第05课时实数的运算(原卷版+解析)

第5课时实数的运算（原卷版）核心考点考点1实数的运算法则1．（2021·福建莆田·校联考一模）计算：的结果是（

）A． B． C． D．2．（2020·安徽滁州·统考模拟预测）计算的结果是（

）A． B． C． D．3．（2019·河南·九年级专题练习）计算：的结果是（

）A．1 B． C．0 D．-14．（2020·河北·模拟预测）小明玩“24点”游戏时抽到了以下四个4，要求用数学运算符号运算，结果为24，请判断下列算式正确的是（

）A． B．C． D．5．（2021秋·全国·七年级假期作业）计算：（

）A． B． C． D．6．（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如果□，那么“□”内应填的实数是（

）A． B． C． D．考点2实数的混合运算7．（2021秋·湖南邵阳·九年级武冈市第二中学校考开学考试）计算的结果是（）A．1 B．2 C． D．38．（2022·八年级单元测试）已知如图①，图②中所写结论正确的个数是（

）个A．3 B．4 C．5 D．69．（2022秋·八年级课时练习）的值为()A． B． C． D．10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求的值是()A． B． C．或 D．11．（2020春·河北邯郸·九年级校联考阶段练习）如图是一个的方阵，其中每行，每列的两数和相等，则可以是（

）A． B． C．0 D．12．（2018·上海徐汇·七年级阶段练习）13．（2019·八年级课时练习）计算：（1）；（2）.二、易错点易错点1：带分数的计算出错（错因刨析）求带分数的平方根时，应先将分数化为假分数，再求其平方根进行运算14．（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）（1）计算：（2）解方程组：；15．（2021秋·陕西汉中·八年级统考期末）计算：．16．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）计算：易错点2：数形结合出错（错因刨析）对称轴上线段的读取发生错误，从而让运算出错17．（2022秋·内蒙古呼和浩特·八年级校联考阶段练习）如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（

）A． B． C． D．18．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）已知，，在数轴上的位置如图所示，计算：______．19．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，数轴上点到点的距离与点到点的距离相等，若点表示，点表示，则点表示的数是________．三、拔尖角度角度1程序设计与实数运算20．（2022·八年级单元测试）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③21．（2019·重庆·统考中考真题）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（

）A． B． C． D．角度2新定义下的实数运算22．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）一个四位数（其中，b，c，且均为整数），若，且k为整数，称m为“k型数”．例如，：，则为“型数”；：，则为“型数”．(1)判断与是否为“k型数”，若是，求出k；(2)若四位数m是“型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“型数”，求满足条件的所有四位数m．23．（2022秋·重庆·七年级重庆南开中学校考期末）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数，若的十位数字等于其个位数字的倍，则称这个自然数为“向上数”．当三位自然数为“向上数”时，交换的百位数字和十位数字后会得到一个三位自然数，规定，例如：当时，因为，所以是“向上数”；此时，则．(1)写出最大的“向上数”和最小的“向上数”，并求出它们的值；(2)已知一个三位自然数是“向上数”，的各个数位上的数字和记为，若能被7整除，求所有满足条件的三位自然数．角度3与实数应用相关的规律题24．（2022秋·广东茂名·七年级校考期中）观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题：，，，．(1)试猜想()=；(2)试猜想()(用含n的代数式表示结果）；(3)按上述规律计算的值．25．（2021秋·贵州六盘水·七年级统考期末）已知整数，，，…满足，，，，…以此类推．(1)①根据已知条件，计算出__________，__________；②计算的值；(2)当n为偶数时，求的值（用含n的代数式表示）．角度4实数运算的应用26．（2019秋·福建泉州·八年级福建省永春第一中学校考阶段练习）一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是_____第2019个“智慧数”是_____．27．（2019秋·浙江·七年级期末）阅读材料，回答问题：（1）对于任意实数x，符号表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，就是x，当x不是整数时，是点x左侧的第一个整数点，如，，，，则________，________．（2）2015年11月24日，杭州地铁1号线下沙延伸段开通运营，极大的方便了下沙江滨居住区居民的出行，杭州地铁收费采用里程分段计价，起步价为2元/人次，最高价为8元/人次，不足1元按1元计算，具体权费标准如下：里程范围4公里以内（含4公里）4-12公里以内（含12公里）12-24公里以内（含24公里）24公里以上收费标准2元4公里/元6公里/元8公里/元①若从下沙江滨站到文海南路站的里程是3.07公里，车费________元，下沙江滨站到金沙湖站里程是7.93公里，车费________元，下沙江滨站到杭州火东站里程是19.17公里，车费________元；②若某人乘地铁花了7元，则他乘地铁行驶的路程范围（不考虑实际站点下车里程情况）？第5课时实数的运算（解析版）核心考点考点1实数的运算法则1．（2021·福建莆田·校联考一模）计算：的结果是（

）A． B． C． D．思路引领：根据零指数幂的计算可得到结果．解：原式=1-2=-1．故选：A．总结提升：本题考查了实数的运算，准确应用零指数幂的计算公式是关键．2．（2020·安徽滁州·统考模拟预测）计算的结果是（

）A． B． C． D．思路引领：原式利用算术平方根，以及零指数幂法则计算即可求出值．解：原式=4+1=5.故选B.总结提升：此题考查了实数的运算，开方运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2019·河南·九年级专题练习）计算：的结果是（

）A．1 B． C．0 D．-1思路引领：分别算出绝对值和开方的值，然后相减即可.解：原式=-=0.故答案为：C.总结提升：本题主要考查了实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值和开平方等考点的运算．4．（2020·河北·模拟预测）小明玩“24点”游戏时抽到了以下四个4，要求用数学运算符号运算，结果为24，请判断下列算式正确的是（

）A． B．C． D．思路引领：根据实数的运算法则一一运算即可.解：A.16，故A错误.B.=36，故B错误.C.，故C错误.D.，故D正确.故选：D.总结提升：本题考查了实数的运算法则，熟悉算数平方根、整数指数幂是解答本题的关键．5．（2021秋·全国·七年级假期作业）计算：（

）A． B． C． D．思路引领：原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．解：原式==.故选A.总结提升：本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如果□，那么“□”内应填的实数是（

）A． B． C． D．思路引领：根据相反数性质可得：互为相反数的两个数和为0．根据相反数性质可得：若□，则□=故选：A总结提升：考核知识点：相反数．理解相反数的定义和性质是关键．考点2实数的混合运算7．（2021秋·湖南邵阳·九年级武冈市第二中学校考开学考试）计算的结果是（）A．1 B．2 C． D．3思路引领：根据平方根的性质、零指数幂、负整数指数幂进行计算即可．解：原式＝＝3，故选：D．总结提升：本题考查了平方根的性质、零指数幂、负整数指数幂，属于基础题，熟练掌握相关概念及性质是解决本题的关键．8．（2022·八年级单元测试）已知如图①，图②中所写结论正确的个数是（

）个A．3 B．4 C．5 D．6思路引领：根据数轴的性质可得，由此可判断①；根据数轴可得，由此可判断②；根据数轴可得，根据乘法法则可判断③；根据数轴可得，根据加法法则可判断④；根据数轴可得，根据减法法则可判断⑤；根据数轴可得，根据减法法则可判断⑥．解：由数轴可知，，则四个数中最小的是，结论①正确；由数轴可知，，结论②正确；由数轴可知，，则，结论③正确；由数轴可知，，则，结论④正确；由数轴可知，，则，结论⑤错误；由数轴可知，，则，结论⑥错误；综上，结论正确的个数是4个，故选：B．总结提升：本题考查了实数与数轴、实数的性质、实数的运算等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．9．（2022秋·八年级课时练习）的值为()A． B． C． D．思路引领：根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.原式；故答案为：A.总结提升：本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求的值是()A． B． C．或 D．思路引领：根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d，ab及e的值，代入计算即可．由题意可知：ab=1，c+d=0，，f=64，∴，，∴=；故答案为：D总结提升：此题考查了实数的运算，算术平方根，绝对值，相反数以及倒数和立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2020春·河北邯郸·九年级校联考阶段练习）如图是一个的方阵，其中每行，每列的两数和相等，则可以是（

）A． B． C．0 D．思路引领：根据题意列出等式，直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．解：由题意可得：，则，解得：，,,故可以是．故选：D．总结提升：此题考查了零指数幂、绝对值的性质、立方根的性质和实数的运算，理解题意并列出等式是解题关键．12．（2018·上海徐汇·七年级阶段练习）思路引领：先按照二次根式、零次幂、负指数幂等知识对原式进行化简，然后再进行运算即可.解：=+1-5-4=-9总结提升：本题主要考查了二次根式、零次幂、负指数幂等知识，考查知识点多，容易出错，需引起足够关注.13．（2019·八年级课时练习）计算：（1）；（2）.思路引领：（2）根据开立方、绝对值、负整数指数幂，零指数幂进行化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（3）本题涉及开立方、绝对值、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（1）（2）总结提升：此题考查实数的运算，解题关键在于掌握运算法则.二、易错点易错点1：带分数的计算出错（错因刨析）求带分数的平方根时，应先将分数化为假分数，再求其平方根进行运算14．（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）（1）计算：（2）解方程组：；思路引领：（1）先计算算术平方根、立方根、二次根式，再计算加减即可；（2）先将方程化简，再利用加减消元法求解即可．（1）解：原式；（2）原方程组化简为：，得，，解得：，把代入①中得，，解得：，∴原方程组的解为：总结提升：本题考查的是解实数的混合运算、解二元一次方程组，能熟练的计算算术平方根、立方根、二次根式和化简方程是解决问题的关键．15．（2021秋·陕西汉中·八年级统考期末）计算：．思路引领：先计算开方，立方根，再计算加减即可．原式．总结提升：本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．16．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）计算：思路引领：先化简各式，再进行加减运算．解：原式．总结提升：本题考查开方运算，乘方运算，去绝对值．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．易错点2：数形结合出错（错因刨析）对称轴上线段的读取发生错误，从而让运算出错17．（2022秋·内蒙古呼和浩特·八年级校联考阶段练习）如图，在数轴上，两点表示的数分别为1，，，则点所表示的数为（

）A． B． C． D．思路引领：先求出，再根据数轴上两点距离公式进行求解即可．解：∵在数轴上，两点表示的数分别为1，，，∴，又∵点C在点A的左边，∴点C表示的数为，故选B．总结提升：本题主要考查了实数与数轴，实数的混合计算，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．18．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）已知，，在数轴上的位置如图所示，计算：______．思路引领：先根据数轴上点的位置得到，据此化简绝对值即可．解；由题意得，∴，∴，故答案为：．总结提升：本题主要考查了实数与数轴，实数的性质和实数的混合计算，正确根据数轴得到是解题的关键．19．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，数轴上点到点的距离与点到点的距离相等，若点表示，点表示，则点表示的数是________．思路引领：先求出、之间的距离，然后根据到点的距离与点到点的距离相等用减、之间的距离可求得答案．解：∵点表示，点表示，∴，∵到点的距离与点到点的距离相等，∴点表示的数为：，故答案为：．总结提升：本题考查了数与数轴之间的对应关系，解决本题的关键是明确两点之间的距离公式（大减小），体现了数形结合的思想．三、拔尖角度角度1程序设计与实数运算20．（2022·八年级单元测试）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③思路引领：根据运算规则即可求解．解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．总结提升：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．21．（2019·重庆·统考中考真题）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（

）A． B． C． D．思路引领：逐项代入，寻找正确答案即可.解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3；B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1；C选项满足m≤n，则y=2m+1=3；D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1；故答案为D；总结提升：本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值.角度2新定义下的实数运算22．（2022秋·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）一个四位数（其中，b，c，且均为整数），若，且k为整数，称m为“k型数”．例如，：，则为“型数”；：，则为“型数”．(1)判断与是否为“k型数”，若是，求出k；(2)若四位数m是“型数”，是“型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“型数”，求满足条件的所有四位数m．思路引领：（1）根据“k型数”直接求解即可；（2）根据题目中的要求进行整式的加减运算，分情况讨论即可．（1）解：∵一个四位数（其中，b，c，且均为整数），若，且k为整数，称m为“k型数”，∴：，则为“型数”，即；：，由于不是整数，则不是“型数”；（2）解：设四位数，∵四位数m是“型数”，∴，则是“型数”，则十位数与个位数的差是个负数，∴，或，当时，，与矛盾，舍去，当时，，∴可取、、三个数，则，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到新四位数，也是“型数”，则，联立上述式子得：，则①当时，，解得，则四位数；②当时，，解得，则四位数；③当时，，解得，则四位数；满足条件的所有四位数m有、和．总结提升：本题是一个新定义阅读题，主要考查整式的加减，考查了学生阅读、归纳材料的能力；重点是理解题目意思，熟练掌握整式的加减23．（2022秋·重庆·七年级重庆南开中学校考期末）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数，若的十位数字等于其个位数字的倍，则称这个自然数为“向上数”．当三位自然数为“向上数”时，交换的百位数字和十位数字后会得到一个三位自然数，规定，例如：当时，因为，所以是“向上数”；此时，则．(1)写出最大的“向上数”和最小的“向上数”，并求出它们的值；(2)已知一个三位自然数是“向上数”，的各个数位上的数字和记为，若能被7整除，求所有满足条件的三位自然数．思路引领：（1）百位上的最大数为，最小数为，十位数字等于其个位数字的倍，即可求得十位数字为偶数，且到最大的偶数为，最小的偶数为，据此即可求得最大的向上数和最小的向上数及的值（2）根据题意设，求得，由c的取值进行分类讨论即可求得t的所有取值（1）根据题意：百位上的最大数为，最小数为，十位数字等于其个位数字的倍，即可求得十位数字为偶数，且到最大的偶数为，最小的偶数为，∴最大的向上数，此时，，∴最小的向上数，此时，，（2）根据题意设：（a、b、c为到的自然数）且，∴，∴，∵，∴c的取值只能为，，，；∵能被7整除，即能被7整除，∴当时，，，，当时，，，，当时，，，，，或，，，当时，，，，∴所有满足条件的三位自然数为：、、、、总结提升：本题考查新定义下的实数运算和列代数式，解题的关键是抓住“向上数”的特征角度3与实数应用相关的规律题24．（2022秋·广东茂名·七年级校考期中）观察下面由“※”组成的图案和算式，并解答问题：，，，．(1)试猜想()=；(2)试猜想()(用含n的代数式表示结果）；(3)按上述规律计算的值．思路引领：（1）（2）通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首项加尾项的一半的平方，根据此规律列式计算可得答案；（3）根据上述所发现的规律，的值等于减去．（1）；故答案为，（2）；故答案为（3）＝（）（）＝总结提升：本题考查有理数求和的有关规律，关键是仔细观察题干，总结出共性规律．25．（2021秋·贵州六盘水·七年级统考期末）已知整数，，，…满足，，，，…以此类推．(1)①根据已知条件，计算出__________，__________；②计算的值；(2)当n为偶数时，求的值（用含n的代数式表示）．思路引领：（1）①分别求出a2=1，a3=-1，a4=2，a5=-2，a6=3，a7=-3，…，由此发现规律：a2+a3=0，a4+a5=0…，即可求解；②由①的规律可求解；（2）当n为偶数时，a1+a2+a3+a4+…+an-1=0，再由an=，即可求解．(1)解：①∵a1=0，∴a2=-|a1|+1=1，a3=a2-2=1-2=-1，a4=-|a3|+3=-1+3=2，a5=a4-4=2-4=-2，a6=-|a5|+5=-2+5=3，a7=a6-6=3-6=-3，…a10=5，a11=-5，故答案为：5，-5；②∵a2+a3=0，a4+a5=0，…∴a1+a2+a3+a4+…+a2021=0．(2)当n为偶数时，a1+a2+a3+a4+…+an-1=0，∴a1+a2+a3+a4+…+an=．总结提升：本题考查与实数运算相关的规律，通过所给式子，推断出数的规律，并由规律进行运算是解题的关键．角度4实数运算的应用26．（2019秋·福建泉州·八年级福建省永春第一中学校考阶段练习）一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52﹣32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1个智慧数是_____第2019个“智慧数”是_____．思路引领：如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），因为mn是非0的自然数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差．设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），又∵mn是非0的自然数，∴m+n和m﹣n就是两个自然数，要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差．（k+1）2﹣k2＝2k+1，（k+1）2﹣（k﹣1）2＝4k，每个大于1的奇数与每个大于4且是4的倍数的数都是智慧数，而被4除余数为2的偶数都不是智慧数，最小智慧数为3，从5开始，智慧数是5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20…即2个奇数，1个4的倍数，3个一组依次排列下去．显然1不是“智慧数”，而大于1的奇数2k+1＝（k+1）2﹣k2，都是“智慧数”．因为：4k＝（k+1）2﹣（k﹣1）2，所以大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”，由于x2﹣y2＝（x+y）×（x﹣y）（其中x、y∈N），当x，y奇偶性相同时，（x+y）×（x﹣y）被4整除．当x，y奇偶性相异时，（x+y）*（x﹣y）为奇数，所以形如4k+2的数不是“智慧数”在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”．此后每连续四个数中有三个“智慧数”．由于2019-1＝