专题12圆周角和圆心角的关系(原卷版+解析)(重点突围)

专题12圆周角和圆心角的关系考点一圆周角概念辨析考点二圆周角定理考点三同弧或等弧所对的圆周角相等考点四直径所对的圆周角是直角考点五90°的圆周角所对的弦是直径考点六圆内接四边形对角互补考点一圆周角概念辨析例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心2．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？考点二圆周角定理例题：（2022秋·广东惠州·九年级统考期末）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝50°，则∠A的度数为__________．【变式训练】1．（2022秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图，是的直径，，则等于______．2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，是的直径，上的两点A，B分别在直径的两侧，且，则__________．考点三同弧或等弧所对的圆周角相等例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．55° B．64° C．65° D．70°考点四直径所对的圆周角是直角例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（

）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE【变式训练】1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD=，BC=4，则⊙O的半径长为（

）A． B．2 C． D．22．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．考点五90°的圆周角所对的弦是直径例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，的弦垂直于，，则的半径等于（

）A． B． C． D．4【变式训练】1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（

）A．8 B． C．10 D．2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.考点六圆内接四边形对角互补例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B，C，D在⊙O上，若，则的度数是（

）A．50° B．60° C．70° D．100°【变式训练】1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°一、选择题1．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，已知是的直径，，平分，则的度数是（

）A．110° B．100° C．120° D．130°2．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）如图，在中，弦，相交于点，，，则的大小是（

）A．35° B．45° C．60° D．70°3．（2022秋·广东阳江·九年级统考期末）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，是的直径，以点为圆心，以长为半径画圆弧交于点，为上一点，连结，，，则的大小是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，是的直径，C，D是上的两点，且平分，分别与，相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A． B． C． D．二、填空题6．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）如图，四边形内接于，，则的大小为______°．7．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，都是的半径，，若，则的度数是______．8．（2022秋·山东威海·九年级校考期末）如图，是的直径，点在上，，交于点，若，则的度数为___________．9．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________．10．（2022·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校联考阶段练习）如图，点坐标是，经过原点，交轴正半轴于点，点在上，，则点的坐标是________．三、解答题11．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期中）如图，在的内接四边形中，，平分．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的半径．12．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图，是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，．(1)求的度数；(2)求的长度．13．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）现有半圆形纸片，点O是圆心，直径的长是．(1)如图1，点C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接、，沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；(2)如图2，是弦，小明将半圆形纸片沿弦折叠使得点C与圆心O重合，顺次连接O、D、C、E得四边形，试判断四边形的形状，请说明理由并求出它的边长．14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，为的内接三角形，，连接．(1)求证：；(2)延长交于，过点作于点，交于点，求证：；(3)在(2)的条件下，连接并延长交于，连接，若，求线段的长．15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：(1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想______180°；（请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想；(2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；(3)如图3，凸四边形中，对角线长为6，，则四边形面积的最大值是______．16．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．(1)如图1，若点D是的中点，求的度数．(2)过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．①如图2，若点D在上．求证．②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求∠ABD的最大值．专题12圆周角和圆心角的关系考点一圆周角概念辨析考点二圆周角定理考点三同弧或等弧所对的圆周角相等考点四直径所对的圆周角是直角考点五90°的圆周角所对的弦是直径考点六圆内接四边形对角互补考点一圆周角概念辨析例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项中的角是圆周角．故选：．【点睛】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题．【变式训练】1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（

）A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心【答案】A【解析】【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．【详解】解：A.

同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．2．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？【答案】特征见解析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角【解析】【详解】解：(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．考点二圆周角定理例题：（2022秋·广东惠州·九年级统考期末）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝50°，则∠A的度数为__________．【答案】##40度【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【详解】解：锐角是的圆周角，，故答案为∶【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2022秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图，是的直径，，则等于______．【答案】##64度【分析】由是直径，，根据圆周角定理，即可求得的度数．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握和运用圆周角定理是解决本题的关键．2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，是的直径，上的两点A，B分别在直径的两侧，且，则__________．【答案】##度【分析】先根据直径所对的圆周角是直角到，再根据圆周角定理求出即可．【详解】解：如图，连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出的度数是解此题的关键．考点三同弧或等弧所对的圆周角相等例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到的度数．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴，∴∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】∵是的两条半径，点C在上，∴∠C==40°故选：B【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．55° B．64° C．65° D．70°【答案】B【解析】【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数．【详解】解：∵BC＝CD，∴，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，∴∠BAC＝∠DAC＝36°，，∵∠ABD＝∠ACD＝44°，∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．考点四直径所对的圆周角是直角例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（

）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE【答案】D【解析】【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据判断D选项．【详解】解：∵AB、CD分别是⊙O的直径，，∴CB⊥BD，故A选项正确，如图，连接，，且∠CDE＝62°，，，，，，，，，故B，C选项正确，，，，，BDDE，故D选项不正确，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD=，BC=4，则⊙O的半径长为（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【解析】【分析】连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，证明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，∵AB是⊙O的直径，D是的中点，∴∠ADB=90°，AD=DB，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABD=45°，∴∠C=∠A=45°，∴△EBC是等腰直角三角形，∵BC=4，∴EC=EB=2，∵CD=，∴DE=，∴BD=，在等腰直角△BDA中，AB=，∴⊙O的半径长为，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．【答案】3【解析】【分析】连接，易得为直径，在中利用勾股定理算出，再在中利用勾股定理算出．【详解】解：连接，四边形是正方形，，，是直径．．在中，，在中，．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．考点五90°的圆周角所对的弦是直径例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，的弦垂直于，，则的半径等于（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】首先连接，由的弦垂直于，即可得是直径，又由，，根据勾股定理即可求得的长，则可求得的半径．【详解】解：连接，，，是的直径，，，，的半径为：．故选：A．【点睛】此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握的圆周角所对的弦是直径定理的应用．【变式训练】1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，，连接，则的最小值为（

）A．8 B． C．10 D．【答案】A【解析】【分析】首先由题意可知：点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E，在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD，可知当点E、P、D在一条直线上时，PD最小，再根据三角形三边的关系即可证得，最后根据勾股定理即可求ED，据此即可求得．【详解】解：点P在以AB为直径的圆上，设圆心为点E如图：在圆E上任取一点F，连接EF、DF、EP、PD当点E、P、D在一条直线上时，PD最小理由如下：，EP=EF(当且仅当点F与点P重合时取等号)此时PD最小，点E是AB的中点，EP是圆的半径在中，故PD的最小值为8故选：A【点睛】本题考查了三角形三边的关系，最短距离问题，勾股定理，确定点P的位置是解决本题的关键．2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】利用已知条件，可知∠BPA=90°，P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值，进行计算求值即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°，∴∠BPA=90°，∴P点在以AB为直径的圆上，如图，O为圆心，连接OC，OC与圆O的交点P，CP即为最小值∵AB=6，∴OB=OP=3，∵BC=5，∴OC=,∴CP=，故答案为：【点睛】本题考查的圆中几何问题的综合运用，掌握圆的基础性质，进行计算求值是解题的关键．考点六圆内接四边形对角互补例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B，C，D在⊙O上，若，则的度数是（

）A．50° B．60° C．70° D．100°【答案】D【解析】【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【详解】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=2∠BAD=100°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．【变式训练】1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解析】【分析】设，则，利用菱形性质可得，再由圆内接四边形的性质可知：，即可求出．【详解】解：设，则∵四边形OABC为菱形，∴，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴，即，∴，即．故选：C【点睛】本题考查菱形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是找出．2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】D【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，可求出∠C的度数，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-∠A=120°，∵∠DEB是△DCE的一个外角，∴∠DEB＞∠C，∴∠DEB的度数可能是：125°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．一、选择题1．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，已知是的直径，，平分，则的度数是（

）A．110° B．100° C．120° D．130°【答案】A【分析】连接，根据则，结合得到，结合平分，确定，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】如图，连接，因为，所以，因为，所以，因为平分，所以，所以．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角的定理是解题的关键．2．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）如图，在中，弦，相交于点，，，则的大小是（

）A．35° B．45° C．60° D．70°【答案】A【分析】根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】解：，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2022秋·广东阳江·九年级统考期末）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆内接四边形的性质即可得．【详解】解：是半圆的直径，，，，由圆内接四边形的性质得：，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．4．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，是的直径，以点为圆心，以长为半径画圆弧交于点，为上一点，连结，，，则的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，则是等边三角形，求得．根据圆内接四边形的性质，可得结论．【详解】解：连接，由题意知：，∴是等边三角形，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴，∴，故选：C．【点睛】题目考查了等边三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质．解决本题的关键是得到是等边三角形．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．5．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，是的直径，C，D是上的两点，且平分，分别与，相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，以及角平分线平分角，直径所对的圆周角是，和平行线分线段对应成比例，逐一进行判断即可．【详解】解：A、∵平分，∴，∵，∴，∴；选项正确，不符合题意；B、∵是的直径，∴，∵，∴，∴；选项正确，不符合题意；C、没有边之间的关系，无法证明，选项不一定成立，符合题意；D、∵，∴，∴；选项正确，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线分线段成比例．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是，是解题的关键．二、填空题6．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）如图，四边形内接于，，则的大小为______°．【答案】【分析】根据圆内接四边形对角互补及圆周角定可直接得到答案．【详解】解：∵四边形内接于，，∴，，对的弧都是弧，∴，故答案为．【点睛】本题考查圆内接四边形对角互补及同弧或等弧所对圆心角等于圆周角两倍．7．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，都是的半径，，若，则的度数是______．【答案】##度【分析】先利用同弧关系求出，根据，求出的度数，再利用同弧关系求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了圆周角与圆心角的关系利用，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，熟练掌握此关系是解题的关键．8．（2022秋·山东威海·九年级校考期末）如图，是的直径，点在上，，交于点，若，则的度数为___________．【答案】108##108度【分析】根据圆周角定理及推理得到，再由得到，然后根据三角形外角的性质即可求解．【详解】解：是的直径故答案为．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理．9．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________．【答案】【分析】以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此能求出结果．【详解】解：与点E，D为边上动点，点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆，当点B，O，E共线时，最小，此时，的半径为，．故答案为：．【点睛】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键．10．（2022·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校联考阶段练习）如图，点坐标是，经过原点，交轴正半轴于点，点在上，，则点的坐标是________．【答案】或【分析】作辅助线，先利用勾股定理求圆的半径为，根据已知中的可知，两个满足条件的点的连线就是圆的直径，由此证明，设，则，，从而列方程组可求出、的值，写出符合条件的点的坐标．【详解】解：连接，过作轴于，，，，由勾股定理得：，过作轴，分别作、的平分线交于、，则，，，连接，则是的直径，即过点，，，，是等腰直角三角形，，过作轴于，过作轴于，，，，，，，，设，则，，，△是等腰直角三角形，，，则，解得：或，，，不符合题意，舍去，，，则点的坐标为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了圆周角定理、坐标与图形的性质，熟练掌握圆周角的相关定理是关键，注意确定满足条件的点，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，从而解决问题．三、解答题11．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期中）如图，在的内接四边形中，，平分．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据圆周角定理证明；（2）连接、，作于H，利用正弦的定义计算．【详解】（1）解：∵，平分，∴，由圆周角定理得，，，∴是等边三角形；（2）连接、，作于H，则，，∴，在中，，∴的半径为．【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定，以及锐角三角函数的知识，掌握圆周角定理是解题的关键．12．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图，是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，．(1)求的度数；(2)求的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由切线的性质得出，求出，得出，由圆周角定理可得．（2）证出，由垂径定理得出，证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质得出，，求出，即可得出．【详解】（1）解：∵与相切于点A，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴，∴∴∵，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查圆和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、垂径定理和等边三角形的相关知识．13．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）现有半圆形纸片，点O是圆心，直径的长是．(1)如图1，点C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接、，沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；(2)如图2，是弦，小明将半圆形纸片沿弦折叠使得点C与圆心O重合，顺次连接O、D、C、E得四边形，试判断四边形的形状，请说明理由并求出它的边长．【答案】(1)直角(2)四边形是菱形，理由见解析；菱形的边长为【分析】（1）根据圆周角定理，直径所对的圆周角是，即可得出结论；（2）根据折叠的性质，得到是的中垂线，进而得到，根据圆中半径相等，得到，即可得到四边形是菱形，根据直径是，求出边长即可．【详解】（1）解:∵是的直径，∴，∴是直角三角形，故答案为：直角；（2）四边形是菱形，理由：如图：连接，由折叠得：，∵，∴，∴四边形是菱形，∵直径的长是，∴，∴菱形的边长为．【点睛】本题考查圆周角定理，折叠的性质，菱形的判定．熟练掌握圆周角定理和折叠的性质，是解题的关键．14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，为的内接三角形，，连接．(1)求证：；(2)延长交于，过点作于点，交于点，求证：；(3)在(2)的条件下，连接并延长交于，连接，若，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）延长交于，连接，根据为的直径，得出，根据，得出，等量代换可得；（2）设得出，由，得出，即可得出；（3）连接并延长交于，连，证明，设，则，在中，勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理求得，证明，得出，根据直角三角形斜边上的中线即可求解．【详解】（1）证明：延长交于，连接．为的直径，，，，（2）设，，，，，，，，（3）连接并延长交于，连，∵，，，，，设，则，在中，，在中，，【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，圆周