专题17圆-备战2023年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)(原卷版+解析)

专题17圆圆的有关基础概念及位置关系是选填题的热门，大题出现的几率依然很大，特别是压轴题；圆周角定理、切线长的性质等已经不在教材范围之内，而是增加两个特色性质：相交圆连心线的性质；相切圆的连心线的性质。一、圆的有关概念垂径定理一、与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以0点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：圆心；半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．点与圆的位置有三种：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部d>r⇔点P在⊙点在圆上点在圆周上d=r⇔点P在⊙点在圆内点在圆的内部d<r⇔点P在⊙三点定圆的方法：1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．二、垂径定理QUOTE（12弦长）2对称性圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线圆是中心对称图形。垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：过圆心，作垂线，连半径，造RT△2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．一、单选题1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．53．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（

）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm4．下列说法正确的是（

）A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心5．如图，在中，于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（

）．A． B． C．3 D．或7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（）A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定8．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（

）A． B．3 C． D．二、填空题9．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___确定一个圆．（填“能”或“不能”）10．下列说法正确的是_______（填序号）．①半径不等的圆叫做同心圆；

②优弧一定大于劣弧；

③不同的圆中不可能有相等的弦；

④直径是同一个圆中最长的弦．11．，是半径为3的上两个不同的点，则弦的取值范围是________．12．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．13．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是__________cm．14．如图，在矩形中，，以顶点为圆心作半径为的圆．若要求另外三个顶点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是_______．15．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．三、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等一、单选题1．下列说法中，正确的是（

）A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等2．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（）A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF3．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是(

)A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DBC．EC＝FD D．∠DFB＝75°5．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°二、填空题7．120°的圆心角是360°的_______分之一，它所对的弧是相应圆周长的________分之一．8．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____．9．已知，如图以AB为直径的⊙O，BC⊥AB，AC交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠DEB=25°，则∠C=_______．10．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为_______．三、解答题11．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：（1）OC＝OD：（2）．12．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．13．如图，过的直径上两点，分别作弦，．求证：（1）；（2）．14．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．15．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．（1）如图1，如果，求弦的长；（2）如图2，如果E为弦的中点，求．四、直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线和圆的位置关系位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点d>r⇔直线l与⊙O相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点d=r⇔直线l与⊙O相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线d<r⇔直线l与⊙O切线的性质及判定切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设⊙O1、⊙O2的半径分别为位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．d>R+r⇔外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d=R+r⇔相交两个圆有两个公共点．R−r<d<R+r⇔内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d=R−r⇔内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0≤d<R−r⇔【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．定理1：相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。定理2：相切圆的连心线经过切点。一、单选题1．（2023春·上海·九年级专题练习）已知圆、圆的半径不相等，圆的半径长为5，若圆上的点满足，则圆与圆的位置关系是（）A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含2．（2022春·上海青浦·九年级校考期中）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．外切 D．相交3．（2023春·上海·九年级专题练习）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段，线段，那么直线AB与⊙O的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切4．（2023春·上海·九年级专题练习）在直角坐标系中，点P的坐标是(2，)，圆P的半径为2，下列说法正确的是（

）A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点D．圆P与x轴、y轴都没有公共点5．（2022春·上海闵行·九年级校考期中）如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2022·上海·九年级专题练习）在四边形中，，，，，（如图）．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题7．（2023秋·上海·九年级校考期末）已知与两圆外切，，的半径为3，那么的半径为______．8．（2023春·上海·九年级专题练习）在Rt中，，，分别以点为圆心画圆，如果点在上，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是________．9．（2023春·上海·九年级专题练习）已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为______cm．10．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点O在边上，且，以点O为圆心，r为半径作圆，如果与的边共有4个公共点，那么半径r取值范围是______.11．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为_____s．12．（2021·上海闵行·九年级期末）如图，在中，，，，点P在边AC上，的半径为1，如果与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是___________．13．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是__．三、解答题14．（2023春·上海·九年级专题练习）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．(1)求证：O1AO2B；(2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．15．（2022春·上海·九年级校考期中）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6．求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．16．（2022春·九年级单元测试）如图，半径为1的⊙O与过点O的⊙P相交，点A是⊙O与⊙P的一个公共点，点B是直线AP与⊙O的不同于点A的另一交点，联结OA，OB，OP．(1)当点B在线段AP上时，①求证：∠AOB＝∠APO；②如果点B是线段AP的中点，求△AOP的面积；(2)设点C是⊙P与⊙O的不同于点A的另一公共点，联结PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，请用含α的代数式表示β．五、正多边形和圆正多边形和圆正多边形正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法：量角器（作法操作复杂，但作图较准确）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）一、填空题1．（2023春·上海·九年级专题练习）半径为3的圆的内接正六边形的面积为______．2．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=_______．3．（2021·上海·统考二模）如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____．4．（2021·上海·九年级专题练习）如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____．5．（2022·上海闵行·统考二模）如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.6．（2021·上海·九年级专题练习）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径的长为1，如果用它的面积来近似估计的面积，那么的面积约是___．7．（2023春·上海·九年级专题练习）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．8．（2021·上海·九年级专题练习）如图，下列正多边形都满足BA1=CB1，在正三角形中，我们可推得：∠AOB1=60°；在正方形中，可推得：∠AOB1=90°；在正五边形中，可推得：∠AOB1=108°，依此类推在正八边形中，AOB1=____°，在正n(n≥3)边形中，∠AOB1=____°．二、解答题（圆内接四边形练）9．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）如图，与交于D，E两点，是直径且长为12，．(1)证明：；(2)若，求的长度．10．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F，设半径为R．(1)若，，求：①______（用R的代数式表示）；②的半径长．(2)求证：．一、解答题1．（2021·上海杨浦·统考二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作ADOC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．（1）求证：CE＝CD；（2）如果，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．2．（2020·上海松江·统考二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：．3．（2023春·上海·九年级专题练习）已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于点B，交⊙P点，OD⊥AB于点，PE⊥AC于点E．（1）求的值：（2）如果⊙O和⊙P的半径比为3:5，求的值．4．（2023秋·上海·九年级校考期末）已知：如图，是的直径，是上一点，，垂足为点，是的中点，与相交于点，，．(1)求的长；(2)求的值．5．（2023春·上海·九年级专题练习）已知为的直径，A、B为上两点，点C为劣弧中点，连接，且．(1)求证：；(2)F、G分别为线段上两点，满足，连接，取中点H，连接，请猜测与之间的数量关系，并证明．6．（2021·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．（1）求证：；（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．7．（2022·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．(1)如图1，求证：等于；(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．8．（2020·上海普陀·统考二模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．9．（2022春·上海金山·九年级校考阶段练习）如图，为半圆的直径，，过作的垂线，点为直线上一点，连接交半圆于点，以为圆心，为半径作圆弧交于点（不与重合）．(1)如图2，连接、交于点，若为重心时，求的值；(2)如图2，设，，求关于的函数关系式，并写出定义域；(3)延长交于点，延长交射线于点，①设与线段交于点，连接，的度数是否发生变化，若不变，请求出度数；若变化，请至少给出两种不同情况下所对应的度数；②若与相似，求的长．专题17圆圆的有关基础概念及位置关系是选填题的热门，大题出现的几率依然很大，特别是压轴题；圆周角定理、切线长的性质等已经不在教材范围之内，而是增加两个特色性质：相交圆连心线的性质；相切圆的连心线的性质。一、圆的有关概念垂径定理一、与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以0点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：圆心；半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．点与圆的位置有三种：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部d>r⇔点P在⊙点在圆上点在圆周上d=r⇔点P在⊙点在圆内点在圆的内部d<r⇔点P在⊙三点定圆的方法：1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．二、垂径定理QUOTE（12弦长）2对称性圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线圆是中心对称图形。垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：过圆心，作垂线，连半径，造RT△2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．一、单选题1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据等弧的定义、弦的定义、弧的定义、分别判断后即可确定正确的选项．【解析】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；正确的只有一个，故选：A．【点睛】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大．2．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．【解析】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，∴圆的半径应该大于4．故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（

）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm【答案】C【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM．【解析】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED⊥AB于点M，则ED=10cm，AB=8cm，由垂径定理知：点M为AB中点，∴AM=4cm，∵半径OA=5cm，∴OM2=OA2-AM2=25-16=9，∴OM=3cm．故选：C．【点睛】本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键．4．下列说法正确的是（

）A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心【答案】A【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．【解析】解：A.

同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．5．如图，在中，于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】B【分析】根据垂径定理求出AD=BD=3cm即可．【解析】解：∵AB为非直径的弦，，∴AD=BD=3cm，∴AB=AD+BD=6cm．故选B．【点睛】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题关键．6．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（

）．A． B． C．3 D．或【答案】D【分析】分两种情形：当点M在线段OA上或点M在线段AO的延长线上时，分别求解即可．【解析】解：如图1，∵AB=10，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5，∴OA=OC=5，OM=3，AM=8，∴CM==4，∴AC==4；如图2，∵AB=10cm，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5，∴OA=OC=5，OM=3，AM=2，∴CM==4，∴AC==2，综上所述：弦AC的长为4或2．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（）A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定【答案】C【分析】欲求点C与⊙B的位置关系，关键是求出BC，再与半径3进行比较．若d＜r，则点在圆内；若d＝r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外．【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴，有勾股定理得：，即，解得：，∵以点B为圆心，3为半径作⊙B，∴r＜d，∴点C在⊙B外．故选：C．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，含角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定是解题的关键．8．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，根据垂径定理可得AE=BE=3，从而得到CE=1，然后设OE=x，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解．【解析】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，∴，∵AC＝4，BC＝2，∴BA=6，∴AE=BE=3，∴CE=1，设OE=x，∴，∵CD⊥OC，∴，∴或（舍去）．故选：C【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．二、填空题9．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___确定一个圆．（填“能”或“不能”）【答案】不能【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．【解析】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，-3）与C、B共线，∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．故答案为：不能．【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．10．下列说法正确的是_______（填序号）．①半径不等的圆叫做同心圆；

②优弧一定大于劣弧；

③不同的圆中不可能有相等的弦；

④直径是同一个圆中最长的弦．【答案】④【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】解：①半径不等的圆叫做同心圆，错误；②优弧一定大于劣弧，错误；③不同的圆中不可能有相等的弦，错误；④直径是同一个圆中最长的弦，正确．故答案为：④．【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关概念，难度较小11．，是半径为3的上两个不同的点，则弦的取值范围是________．【答案】【分析】根据直径是圆的最长的弦，即可求解．【解析】解：∵的半径为3，∴的直径为6，∴的最长弦为6，∵，是上两个不同的点，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，理解直径是圆的最长的弦是解题的关键．12．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．【答案】（2，0）【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，所以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0），故答案为：（2,0）．13．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是__________cm．【答案】6【分析】过点作于，连，根据垂径定理得，在中，，，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到，再利用勾股定理计算出，由得到答案．【解析】解：过点作于，连，如图则，在中，，，则，在中，，，则，则．故答案为6．【点睛】本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．14．如图，在矩形中，，以顶点为圆心作半径为的圆．若要求另外三个顶点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是_______．【答案】1＜r＜【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解析】解：在直角△ABD中，CD=AB=2，AD=1，则BD=，由图可知1＜r＜，故答案为：1＜r＜．【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．15．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．【答案】【分析】先找出折痕CD取最大值和最小值时，点E的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得．【解析】由题意，有以下两个临界位置：（1）如图，当被折的圆弧与直径AB相切时，折痕CD的长度最短，此时点与圆心O重合，连接OD，由折叠的性质得：，，在中，，由垂径定理得：；（2）当CD和直径AB重合时，折痕CD的长度最长，此时，又要使被折的圆弧与直径AB至少有一个交点，；综上，折痕CD的长度取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键．三、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等一、单选题1．下列说法中，正确的是（

）A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．【解析】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；B中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；D中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．2．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（）A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF【答案】D【分析】在弧EF上取一点M，使，推出，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM＋EM＞FE即可．【解析】如图，在弧EF上取一点M，使，则，所以AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，所以AB+CD＞EF，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键．3．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系解答即可.【解析】①若，则，正确；②若，则，故不正确；③由不能得到弧AB=2弧CD，故不正确；④若，则，错误.故选A.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形的性质.4．如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是(

)A．AE＝EF＝FB B．AC＝CD＝DBC．EC＝FD D．∠DFB＝75°【答案】A【解析】试题分析：利用点C，D是的三等分点，得出AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，再求出∠OBA的度数，利用外角求出∠BFD的度数，通过证△AOE≌△BOF，得出OE=OF，则EC＝FD.连接AC，在△ACE中，求证AE=AC，则可证CD=AE=BF，再根据CD>EF得AE、EF、FB关系.解：∵点C，D是的三等分点，∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，∴选项B正确；∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°，故选项D正确.∴∠AEO=∠BFO，在△AOE和△BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO，∴△AOE≌△BOF，∴OE=OF，∴EC＝FD,故选项C正确.在△AOC中，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=（180°-30°）=75°，∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，同理BF=BD，又∵AC=CD=BD，∴CD=AE=BF，∵在△OCD中，OE=OF，OC=OD，∴EF<CD,∴CD=AE=BF>EF，故A错误.故选A．5．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可．【解析】∵C、D为半圆上三等分点，∴，故①正确，∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，∴正确的说法有：①②③④共4个，故选A．【点睛】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等和平角的概念求解．6．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】先根据邻补角的性质求出∠BOD，再根据点C为弧BAD的中点，求出∠BOC的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数．【解析】∵∠AOD＝100°，∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°，∵点C为弧BAD的中点∴∠BOC=∠DOC=（360°-80°）=140°∵OC=OB∴∠ABC=∠BCO=（180°-140°）=20°故选B．【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆心角、弧的关系．二、填空题7．120°的圆心角是360°的_______分之一，它所对的弧是相应圆周长的________分之一．【答案】

三

三【分析】根据题意可知由于圆周角为360°，则圆心角是120°的圆心角所对弧长是圆周长的120°÷360°=，所以所对的弧长是相应的圆的周长的，据此解答即可．【解析】解：120°÷360°=，它所对的弧是相应圆周长的，答：120°的圆心角是360°的三分之一，它所对的弧是相应圆周长的三分之一．故答案为：三；三．【点睛】本题考查圆的弧长和圆心角，注意掌握在同一个圆中，扇形的圆心角与360度的比等于弧长与圆的周长的比．8．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____．【答案】105°．【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】解：连接OD、OE，∵的度数为35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，∴的度数是105°．故答案为105°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．9．已知，如图以AB为直径的⊙O，BC⊥AB，AC交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠DEB=25°，则∠C=_______．【答案】65°【解析】试题分析：因为，所以∠DEB=∠DAB=25°，因为BC⊥AB，所以∠ABC=90°，所以∠C+∠DAB=90°，所以∠C=90°-∠DAB=90°-25°=65°．考点：1．圆周角定理及其推论、2．直角三角形的性质．10．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为_______．【答案】150°【分析】连接OB，先由平行四边形的性质得∠OAB＝∠C＝60°，再由等腰三角形的性质得∠OBA＝∠OAB＝60°，则∠AOB＝60°，然后证，即可得出∠AOD＝∠BOD＝150°．【解析】解：连接OB，如图所示：∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠OAB＝∠C＝60°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠AOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵DA＝DB，∴，∴∠AOD＝∠BOD＝（360°﹣60°）＝150°，故答案为：150°．【点睛】此题考查了平行四边形以及圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及圆的有关性质．三、解答题11．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：（1）OC＝OD：（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明：连接OA，OB，证明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到结论；（2）根据△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠OAC＝∠OBD．在△OAC与△OBD中，∵，∴△OAC≌△OBD（SAS）．∴OC＝OD．（2）∵△OAC≌△OBD，∴∠AOC＝∠BOD，∴．【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明△OAC≌△OBD是解题的关键．12．如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出即可；（2）根据垂径定理，勾股定理求出ME，进而求出MB即可．【解析】证明：（1）∵AB＝CD，∴，又∵点M是弧AC的中点，∴，∴，即：，∴MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，∴ME＝＝＝，∴MD＝MB＝2ME＝2．【点睛】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是正确计算的前提．13．如图，过的直径上两点，分别作弦，．求证：（1）；（2）．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）连接OC、OF，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，等量代换得到∠BFC=∠ACF．根据平行线的性质得到∠AMC=∠ANE．根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】解：（1）如图，连接．，．．（2），．．又．．在和中，．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．14．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接，由为的中点，得，则，由等腰三角形的性质得，推出，即可得出结论；（2）由垂径定理得，由平行线的性质得，则是等腰直角三角形，，易证是等腰直角三角形，得，再由，即可得出结果．【解析】（1）证明：为的中点，，∴，，∴，∴，；（2）解：为中点，，由（1）得：，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．15．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．（1）如图1，如果，求弦的长；（2）如图2，如果E为弦的中点，求【答案】（1）；（2）【分析】(1)连接OC，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出∠，通过解直角三角形求出，利用垂径定理求出；(2)连接BC，根据AB为直径，得到，再得到，证明，求得是的中位线，设，则根据，求出的值，由勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解．【解析】如图，连接OC，又，即，，则；如图2，连接，为直径，，，，又是的中位线，设，则解得：，则【点睛】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理，还考查了全等三角形的判定和性质，中位线定理，熟悉并灵活运用以上性质定理是解题的关键．四、直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线和圆的位置关系位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点d>r⇔直线l与⊙O相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点d=r⇔直线l与⊙O相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线d<r⇔直线l与⊙O切线的性质及判定切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设⊙O1、⊙O2的半径分别为位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．d>R+r⇔外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d=R+r⇔相交两个圆有两个公共点．R−r<d<R+r⇔内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d=R−r⇔内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0≤d<R−r⇔【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．定理1：相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。定理2：相切圆的连心线经过切点。一、单选题1．（2023春·上海·九年级专题练习）已知圆、圆的半径不相等，圆的半径长为5，若圆上的点满足，则圆与圆的位置关系是（）A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点能满足，当两圆相交时，交点能满足，当两圆内切时，切点能满足，当两圆相离时，圆上的点不能满足，所以，两圆相交或相切，故选：A．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．2．（2022春·上海青浦·九年级校考期中）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．外切 D．相交【答案】B【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为d：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．【解析】解：∵两圆半径之差圆心距，∴两个圆的位置关系是内切．故选：B．【点睛】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差求解．3．（2023春·上海·九年级专题练习）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段，线段，那么直线AB与⊙O的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．【解析】解：∵⊙O的半径为10cm，线段，线段，∴点A在以O为圆心，10cm长为半径的圆上，点B在以O圆心，6cm长为半径的⊙O上当时，如左图所示，由知，直线AB与⊙O相切；当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作于点D，则，所以直线AB与⊙O相交；∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切故选：D．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系．4．（2023春·上海·九年级专题练习）在直角坐标系中，点P的坐标是(2，)，圆P的半径为2，下列说法正确的是（

）A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点D．圆P与x轴、y轴都没有公共点【答案】B【分析】点P到x轴的距离是，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可．【解析】解：∵P（2，），圆P的半径为2，2=2，＜2，∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．故选：B．【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d＜r，直线和圆相交，有两个交点．5．（2022春·上海闵行·九年级校考期中）如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据勾股定理得到，根据圆与圆的位置关系得到，由点在外，于是得到，即可得到结论．【解析】解：连接AD，∵，，，∴∵的半径长为3，与相交，∴，∵，∴，∵点在外，∴，∴的半径长的取值范围是，故选：B．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内．6．（2022·上海·九年级专题练习）在四边形中，，，，，（如图）．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可．【解析】解：如图1，过点D作于H，则，，，在中，，当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，设，则，在中，，∴，由得，，解得；如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F，设，则，在中，，∴，，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，即的最大半径为，所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．二、填空题7．（2023秋·上海·九年级校考期末）已知与两圆外切，，的半径为3，那么的半径为______．【答案】2【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果．【解析】与两圆外切，,，故答案为：2．【点睛】本题考查了两圆的位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题的关键．8．（2023春·上海·九年级专题练习）在Rt中，，，分别以点为圆心画圆，如果点在上，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是________．【答案】【分析】根据勾股定理求出斜边，根据点和圆的位置关系求出的半径，再求出的半径的取值范围即可．【解析】解：在Rt中，，，由勾股定理得：，点在上，的半径是6，设交于，则，∵与相交，∴，点在外，，的半径小于10，即的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了点与圆以及圆与圆的位置关系，求出斜边的长是解题的关键．9．（2023春·上海·九年级专题练习）已知，、之间的距离是5cm，圆心O到直线的距离是2cm，如果圆O与直线、有三个公共点，那么圆O的半径为______cm．【答案】3或7【分析】根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题．【解析】解：设圆的半径为rcm如图一所示，r-5=2，得r=7cm，如图二所示，r+2=5，得r=3cm，故答案为：3或7．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．10．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点O在边上，且，以点O为圆心，r为半径作圆，如果与的边共有4个公共点，那么半径r取值范围是______.【答案】【分析】利用勾股定理求出，，作交于点D，以O为圆心作圆，结合图形可知：的时候，交点为4个．【解析】解：∵，，，∴，∵，∴，，作交于点D，以O为圆心作圆，如图：∵，，∴，∴，即解得：，结合图形可知：当半径等于3的时候，交点为3个，当半径等于5的时候，交点为A、E、F3个，当的时候，交点为4个，∴半径r取值范围是．故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，圆的性质，解题的关键是作出图形，结合图形分析求解．11．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为_____s．【答案】4或8##8或4【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即可．【解析】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图1，过P作PE⊥CD于E∴PE＝1cm，∵∠AOC＝30°∴OP＝2PE＝2cm∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切∴⊙P移动所用的时间＝＝4（秒）；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图2，过P作PE⊥CD于E∴PF＝1cm∵∠AOC＝∠DOB＝30°∴OP＝2PF＝2cm∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，∴⊙P移动所用的时间＝＝8（秒）∴当⊙P的运动时间为4或8秒时，⊙P与直线CD相切．故答案为：4或8．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，含30°的直角三角形，解题的关键在于分点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算．12．（2021·上海闵行·九年级期末）如图，在中，，，，点P在边AC上，的半径为1，如果与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是___________．【答案】【分析】根据勾股定理得到AC=4，然后找出与边BC、AB相切的临界点，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】解：在中，，，，由勾股定理，则，当与边BC相切时，则点C恰好为切点，此时；当与边AB相切时，如图，作PD⊥AB，∵∠A=∠A，∠C=∠ADP=90°，∴△ABC∽△APD，∴，∴，∴，∴；∴线段PC长的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．13．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是__．【答案】或【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．【解析】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：∴，在直角梯形中，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，最大值为圆与圆E内切，切点为Q，∴，当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，设，则，∴，∴，则长度的取值范围是或．故答案为：或．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．三、解答题14．（2023春·上海·九年级专题练习）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．(1)求证：O1AO2B；(2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1AO2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT的值．【解析】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，∴O1O2经过点T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1AO2B；（2）∵O1AO2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握圆与圆的位置关系是解题的关键．15．（2022春·上海·九年级校考期中）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6．求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21【分析】（1）连接，过作于点D，设AB与交于点E，由圆的对称性可得AE的长，由勾股定理可求得，从而可得AD的长，由垂径定理即可得AC的长；（2）由勾股定理可求得，从而可得的长，则可分别求得、的面积，则可求得四边形ACO1O2的面积．（1）解：连接，过作于点D，设AB与交于点E，如图由圆的对称性知：，在中，由勾股定理得：∵，AC∥O1O2∴∵∴∴四边形是平行四边形∵∴四边形是矩形，且AD=CD∴，∴AC=2AD=8（2）解：在中，由勾股定理得：∴∴，∴四边形ACO1O2的面积为：【点睛】本题考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握并正确运用是关键．16．（2022春·九年级单元测试）如图，半径为1的⊙O与过点O的⊙P相交，点A是⊙O与⊙P的一个公共点，点B是直线AP与⊙O的不同于点A的另一交点，联结OA，OB，OP．(1)当点B在线段AP上时，①求证：∠AOB＝∠APO；②如果点B是线段AP的中点，求△AOP的面积；(2)设点C是⊙P与⊙O的不同于点A的另一公共点，联结PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②(2)β＝60°﹣【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，则∠AOB＝∠APO；②首先利用△AOB∽△APO，得，可得AP的长，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝﹣x，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）连接OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝∠AOB＝β，∠ACO＝∠APO＝β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【解析】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（）2﹣（）2，解得x＝，∴OH＝，由勾股定理得，AH＝＝，∴△AOP的面积为＝；（2）解：如图，连接OC，AC，∵∠AOB＝∠APO，∴∠AOB＝β，∴∠ACB＝∠AOB＝β，∠ACO＝∠APO＝β，∴∠OCP＝β+α，∵OA＝OC，AP＝PC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝β+α，在△OAP中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．五、正多边形和圆正多边形和圆正多边形正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法：量角器（作法操作复杂，但作图较准确）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）一、填空题1．（2023春·上海·九年级专题练习）半径为3的圆的内接正六边形的面积为______．【答案】【分析】根据圆的半径为3，过圆心作于点，根据圆的内接正六边形，连接，得是等边三角形，根据等边三角形的性质，得；根据勾股定理，求出；得的面积，根据圆的内接正六边形的面积等于6个的面积，即可．【解析】如图：连接，∴是等腰三角形∵正多边形的中心角为：∴是等边三角形过圆心作于点∴∵∴∴在直角三角形中，∴∴∴∴正六边形的面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查圆内接正多边形的知识，解题的关键是掌握圆内接正多边形中心角的计算，等边三角形的判定和性质．2．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=_______．【答案】12【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正方形与内接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，则∠BOC=30°，然后计算即可得到n的值．【解析】解：连接OA、OB、OC，如图，∵AC，AB分别为⊙O的内接正方形与内接正三角形的一边，∴∠AOC==90°，∠AOB==120°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，∴n==12，即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．3．（2021·上海·统考二模）如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____．【答案】【分析】连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，根据AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边得到∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，从而得到∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，然后求得BC的长即可．【解析】解：连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，∵AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，∵OC＝OB，∴∠OCD＝∠OBC＝30°，∵OC＝6，∴CD＝＝3，∴BC＝2CD＝6，故答案为：6．【点睛】考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得∠BOC的度数．4．（2021·上海·九年级专题练习）如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____．【答案】【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BM、CM，根据正多边形的性质计算即可．【解析】解：∵正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上∴∠ABC=，∠M=90，AB=BC，AM=MN∵∠ABC+∠CBM=180°∴∠CBM=60°∵AB=4∴BC=4∴CM=BCsin∠CBM=2MB=BCcos∠CBM=2∴AM=AB+MB=6∴MN=AM=6∴CN=MN-CM=6-2故答案为：6-2．【点睛】本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解答本题的关键．5．（2022·上海闵行·统考二模）如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.【答案】4【分析】解：如图，连接CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解．【解析】解：如图，连接CE，，，六边形是正六边形，AB=AF=EF=BC，，，，，，四边形BCEF是平行四边形，，的面积为1，，的面积为，故答案为4．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．6．（2021·上海·九年级专题练习）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径的长为1，如果用它的面积来近似估计的面积，那么的面积约是___．【答案】【分析】设为正十二边形的边，连接，过作于，由正十二边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，求出的面积，即可得出答案．【解析】解：设为正十二边形的边，连接，过作于，如图所示：，的面积正十二边形的面积，的面积正十二边形的面积，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正十二边形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握正十二边形的性质是解题的关键．7．（2023春·上海·九年级专题练习）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．【答案】1【分析】此题应根据题意先找到圆心位置，再根据圆心位置求出不在圆上的顶点到该圆圆心的距离即可．【解析】根据题意作图可分两种情况：1如图：作，BC=，BO=5，∵A，B，C在圆O上，∴BP=（垂径定理），又，∴OP===；因为ABCD是菱形，∴ACBD，即∠BQC=90°，在△BOP与△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∵BQ>BO，∴此情况不符合题意，舍去；2，如图，同理可得OP=，在△BOP与△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∴OQ=BO-BQ=3，∴OD===1，综上所述，这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1．故答案是：1．【点睛】此题是新型概念的题型，实际是求点到圆心的距离的知识点，难度偏难．8．（2021·上海·九年级专题