勾股定理7大模型专项训练(35题)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(原卷版+解析)

勾股定理7大模型专项训练（35题）一．模型1：直角三角形中的锐角平分线模型（共5小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，则点D到AB边的距离为（）A．1 B． C．2 D．33．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（）A．7 B．8 C．4 D．44．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿过点A的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能求出BD的长吗？请写出求解过程．5．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（）°（点A，B，P是网格交点）．A．30 B．45 C．60 D．75二．模型2：风吹荷花模型（共4小题）6．一根新生的芦苇高出水面1尺，一阵风吹过，芦苇被吹倒一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为5尺，则水池的深度和芦苇的长度各是尺．7．有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（）A．1m B．2m C．3m D．m9．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．三．模型3：等边三角形中的378和578模型（共5小题）10．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．11．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝7，BC＝8，则△ABC的面积是．12．若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为cm2．13．当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是．14．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（）A．90° B．150° C．135° D．120°四．模型4：大树折断模型（共3小题）15．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？16．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．17．如图所示，一棵36m高的树被风刮断，树顶落在离树根24m处，求折断处的高度AB．五．模型5：赵爽弦图（共6小题）18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7 D．719．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是．20．公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周牌算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（）A．1 B．3 C．4 D．921．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝107，大正方形的面积为57，则小正方形的边长为．22．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度．23．如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．六．模型6：折叠模型（共7小题）24．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折叠△ABC使点A与点B重合，DE为折痕，求DE的长．25．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．无法确定26．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．627．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2．28．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求DE的长．29．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求AC和EB′的长．30．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为．七．模型7：蚂蚁行程模型（共5小题）31．长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上与点C的距离为5，如图，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离是（）A． B． C．25 D．32．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．33．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm34．如图，有一个圆柱形仓库，它的高为10m，底面半径为4m，在圆柱形仓库下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是50cm/min，那么蚂蚁吃到食物最少需要min．（π取3）35．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为．勾股定理7大模型专项训练（35题）一．模型1：直角三角形中的锐角平分线模型（共5小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝3．【分析】设EB′＝x，根据勾股定理求出AC的长，根据翻折变换的性质用x表示出EC、EB′、CB′，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设EB′＝x，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，由折叠的性质可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，则CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴EB′＝3．故答案为：3．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，则点D到AB边的距离为（）A．1 B． C．2 D．3【分析】作DE⊥AB于E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，故选：D．3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（）A．7 B．8 C．4 D．4【分析】根据勾股定理求出DE，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠CAD＝∠ADE，得出AE＝DE＝5，进而求出AC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4，由勾股定理得：DE＝＝＝5，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE＝5，∴AC＝AE+EC＝8，∴AD＝＝＝4，故选：D．4．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿过点A的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能求出BD的长吗？请写出求解过程．【分析】由勾股定理的逆定理可得∠C＝90°，由折叠可得CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90°，再根据勾股定理可求BD的长．【解答】解：能∵BC2+AC2＝225，AB2＝225∴AB2＝BC2+AC2．∴∠C＝90°∵折叠∴CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90°∴BE＝AB﹣AE＝6cm在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2．∴BD2＝（12﹣BD）2+36∴BD＝5．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（）°（点A，B，P是网格交点）．A．30 B．45 C．60 D．75【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故选：B．二．模型2：风吹荷花模型（共4小题）6．一根新生的芦苇高出水面1尺，一阵风吹过，芦苇被吹倒一边，顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为5尺，则水池的深度和芦苇的长度各是12，13尺．【分析】仔细分析题意得出：此题中水深、芦苇长及芦苇移动的水平距离构成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：若高水池深度为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12尺，即水池深度为12尺，则芦苇长度为13尺．7．有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？【分析】关键是水深、荷花径移动的水平距离及荷花径的长度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：设水深x尺，那么荷花径的长为（x+1）尺，由勾股定理得：x2+32＝（x+1）2．解得：x＝4．答：水池的水深有4尺．8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（）A．1m B．2m C．3m D．m【分析】由图可看出，三角形OAB为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求另两边．【解答】解：在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1m，则OA＝m．故选：D．9．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，故x2＝42+（x﹣1）2，解得：x＝8.5，答：绳索AD的长度是8.5m．三．模型3：等边三角形中的378和578模型（共5小题）10．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．【分析】作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程求出CD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，解得，CD＝1，则BC边上的高AD＝＝4．11．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝7，BC＝8，则△ABC的面积是．【分析】作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝8﹣x，由勾股定理有AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即9﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，解得x＝．由勾股定理可求AD＝，最后根据求得△ABC的面积．【解答】解：如图所示，作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝8﹣x，在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，根据勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即9﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，解得：x＝．则AD＝＝＝，故△ABC的面积为＝＝．故答案为：．12．若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为8或12cm2．【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为6cm时，底边长＝16﹣6﹣6＝4cm，6，6，4能构成三角形，其他两边长为6cm，4cm，∴等腰三角形的底边上的高为（cm），∴该等腰三角形的面积为（cm2）；当底为6cm时，三角形的腰＝（16﹣6）÷2＝5cm，6，5，5能构成三角形，其他两边长为5cm，5cm，∴等腰三角形的底边上的高为（cm），∴该等腰三角形的面积为（cm2）；故答案为：8或12．13．当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是16．【分析】根据海伦公式分别求出两个三角形的面积，再相加即可．【解答】解：当三角形的边长为：3，7，8时，P＝，∴S＝＝＝；当三角形的边长为：5，7，8时，P＝，∴S＝＝＝，则两个三角形的面积之和为：．故答案为：．14．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（）A．90° B．150° C．135° D．120°【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，由勾股定理得72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，则∠C＝60°，然后由三角形内角和定理即可求解．【解答】解：如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，故选：D．四．模型4：大树折断模型（共3小题）15．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由旗杆高度＝AB+BC即可解答．【解答】解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，∴BC＝＝＝10m，∴旗杆的高＝AB+BC＝2.8+10＝12.8m．答：这根旗杆被吹断裂前至少有12.8米高．16．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处与根部的距离CB是x米，则斜边为（8﹣x）米．利用勾股定理解题即可．【解答】解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．17．如图所示，一棵36m高的树被风刮断，树顶落在离树根24m处，求折断处的高度AB．【分析】根据题意构造直角三角形，设AB＝x米，则AC＝（36﹣x）米，BC＝24米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由勾股定理得：x2+242＝（36﹣x）2，解得：x＝10；答：折断处的高度AB是10m．五．模型5：赵爽弦图（共6小题）18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7 D．7【分析】12和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长7，即可利用勾股定理得出EF的值．【解答】解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝12﹣5＝7，∴EF＝；故选：C．19．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是38．【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+2.52，∵△BCD的周长是15，∴x+2y+2.5＝15则x＝6.5，y＝3．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×9.5＝38．故答案是：38．20．公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周牌算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（）A．1 B．3 C．4 D．9【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：如图，∵勾a＝3，弦c＝5，∴股b＝＝4，∴小正方形的边长＝4﹣3＝1，∴小正方形的面积＝12＝1，故选：A．21．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝107，大正方形的面积为57，则小正方形的边长为．【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝107，大正方形的面积为57，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵（a+b）2＝107，∴a2+2ab+b2＝107，∵大正方形的面积为57，∴2ab＝107﹣57＝50，∴小正方形的面积为57﹣50＝7，故小正方形的边长为．故答案为：．22．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度．【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）先由勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积求CD的长即可．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：（b﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理，得：AB＝＝5∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD∴CD＝．23．如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．【分析】由题意可得：S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，再根据S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，∴（a+b）2＝c2+4××ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．六．模型6：折叠模型（共7小题）24．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折叠△ABC使点A与点B重合，DE为折痕，求DE的长．【分析】由翻折可知AE＝EB，设AE＝EB＝x，在RT△ECB中利用勾股定理求出x，再在RT△AED中即可求出ED．【解答】解：∵△DEB是由△DEA翻折，∴AE＝EB，AD＝DB，设AE＝EB＝x，∵AC＝8，BC＝6，∴EC＝8﹣x，在RT△EBC中，EB2＝EC2+BC2，∴x2＝（8﹣x）2+62，∴x＝，∵∠C＝90°，∴AB＝＝10，∴AD＝DB＝5，在RT△AED中，∵ED＝，∴ED＝＝．25．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．无法确定【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD＝BD＝8﹣x，在△ACD中，∠C＝90°，∴AD2＝AC2+CD2，∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x＝，即CD的长为cm．故选：C．26．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，设DE＝x，则AE＝8﹣x，∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，∴∠ABE＝∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE的长为5．故选：C．27．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为AA．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2．【分析】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知：AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选A．28．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求DE的长．【分析】由题意可求AB＝10，根据折叠的性质可求AD＝BD，AE＝5，根据勾股定理可求AD的长，再勾股定理可求DE的长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10∵折叠∴AE＝BE＝5，AD＝BD在Rt△ACD中，AC2+CD2＝AD2．∴36+（8﹣AD）2＝AD2．∴AD＝在Rt△ADE中，DE＝＝29．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求AC和EB′的长．【分析】设EB′＝x，根据勾股定理求出AC的长，根据翻折变换的性质用x表示出EC、EB′、CB′，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设EB′＝x，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，由折叠的性质可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6，则CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x，由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴EB′＝3．30．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为5cm．【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，∵矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF＝D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5（cm）．故答案为：5cm七．模型7：蚂蚁行程模型（共5小题）31．长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上与点C的距离为5，如图，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离是（）A． B． C．25 D．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝＝＝25；只要把长方体的右侧表面剪开与上