，若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不低于300元，问该销售处每天最多购进甲种报纸多少份？类型三分段计费问题典例3据《潍坊日报》报道，潍坊市物价局下发了《关于调整潍坊市城市供水价格的通知》，本通知规定自今年5月1日起执行现行水价标准（见下表）．用水类别基本水价（元/吨）代收污水处理费（元/吨）代收水资源费（元/吨）综合水价（元/价）居民生活、行政事业用水基数内1.800.900.503.20基数外一档2.700.900.504.10基数外二档3.700.900.505.10工业生产用水……………（1）由上表可以看出：基数内用水的基本水价为1.80元/吨；基数外一档[即超基数50%（含）以内的部分]的基本水价在基数内基本水价的基础上，每立方米加收元；基数外二档（即超基数50%以外的部分）的基本水价在基数内基本水价的基础上，每立方米加收元；（2）若李明家基数内用水为每月6吨，5月份他家用水12吨，那么李明家5月份应交水费（按综合水价计算）多少元？若李明家计划6月份水费不超过30元，那么李明家6月份最多用水多少吨（精确到0.01）？

针对训练33．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元，若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元．打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折（1）求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，写出y与x的函数关系式；（3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销的活动．按此优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折的一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）

类型四资源配置问题典例4（2019•汉川市模拟）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？（2）若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？（3）若该工厂新购得65张规格为3×3m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共只．针对训练44．小明家购买彩色和单色两种地砖共30块装修厨房，已知彩色、单色地砖的价格分别为80元/块，40元/块．若采购地砖的费用不超过1600元，那么彩色地砖最多能采购________块．5．为了提高市民的环保意识，倡导“节能减排、绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型．其中A型车单价400元，B型车单价320元．(1)年初，“共享单车”试点投放在该市中心城区正式启动，投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元，试问本次投放A型车与B型车各多少辆？(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开，按照试点投放中A，B两种车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元，请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？类型五方案选择问题典例5江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？针对训练56．为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台5800元，优惠条件是购买10台以上，则从第11台开始按报价的70%计算；乙公司的报价也是每台5800元，优惠条件是每台均按报价的85%计算。假如你是学校有关方面负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由？7．湘潭继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创国家卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元；(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

专题提优训练1．学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满．最多有多少间宿舍，多少名女生？2．（2020春•竹溪县期末）某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：第一次第二次A品牌运动服装数/件1010B品牌运动服装数/件2030累计采购款/元60007800（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数32倍多10件，在采购总价不超过12000元的情况下，最多能购进多少件B3．某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体参加校外实践活动，为确保安全，每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如右表所示：

(1)根据题干所提供的信息，确定共需租用多少辆汽车？

(2)请你给学校选择一种最节省费用的租车方案．4．某大型超市从生产基地购进一批苹果，运输及销售中估计有10%的苹果正常损耗，苹果的进价是每千克3.6元，商家要避免亏本，需把售价至少定为每千克多少元？5．为了举行班级晚会，小王准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每副22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小王应该买多少副球拍？6．某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．7．为加快“秀美荆河水系生态治理工程”进度，污水处理厂决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，每台的价格分别为a万元，b万元，每月处理污水量分别为240吨，200吨．已知购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．(1)求a，b的值；(2)厂里预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种购买方案？(3)在(2)的条件下，若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为污水处理厂设计一种最省钱的购买方案．

8．（2021•江油市一模）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．

10．盐城教育局计划在3月12日植树节当天安排A，B两校部分学生到郊区公园参加植树活动．已知A校每名学生的往返车费是6元，B校每名学生的往返车费是10元，要求两所学校均要有学生参加，且A校参加活动的学生比B校参加活动的学生少4人，本次活动的往返车费总和不超过210元．求A，B两校最多各有多少名学生参加．11．(14分)目前LED节能灯在城市已基本普及，为面向乡镇市场，某电器分店决定用76000元购进室内用、室外用节能灯，已知这两种类型的节能灯进价、售价如下表：进价/(元/盏)售价/(元/盏)室内用节能灯4058室外用节能灯5070(1)若该分店共购进节能灯1700盏，问购进的室内用、室外用节能灯各多少盏？(2)若该分店将进货全部售完后获利要不少于32000元，问至少需要购进多少盏室内用节能灯？(3)村干部王详自筹了4650元在该分店购买这两种类型的节能灯若干盏，分发给村民使用，其中室内用节能灯盏数不少于室外用节能灯盏数的2倍，问王详最多购买室外用节能灯多少盏？12．一堆有红、白两种颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的2倍比红球多.若把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为“60”，那么这两种球各有多少个？第17讲一元一次不等式（组）的实际应用（解析版）专题解读：不等式（组）的应用题取材广泛，背景鲜活，内容丰富，贴近现实生活，近年来越来越受到人们的普遍关注，也成为中考的热点问题．解题关键在于理清题意，抓住题目中的关键词语，比如“最多”“最少”“不大于”“不小于”“超过”“至少”“至多”等，寻找不等关系，建立不等式（或组）予以解决．第一部分专题典例剖析+针对训练类型一盈亏问题典例1在“城乡清洁工程”中，某环卫队租来若干辆载重量为8吨的汽车运一批建筑垃圾，若每辆只装4吨，则剩下20吨建筑垃圾；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆车不满也不空．该环卫队租了多少辆汽车？思路引领：如果设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组，再求解，又因为车必须是整数，进而可得出结论．解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．由题意，得0＜（4x+20）﹣8（x﹣1）＜8，解得5＜x＜7．∵x为正整数，∴x＝6．答：该环卫队租了6辆汽车．点睛：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．针对训练11．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们。如果每人送三本，则余3本；如果每人送5本，则最后一人得到的读物不足3本。请问：学校买了多少本书？获奖人数是多少？ 解：设共x人获奖，则学校买了3x＋3本读物。根据题意得：解得：，∵x为整数，∴x＝3，3x＋3＝12（人）答：学校买了12本书，共3人获奖．点睛：题目中的不等关系有时并不是直接给出，而是隐含在题目的已知条件之中，我们需要考虑周全所有可能的情况，才能准确列出不等式（组）．类型二商品销售问题典例2某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：AB进价(元/件)12001000售价(元/件)13801200（1）该商场购进A、B两种商品各多少件?（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元?思路引领：不等关系是以“不少于”为标志的，“第二次经营活动获利不少于81600元”，根据这个不等关系可列出不等式．解：（1）设商场购进A种商品x件，B种商品y件．，解得：答：该商场购进A种商品200件，B种商品120件．（2）设B种商品每件售价为z元． 180×400＋120(z－1000)≥81600，解得：z≤1080答：B种商品最低售价为每件1080元．点睛：本题有相等关系，也有不等关系，我们要善于区分不等关系和相等关系，将不等关系以方程的形式体现出来，不等关系以不等式或不等式组的形式体现出来．针对练习22．某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售．已知从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元，购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元（1）求购进甲、乙两种报纸的单价；（2）已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份1元、1.5元．销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份，若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不低于300元，问该销售处每天最多购进甲种报纸多少份？解：（1）设甲、乙两种报纸的单价分别是x元、y元，根据题意得200x+300y=360300x+200y=340，解得x=0.6答：甲、乙两种报纸的单价分别是0.6元、0.8元；（2）设该销售处每天购进甲种报纸a份，根据题意，得（1﹣0.6）a+（1.5﹣0.8）（600﹣a）≥300，解得a≤400．答：该销售处每天最多购进甲种报纸400份．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系与不等关系．类型三分段计费问题典例3据《潍坊日报》报道，潍坊市物价局下发了《关于调整潍坊市城市供水价格的通知》，本通知规定自今年5月1日起执行现行水价标准（见下表）．用水类别基本水价（元/吨）代收污水处理费（元/吨）代收水资源费（元/吨）综合水价（元/价）居民生活、行政事业用水基数内1.800.900.503.20基数外一档2.700.900.504.10基数外二档3.700.900.505.10工业生产用水……………（1）由上表可以看出：基数内用水的基本水价为1.80元/吨；基数外一档[即超基数50%（含）以内的部分]的基本水价在基数内基本水价的基础上，每立方米加收元；基数外二档（即超基数50%以外的部分）的基本水价在基数内基本水价的基础上，每立方米加收元；（2）若李明家基数内用水为每月6吨，5月份他家用水12吨，那么李明家5月份应交水费（按综合水价计算）多少元？若李明家计划6月份水费不超过30元，那么李明家6月份最多用水多少吨（精确到0.01）？思路引领：（1）根据图表我们可知：每立方米加收的水价＝基数外所在档数﹣基数内的基本水价．（2）李明家的5月份水费总额＝基数内的水价+基数外一档的水费+基数外二档的水费，然后根据5月份缴费情况大致判定出30元水费大致能用多少水，然后根据这个水量列出不等式，求出自变量的取值范围．解：（1）0.9；1.9；（2）由题意知，李明家5月份基数内6吨水费为3.2×6＝19.2（元）；基数外一档3吨水费为4.1×3＝12.3（元）；基数外二档3吨水费为5.1×3＝15.3（元），所以，李明家5月份应交水费为19.2+12.3+15.3＝46.8（元）．设李明家6月份计划用水x吨．∵19.2＜30＜19.2+12.3，∴6＜x＜9；依题意得19.2+（x﹣6）×4.1≤30，解得x≤8.63；∴李明家6月份最多用水8.63吨．点睛：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．用代数式正确表示出李明家的水费数额是解题的关键．针对训练33．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元，若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元．打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折（1）求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，写出y与x的函数关系式；（3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销的活动．按此优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折的一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）解：（1）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，根据题意，得：15m+35×（100﹣m）＝2700，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：购进甲种商品40件，乙种商品60件．（2）设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，则购进乙种商品（100﹣x）件，根据题意，得：y＝（20﹣15）x+（45﹣35）（100﹣x）＝﹣5x+1000（0≤x≤100，且x为整数）．（3）小王在该商场购买甲种商品数量为：200÷20＝10（件）．设小王在该商场购买乙种商品n件（n为正整数），当300＜45n≤400，即7≤n≤8时，有0.9×45n＝324，解得：n＝8；当400＜45n，即n≥9时，有0.8×45n＝324，解得：n＝9．10+8＝18（件）或10+9＝19（件）．答：这两天小王在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件．点睛：本题考查了一次函数的应用，根据数量关系列出一次函数关系式（算式或一元一次方程）是解题的关键．类型四资源配置问题典例4（2019•汉川市模拟）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．（1）若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？（2）若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？（3）若该工厂新购得65张规格为3×3m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共只．思路引领：（1）表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案；（2）设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，利用A型板材65张、B型板材110张，得出方程组求出答案；（3）设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材（65×9﹣3m）张，进而得出方程组求出符合题意的答案．解：（1）设最多可制作竖式箱子x只，则A型板材x张，B型板材4x张，根据题意得30x+90×4x≤10000解得x≤252539答：最多可以做25只竖式箱子．（2）设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，根据题意，得a+2b=654a+3b=110解得：a=5b=30答：能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只．（3）设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材（65×9﹣3m）张，由题意得：a+2b=65×9−3m4a+3b=m，整理得，13a+11b＝65×9，11b＝13（45﹣a∵竖式箱子不少于20只，∴45﹣a＝11或22，这时a＝34，b＝13或a＝23，b＝26．则能制作两种箱子共：34+13＝47或23+26＝49．故答案为：47或49．点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．针对训练44．小明家购买彩色和单色两种地砖共30块装修厨房，已知彩色、单色地砖的价格分别为80元/块，40元/块．若采购地砖的费用不超过1600元，那么彩色地砖最多能采购________块．答案：105．为了提高市民的环保意识，倡导“节能减排、绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型．其中A型车单价400元，B型车单价320元．(1)年初，“共享单车”试点投放在该市中心城区正式启动，投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元，试问本次投放A型车与B型车各多少辆？(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开，按照试点投放中A，B两种车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元，请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？解：(1)设本次投放A型车x辆，B型车y辆，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,400x＋320y＝36800，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝60，,y＝40.))答：本次投放A型车60辆，B型车40辆．(2)设投放A，B两种款型单车的数量分别为6a辆，4a辆，据题意，得400×6a＋320×4a≥1840000，解得a≥500.eq\f(500×6,\f(100000,100))＝3(辆)，eq\f(500×4,\f(100000,100))＝2(辆)．答：城区10万人口平均每100人至少享有A型车3辆，B型车2辆．类型五方案选择问题典例5江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？思路引领：有两个隐含的相等关系，两种货车运出的枇杷不少于20吨，桃子不少于12吨，根据这两个不等关系列出不等式组，求出这个不等式组的正整数解，从而讨论出几种可能的方案．解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得4x＋2（8－x）≥20，且x+2（8－x）≥12，解此不等式组，得x≥2，且x≤4，即2≤x≤4．∵x是正整数，∴x可取的值为2，3，4．因此安排甲、乙两种货车有三种方案：甲种货车乙种货车方案一2辆6辆方案二3辆5辆方案三4辆4辆（2）方案一所需运费300×2+240×6=2040元；方案二所需运费300×3+240×5=2100元；方案三所需运费300×4+240×4=2160元．所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．点睛：利用不等式（组）设计方案：根据题目的限制条件，列出所需的不等式（组），并求出其中的正整数解，然后根据实际情况分情况讨论，探究出所有可能的方案，通常所用的方法是分类法和列表法．针对训练56．为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台5800元，优惠条件是购买10台以上，则从第11台开始按报价的70%计算；乙公司的报价也是每台5800元，优惠条件是每台均按报价的85%计算。假如你是学校有关方面负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由？解：设学校需购置电脑x台，则到甲公司购买需付[10×5800＋5800（x－10）×70%]元，到乙公司购买需付5800×85%x元．根据题意得：①若甲公司优惠：则10×5800＋5800(x－10)×70%＜5800×85%x，解得：x＞30②若乙公司优惠：则10×5800＋5800(x－10)×70%＞5800×85%x，解得：x＜30③若两公司一样优惠：则10×5800＋5800(x－10)×70%＝5800×85%x，解得：x＝30．答：购置电脑少于30台时选乙公司较优惠，购置电脑正好30台时两公司随便选哪家，购置电脑多于30台时选甲公司较优惠，点睛：比较两种方案哪种更省钱，我们常常分三种情况讨论，列出不等式，求出未知数的取值范围7．湘潭继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创国家卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元；(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？解：(1)设温馨提示牌的单价为x元，垃圾箱的单价为y元，根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝550，,y＝3x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝150.))答：温馨提示牌的单价为50元，垃圾箱的单价为150元．(2)设购买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌(100－m)个，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(150m＋50（100－m）≤10000，,m≥48，))解得48≤m≤50.又因为m为整数，所以m＝48，49，50.方案垃圾箱/个温馨提示牌/个费用/元一48529800二49519900三505010000所以方案一所需资金最少，为9800元．专题提优训练1．学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满．最多有多少间宿舍，多少名女生？解：设有x间宿舍，依题意得，5x+5＜350＜(5x+5)−8(x−2)＜8解得：133＜因为宿舍数应该为整数，所以，最多有x＝5间宿舍，当x＝5时，学生人数为：5x+5＝5×5+5＝30．答：最多有5间房，30名女生．2．（2020春•竹溪县期末）某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：第一次第二次A品牌运动服装数/件1010B品牌运动服装数/件2030累计采购款/元60007800（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数32倍多10件，在采购总价不超过12000元的情况下，最多能购进多少件B解：（1）设A，B两种品牌运动服的进货单价各是x元和y元，根据题意可得：10x+20y=600010x+30y=7800解得：x=240y=180答：A，B两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元；（2）设购进A品牌运动服m件，购进B品牌运动服（32m则240m+180（32m解得：m≤20，经检验，不等式的解符合题意，∴32m+10≤答：最多能购进40件B品牌运动服．3．某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体参加校外实践活动，为确保安全，每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如右表所示：

(1)根据题干所提供的信息，确定共需租用多少辆汽车？

(2)请你给学校选择一种最节省费用的租车方案．解：(1)由要保证240名师生都有座位，汽车总数不能小于(取整为6)辆；由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆，综合起来共需租用6辆汽车.(2)设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(6-x)辆.由题意得解得∵x为整数，∴x=4，或x=5

当x=4时，甲种客车4辆，乙种客车2辆，租车总费用为400×4+280×2=2160(元)

当x=5时，甲种客车5辆，乙种客车1辆，租车总费用为400×5+280×1=2280(元)

∴最节省费用的租车方案是甲种客车4辆，乙种客车2辆，总费用2160元.4．某大型超市从生产基地购进一批苹果，运输及销售中估计有10%的苹果正常损耗，苹果的进价是每千克3.6元，商家要避免亏本，需把售价至少定为每千克多少元？解：设商家需把售价定为每千克x元．根据题意，得x(1－10%)≥3.6，解得x≥4.所以x的最小值为4.5．为了举行班级晚会，小王准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每副22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小王应该买多少副球拍？解：设小王购买x副球拍．根据题意，得1.5×20＋22x≤200，解得x≤7eq\f(8,11).因为x为正整数，所以x的最大值为7.答：小王应该买7副球拍．6．某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．解：(1)设A型汽车每辆的价格为x万元，B型汽车每辆的价格为y万元．由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋7y＝310，,10x＋15y＝700，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝25，,y＝30.))答：A型汽车每辆的价格为25万元，B型汽车每辆的价格为30万元．(2)设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车(10－m)辆．由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜10－m，,25m＋30（10－m）≤285，))解得3≤m＜5.因为m是整数，所以m＝3或4.当m＝3时，该方案所需费用为25×3＋30×7＝285(万元)；当m＝4时，该方案所需费用为25×4＋30×6＝280(万元)．答：费用最省的方案是购买A型汽车4辆，购买B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．7．为加快“秀美荆河水系生态治理工程”进度，污水处理厂决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，每台的价格分别为a万元，b万元，每月处理污水量分别为240吨，200吨．已知购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．(1)求a，b的值；(2)厂里预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种购买方案？(3)在(2)的条件下，若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为污水处理厂设计一种最省钱的购买方案．解：(1)根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＋2，,2a＋6＝3b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝12，,b＝10.))答：a的值为12，b的值为10.(2)设购买A型设备m台，则购买B型设备(10－m)台．根据题意，得12m＋10(10－m)≤105，解得m≤eq\f(5,2).因为m为自然数，所以m的值为0，1，2.所以有3种购买方案，分别为：①购买B型设备10台；②购买A型设备1台，B型设备9台；③购买A型设备2台，B型设备8台．(3)当m＝0时，每月的污水处理量为200×10＝2000(吨)．因为2000<2040，所以m＝0不合题意，舍去．当m＝1时，每月的污水处理量为240＋200×9＝2040(吨)．因为2040＝2040，所以m＝1符合题意，此时购买设备所需资金为12＋10×9＝102(万元)．当m＝2时，每月的污水处理量为240×2＋200×8＝2080(吨)．因为2080>2040，所以m＝2符合题意，此时购买设备所需资金为12×2＋10×8＝104(万元)．因为102<104，所以为了节约资金，最省钱的一种购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台．8．（2021•江油市一模）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，依题意，得：14x+10=y15x−6=y解得：x=16y=234答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．（2）∵（234+16）÷35＝7（辆）……5（人），16÷2＝8（辆），∴租车总辆数为8辆．设租35座客车m辆，则需租30座的客车（8﹣m）辆，依题意，得：35m+30(8−m)≥234+16400m+320(8−m)≤3000解得：2≤m≤51∵m为正整数，∴m＝2，3，4，5，∴共有4种租车方案．设租车总费用为w元，则w＝4