专题02二次根式(精讲精练)(原卷版+解析)

第02讲二次根式了解二次根式的概念，借助现实情境了解代数式了解二次根式乘除运算法则，会进行简单的运算了解最简二次根式的概念了解二次根式的加减运算法则，会进行有关的简单运算★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

TOC\o"1-1"\h\u考点1：二次根式有意义的条件 3考点2：最简二次根式 9考点3：二次根式的性质 15考点4：二次根式的运算 22课堂总结：思维导图 31分层训练：课堂知识巩固 32

考点1：二次根式有意义的条件（1）二次根式的概念：形如eq\r(a)(a≥0)的式子.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.｛二次根式的概念★｝下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．｛二次根式有意义的条件★｝在函数中，自变量的取值范围是A． B．且 C．且 D．且｛二次根式有意义的条件★★｝若实数，满足，则的值是A．1 B． C．4 D．6｛二次根式有意义的条件★★｝已知，则的值为A．6 B． C．4 D．｛二次根式有意义的条件★★｝使等式成立的条件时．｛二次根式的概念★｝在式子，，，，和中，是二次根式的有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个｛二次根式有意义的条件★｝如果是二次根式，那么应满足的条件是A． B． C． D．｛二次根式有意义的条件★｝若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是A．B．C． D．｛二次根式有意义的条件★★｝成立的条件是A． B． C． D．｛二次根式有意义的条件★★｝已知实数满足，那么的值是．（2021•内江）函数中，自变量的取值范围是A． B．且 C． D．且（2021•日照）若分式有意义，则实数的取值范围为．（2021•营口）若代数式有意义，则的取值范围是．考点2：最简二次根式最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式｛最简二次根式★｝（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是A． B． C． D．｛最简二次根式★｝化简成最简二次根式：；．｛最简二次根式★★｝二次根式、均为正数）化成最简二次根式，结果为．｛最简二次根式★★｝将式子化为最简二次根式．｛最简二次根式★｝下列根式中，不是最简二次根式的是A． B． C． D．｛最简二次根式★｝若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是．｛最简二次根式★★｝化简：化成最简二次根式为．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是A． B． C． D．（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是A． B． C． D．（2020•西宁）下列二次根式中，最简二次根式的是A． B． C． D．考点3：二次根式的性质（1）双重非负性：①被开方数是非负数，即a≥0；②二次根式的值是非负数，即≥0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.(2)两个重要性质：①(eq\r(a))2＝a(a≥0)；②eq\r(a2)＝|a|＝；(3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)；(4)商的算术平方根：(a≥0，b＞0)．｛最简二次根式★★｝已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是A． B． C．1 D．｛最简二次根式★★｝三边分别为、、，为斜边，则代数式的化简结果为．｛最简二次根式★★｝（2020秋•雁江区期末）已知，化简．｛二次根式的性质★★｝化简的结果为A． B． C． D．｛二次根式的性质★★★｝（2021秋•浦东新区校级月考）设，其中为正整数，，则．｛二次根式的性质★｝若，则的取值范围是A． B． C． D．｛二次根式的性质★｝当时，化简结果是A． B．3 C． D．5｛二次根式的性质★★｝如图，字母的取值如图所示，化简：．｛二次根式的性质★★★｝（2018•凉山州）当时，则．（2021•娄底）2、5、是某三角形三边的长，则等于A． B． C．10 D．4（2021•荆门）下列运算正确的是A．B．C． D．（2020•呼伦贝尔）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是A． B． C．1 D．考点4：二次根式的运算二次根式的加减法：先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．二次根式的乘除法：（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；（2）除法：=(a≥0，b＞0)．二次根式的混合运算：运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．｛二次根式的乘除★｝．｛二次根式的乘除★｝计算的结果正确的是A．1 B．2.5 C．5 D．6｛同类二次根式★｝最简二次根式与是同类二次根式，则的值是．｛同类二次根式★｝若二次根式与是同类二次根式，则．｛二次根式的加减★｝若最简二次根式与可以合并，则的值为A．2019 B． C．2023 D．｛二次根式的加减★｝计算：．｛二次根式的加减★｝计算：．｛分母有理化★｝（德州·中考真题）化简的结果是．｛分母有理化★｝化简结果正确的是A． B． C． D．｛二次根式的应用★｝古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为A．14 B．20 C． D．｛二次根式的乘除★｝（聊城·中考真题）计算：．｛二次根式的乘除★｝（2021•铜仁市）计算．｛二次根式的乘除★｝（2019•菏泽）已知，那么的值是．｛同类二次根式★｝（2021秋•宝山区月考）已知最简二次根式和是同类二次根式，则．｛同类二次根式★｝（2021春•饶平县校级月考）如果最简二次根式和是同类二次根式，则．｛二次根式的加减★｝（2021秋•洛宁县月考）如图，从一个大正方形中可以裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的周长为．｛分母有理化★｝（2021秋•普陀区校级月考）分母有理化：．｛二次根式应用★★｝我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为．｛二次根式应用★★｝（2016•厦门）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先将看出：由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值时，近似公式中的是，是．（2021•绵阳）计算的结果是A．6 B． C． D．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是A．与 B．与 C．与 D．与（2021•重庆）计算的结果是A．7 B． C． D．（2021•包头）若，则代数式的值为A．7 B．4 C．3 D．（2019•宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为A． B． C．18 D．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是A．1 B．2 C． D．2．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为A． B． C． D．3．下列运算正确的是A． B． C． D．4．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是A． B． C． D．5．下列二次根式中，最简二次根式是A． B． C． D．6．若二次根式有意义，则的取值范围是A． B． C． D．7．二次根式中的取值范围是A． B． C． D．8．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是A． B． C． D．9．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是A． B． C． D．10．二次根式有意义，则满足的条件是A． B． C． D．11．当时，化简结果是A． B．3 C． D．512．若是整数，则正整数的最小值是A．4 B．5 C．6 D．713．已知，则化简后为A． B． C． D．14．若，则的取值范围是A． B． C． D．15．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为A．78 B． C． D．16．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为．A． B． C． D．17．使二次根式有意义的的取值范围是A． B． C． D．18．计算：．19．已知，．则（1）．（2）．20．已知2、5、是某三角形三边的长，则．21．若分式有意义，则的取值范围是．22．在中，的取值范围为．23．要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是．24．计算的结果是．25．在式子中，的取值范围是．26．已知，是实数，且满足，则的值是．1．下列运算正确的是A． B． C． D．2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是A．1 B．2 C．3 D．43．把化成最简二次根式，正确的是A． B． C． D．4．要使有意义，则的取值范围为A． B． C． D．5．已知，则的化简结果是A． B． C． D．6．若代数式有意义，则实数的取值范围是A． B． C．且 D．且7．下列运算正确的是A． B． C． D．8．已知非零实数，满足，则．9．计算的结果是．10．已知，，则代数式的值为．11．若，化简．12．设，，则．1．若，，则的值为A． B． C． D．2．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为A． B． C． D．3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是A． B． C． D．4．已知，则A．3 B． C． D．5．使函数有意义的所有整数的和是A． B． C．0 D．16．把化成最简二次根式，正确的是A． B． C． D．7．设，，则与的关系为A． B． C． D．8．已知，则的值为A．6 B． C．4 D．9．化简．10．若，，则．11．已知，则．第02讲二次根式了解二次根式的概念，借助现实情境了解代数式了解二次根式乘除运算法则，会进行简单的运算了解最简二次根式的概念了解二次根式的加减运算法则，会进行有关的简单运算★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

TOC\o"1-1"\h\u考点1：二次根式有意义的条件 3考点2：最简二次根式 9考点3：二次根式的性质 15考点4：二次根式的运算 22课堂总结：思维导图 31分层训练：课堂知识巩固 32

考点1：二次根式有意义的条件（1）二次根式的概念：形如eq\r(a)(a≥0)的式子.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.｛二次根式的概念★｝下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．【分析】根据平方根、算术平方根，二次根式以及二次根式的定义逐项进行判断即可．【解答】解：．因为没有平方根，因此选项不符合题意；表示的立方根，因此选项不符合题意；．因为，因此选项符合题意；．当时，负数没有平方根，因此选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查二次根式的定义，理解二次根式的定义是解决问题的关键．｛二次根式有意义的条件★｝在函数中，自变量的取值范围是A． B．且 C．且 D．且【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：且，解得：且，故选：．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．｛二次根式有意义的条件★★｝若实数，满足，则的值是A．1 B． C．4 D．6【分析】根据二次根式有意义的条件，求出，代入关系式中求出，从而得到的值．【解答】解：，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．｛二次根式有意义的条件★★｝已知，则的值为A．6 B． C．4 D．【分析】根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：，而，，，解得，，解得，．故选：．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．｛二次根式有意义的条件★★｝使等式成立的条件时﹣3≤x＜2．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件解决此题．【解答】解：由题意得：x+3≥0且2﹣x＞0．∴x≥﹣3且x＜2．∴﹣3≤x＜2．故答案为：﹣3≤x＜2．【点评】本题主要考查二次根式有意义条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解决本题的关键．｛二次根式的概念★｝在式子，，，，和中，是二次根式的有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式进行分析即可．【解答】解：式子，，，是二次根式，共4个，故选：．【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．｛二次根式有意义的条件★｝如果是二次根式，那么应满足的条件是A． B． C． D．【分析】根据二次根式有意义的条件可知，解出的范围即可．【解答】解：由题意可知：，．故选：．【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．｛二次根式有意义的条件★｝若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是A．B．C． D．【分析】根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，再解即可．【解答】解：由题意得：，解得：，在数轴上表示为：，故选：．【点评】此题主要考查了二次根式有意义和分式的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．｛二次根式有意义的条件★★｝成立的条件是A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式有意义的条件、二次根式的乘法运算法则得出关于的不等式组，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：，解得：．故选：．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘法运算，正确掌握二次根式乘法运算法则是解题关键．｛二次根式有意义的条件★★｝已知实数满足，那么的值是2022．【分析】根据二次根式有意义的条件得出，根据绝对值的性质把原式变形，代入计算即可．【解答】解：由题意得：，解得：，则，整理得：，，，原式，故答案为：2022．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．（2021•内江）函数中，自变量的取值范围是A． B．且 C． D．且【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0计算即可．【解答】解：由题意得：，，解得：且，故选：．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．（2021•日照）若分式有意义，则实数的取值范围为．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再得出答案即可．【解答】解：要使分式有意义，必须且，解得：且，故答案为：且．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据题意得出且是解此题的关键．（2021•营口）若代数式有意义，则的取值范围是．【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．考点2：最简二次根式最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式｛最简二次根式★｝（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是A． B． C． D．【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，分母中不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．【解答】解：，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；，是最简二次根式．故选：．【点评】此题考查的是最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．｛最简二次根式★｝化简成最简二次根式：；．【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可．【解答】解：（1）原式，故答案为：；（2）原式．故答案为：．【点评】此题考查的是二次根式，掌握其性质概念是解决此题关键．｛最简二次根式★★｝二次根式、均为正数）化成最简二次根式，结果为．【分析】根据计算即可．【解答】解：，，，故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键．｛最简二次根式★★｝将式子化为最简二次根式．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，，原式故答案为：【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．｛最简二次根式★｝下列根式中，不是最简二次根式的是A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可．【解答】解：、是最简二次根式，故本选项不符合题意；、是最简二次根式，故本选项不符合题意；、不是最简二次根式，故本选项符合题意；、是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．｛最简二次根式★｝若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是．【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．【解答】解：二次根式是最简二次根式，，，，取整数值，当时，二次根式为，不是最简二次根式，不合题意；当时，二次根式为，是最简二次根式，符合题意；若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是．故答案为：．【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．｛最简二次根式★★｝化简：化成最简二次根式为．【分析】根据二次根式的性质，可得答案．【解答】解：由题意，，故答案为：．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是A． B． C． D．【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【解答】解：、是最简二次根式，符合题意；、，不是最简二次根式，不符合题意；、，不是最简二次根式，不符合题意；、，不是最简二次根式，不符合题意．故选：．【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．（2020•西宁）下列二次根式中，最简二次根式的是A． B． C． D．【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【解答】解：、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，故是最简二次根式；、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；故选：．【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．考点3：二次根式的性质（1）双重非负性：①被开方数是非负数，即a≥0；②二次根式的值是非负数，即≥0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.(2)两个重要性质：①(eq\r(a))2＝a(a≥0)；②eq\r(a2)＝|a|＝；(3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)；(4)商的算术平方根：(a≥0，b＞0)．｛最简二次根式★★｝已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是A． B． C．1 D．【分析】根据数轴上点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简．【解答】解：由图知：，，，原式．故选：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键．｛最简二次根式★★｝三边分别为、、，为斜边，则代数式的化简结果为．【分析】将代数式化简为，再根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：三边分别为、、，为斜边，，．故答案为：．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，根据勾股定理和二次根式的性质进行化简是解题关键．｛最简二次根式★★｝（2020秋•雁江区期末）已知，化简．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：，，，原式，，故答案为：．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．｛二次根式的性质★★｝化简的结果为A． B． C． D．【分析】根据二次根式有意义的条件进行化简即可．【解答】解：当，时，原式．当，时，原式．故选：．【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键．｛二次根式的性质★★★｝（2021秋•浦东新区校级月考）设，其中为正整数，，则．【分析】先把化简求出的值，再根据为正整数，在0，1之间求出符合条件的的值，求出对应的的值，代入原式进行计算即可．【解答】解：．．为正整数，，，，．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值及估算无理数的大小，根据题意求出符合条件的、的值是解答此题的关键．｛二次根式的性质★｝若，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质，理解，掌握完全平方公式的结构是解题关键．｛二次根式的性质★｝当时，化简结果是A． B．3 C． D．5【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：当时，，，，故选：．【点评】本题考查二次根式的化简，理解最简二次根式的意义和二次根式的化简方法是正确解答的前提．｛二次根式的性质★★｝如图，字母的取值如图所示，化简：．【分析】先利用数轴表示数的方法得到，再利用二次根式的性质得原式，然后去绝对值后合并即可．【解答】解：由数轴得，所以原式．故答案为4．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类的关键．也考查了数轴．｛二次根式的性质★★★｝（2018•凉山州）当时，则．【分析】根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：，，，原式，故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．（2021•娄底）2、5、是某三角形三边的长，则等于A． B． C．10 D．4【分析】直接利用三角形三边关系得出的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：、5、是某三角形三边的长，，故，．故选：．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．（2021•荆门）下列运算正确的是A．B．C． D．【分析】根据幂的乘方与积的乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解．【解答】解：．，错误，不满足题意．，错误，不满足题意．．，错误，不满足题意．．，正确，满足题意．故选：．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、二次根式的化简、整式的运算，解题关键是熟练掌握各种运算的方法．（2020•呼伦贝尔）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是A． B． C．1 D．【分析】根据数轴上点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简．【解答】解：由图知：，，，原式．故选：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键．考点4：二次根式的运算二次根式的加减法：先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．二次根式的乘除法：（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；（2）除法：=(a≥0，b＞0)．二次根式的混合运算：运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．｛二次根式的乘除★｝．【分析】原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．【解答】解：原式．故答案为：【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握法则是解本题的关键．｛二次根式的乘除★｝计算的结果正确的是A．1 B．2.5 C．5 D．6【分析】先化简原式，再运算即可求解．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．｛同类二次根式★｝最简二次根式与是同类二次根式，则的值是4．【分析】根据同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同列方程，解出即可．【解答】最简二次根式与是同类二次根式，，解得；故答案为：4．【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，根据定义列方程是解题关键．｛同类二次根式★｝若二次根式与是同类二次根式，则2或3．【分析】根据同类二次根式的定义得出，再求出方程的解即可．【解答】解：二次根式与是同类二次根式，，解得：或3，经检验或3都符合题意，故答案为：2或3．【点评】本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．｛二次根式的加减★｝若最简二次根式与可以合并，则的值为A．2019 B． C．2023 D．【分析】根据同类二次根式的意义得出，进而求出的值即可．【解答】解：最简二次根式与可以合并，即最简二次根式与是同类二次根式，，，故选：．【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，理解同类二次根式的意义是解决问题的关键．｛二次根式的加减★｝计算：．【分析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题型．｛二次根式的加减★｝计算：．【分析】先化简二次根式，然后合并同类二次根式．【解答】解：原式，故答案为：．【点评】本题考查二次根式的加减法，理解二次根式的性质正确化简各数是解题关键．｛分母有理化★｝（德州·中考真题）化简的结果是．【分析】先把分子分母都乘以，然后约分即可．【解答】解：原式．故答案为．【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．｛分母有理化★｝化简结果正确的是A． B． C． D．【分析】原式分子分母乘以有理化因式，计算即可得到结果．【解答】解：原式．故选：．【点评】此题考查了分母有理化，找出原式的有理化因式是解本题的关键．｛二次根式的应用★｝古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为A．14 B．20 C． D．【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积；【解答】解：，，．，的面积；故选：．【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算．｛二次根式的乘除★｝（聊城·中考真题）计算：12．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：．故答案为：12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．｛二次根式的乘除★｝（2021•铜仁市）计算3．【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式．故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键．｛二次根式的乘除★｝（2019•菏泽）已知，那么的值是4．【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．【解答】解：，，，，故答案为：4【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式，本题属于基础题型．｛同类二次根式★｝（2021秋•宝山区月考）已知最简二次根式和是同类二次根式，则．【分析】根据同类二次根式的概念列方程组求解．【解答】解：由题意可得，解得：，，故答案为：．【点评】本题考查同类二次根式的概念，解二元一次方程组，理解同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式是解题关键．｛同类二次根式★｝（2021春•饶平县校级月考）如果最简二次根式和是同类二次根式，则0．【分析】根据题意，它们的被开方数相同，根指数为2，列出方程求解．【解答】解：最简二次根式和是同类二次根式，且，解得，，．故答案为：0．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义．解题的关键是掌握同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．｛二次根式的加减★｝（2021秋•洛宁县月考）如图，从一个大正方形中可以裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的周长为．【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到阴影部分的周长．【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则两个小正方形的边长分别是，．阴影部分的周长为．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题的关键．｛分母有理化★｝（2021秋•普陀区校级月考）分母有理化：．【分析】根据平方差公式进行二次根式的分母有理化计算．【解答】解：原式，故答案为：．【点评】本题考查二次根式分母有理化计算，掌握平方差公式的结构是解题关键．｛二次根式应用★★｝我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为．【分析】把，代入得到，然后求出的取值范围，再代入公式得到的表达式，利用配方法求最值即可．【解答】解：，，，，，不妨设，则，解得：，，，，，，，当时，有最大值，最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了配方法的应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．｛二次根式应用★★｝（2016•厦门）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先将看出：由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值时，近似公式中的是，是．【分析】利用得到的值，利用题中再套用近似公式，因为，从而得到答案．【解答】解：看作，由近似值公式得到，所以时，；故答案为，．【点评】本题考查了二次根式的应用：利用类比的方法解决问题．（2021•绵阳）计算的结果是A．6 B． C． D．【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是A．与 B．与 C．与 D．与【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．【解答】解：、和不是同类二次根式，本选项不合题意；、与不是同类二次根式，本选项不合题意；、与不是同类二次根式，本选项不合题意；、，是同类二次根式，本选项符合题意．故选：．【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．（2021•重庆）计算的结果是A．7 B． C． D．【分析】根据二次根式的乘法法则和减法法则运算．【解答】解：原式．故选：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．（2021•包头）若，则代数式的值为A．7 B．4 C．3 D．【分析】利用条件得到，两边平方得，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：，，，即，，．故选：．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．（2019•宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为A． B． C．18 D．【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积；【解答】解：，，．，的面积；故选：．【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是A．1 B．2 C． D．【分析】根据数轴得：，得到，，根据和绝对值的性质化简即可．【解答】解：根据数轴得：，，，原式．故选：．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键．2．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为A． B． C． D．【分析】把，代入公式，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：，故选：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．3．下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】利用二次根式的加法的法则，整式的除法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；故选：．【点评】本题主要考查二次根式的加法，幂的乘方，整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：，，故选：．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．5．下列二次根式中，最简二次根式是A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽的因数或因式，被开方数中不含分母，判定即可．【解答】解：、，所以不是最简二次根式，故不符合题意；、是最简二次根式，故符合题意；、，所以不是最简二次根式，故不符合题意；、，所以不是最简二次根式，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．6．若二次根式有意义，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：，，故选：．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．7．二次根式中的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得：，解得：，故选：．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．8．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据进行计算即可．【解答】解：由题意得：，，故选：．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键．9．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是A． B． C． D．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．【解答】解：由题意得：，，故选：．【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，实数与数轴，准确熟练地化简各式是解题的关键．10．二次根式有意义，则满足的条件是A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．【解答】解：根据题意得：，解得，．故选：．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．11．当时，化简结果是A． B．3 C． D．5【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：当时，，，，故选：．【点评】本题考查二次根式的化简，理解最简二次根式的意义和二次根式的化简方法是正确解答的前提．12．若是整数，则正整数的最小值是A．4 B．5 C．6 D．7【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出的最小值．【解答】解：是整数，正整数的最小值是：7．故选：．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握相关定义是解题关键．13．已知，则化简后为A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：，，，原式，，故选：．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．14．若，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据二次根式的非负性，即可得到的取值范围．【解答】解：，，故选：．【点评】本题主要考查了二次根式的性质，利用二次根式的非负性是解决问题的关键．15．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为A．78 B． C． D．【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，大正方形的边长是，留下部分（即阴影部分）的面积是．故选：．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．16．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为．A． B． C． D．【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和，它们的边长分别为，，，，空白部分的面积，，．故选：．【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．17．使二次根式有意义的的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解得．故选：．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．18．计算：．【分析】先算除法，去绝对值，再合并即可．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．19．已知，．则（1）14．（2）．【分析】（1）先分母有理化求出，再去吃和的值，根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可；（2）把，代入，即可求出答案．【解答】解：（1），，，，，故答案为：14；（2）由（1）知：，，所以，故答案为：11．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化和完全平方公式等知识点，能求出和的值是解此题的关键，注意：．20．已知2、5、是某三角形三边的长，则4．【分析】根据二次根式的性质以及三角形的三边关系即可求出答案．【解答】解：由三角形的三边关系可知：，，，原式，故答案为：4．【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确得出的范围以及运用二次根式的性质进行化简，本题属于基础题型．21．若分式有意义，则的取值范围是且．【分析】根据分式和二次根式有意义的条件即可得出答案．【解答】解：，，且．故答案为：且．【点评】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．22．在中，的取值范围为．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式的被开方数是非负数，故，解不等式即可求得的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．要使得本题式子有意义，必须满足分母不等于0．23．要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是且．【分析】根据分式有意义可得，根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．【解答】解：由题意得：，且，解得：且，故答案为：且．【点评】此题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．24．计算的结果是1．【分析】按从左往右依次计算，也可以把除法化为乘法计算．【解答】解：原式．故答案为：1．【点评】本题考查了二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除法法则和运算顺序是解决本题的关键．25．在式子中，的取值范围是．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，，解得，，故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．26．已知，是实数，且满足，则的值是．【分析】根据负数没有平方根求出的值，进而求出的值，代入计算即可求出值．【解答】解：，，，，，则原式，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1．下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】根据二次根式的除法判断选项；根据分式的基本性质判断选项；根据负整数指数幂判断选项；根据完全平方公式判断选项．【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意；选项，为最简分式，不能约分，故该选项不符合题意；选项，，故该选项符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，分式的基本性质，负整数指数幂，完全平方公式，掌握是解题的关键．2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据同类项二次根式的定义可得，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：，解得：，故选：．【点评】本题考查了最简二次根式，同类项二次根式，熟练掌握同类项二次根式的定义是解题的关键．3．把化成最简二次根式，正确的是A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质，可得答案．【解答】解：得，，故选：．【点评】本题考查了最简二次根式．掌握二次根式的性质与化简，能够正确利用二次根式的性质是解题的关键．4．要使有意义，则的取值范围为A． B． C． D．【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数，此外还需考虑分母不为零．【解答】解：要使有意义，则，的取值范围为．故选：．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．5．已知，则的化简结果是A． B． C． D．【分析】先判断字母的范围，再化简．【解答】解：由题意得：，，，．原式．故选：．【点评】本题考查二次根式的化简，保证每个二次根式有意义是求解本题的关键．6．若代数式有意义，则实数的取值范围是A． B． C．且 D．且【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．【解答】解：，，且．故选：．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．7．下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】分别根据二次根式的性质，