第2章特殊三角形全章复习与测试

第2章特殊三角形全章复习与测试【知识梳理】一．轴对称图形常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．三.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.四.等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．五.等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．六.等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．七、命题与逆命题，定理与逆定理在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.八、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.九、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.十、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.十一、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.十二、勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.十三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.十四、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.十五、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；十六、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.十七、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【考点剖析】一．命题与定理（共3小题）1．（2022秋•宁波期末）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（）A．∠1＝91°，∠2＝50° B．∠1＝89°，∠2＝1° C．∠1＝120°，∠2＝40° D．∠1＝102°，∠2＝2°【分析】分别计算出各选项角的度数，进而可得出结论．【解答】解：A、91°﹣50°＝41°是锐角，不符合题意；B、89°与1°是两个锐角，不符合题意；C、120°﹣40°＝80°是锐角，不符合题意；D、102°﹣2°＝100°是钝角，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是命题与定理，熟知锐角及钝角的定义是解题的关键．2．（2023春•武汉期中）下列命题为真命题的有（）①内错角相等；②无理数都是无限小数：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据无限小数的定义、平行线的性质和判定判断即可．【解答】解：①两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；②无理数都是无限小数，是真命题：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解无限小数的定义、平行线的性质和判定等知识，难度不大．3．（2022秋•青田县期末）下列语句中，不是命题的是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．作角A的平分线 D．内错角相等【分析】找到不是判断一件事情的语句的选项即可．【解答】解：A、两点确定一条直线，是命题，不符合题意；B、垂线段最短，是命题，不符合题意；C、没有做出任何判断，不是命题，符合题意；D、内错角相等，是命题，不符合题意；故选：C．【点评】考查了命题与定理的知识，主要考查命题的定义是判断一件事情的语句．二．轴对称图形（共2小题）4．（2022秋•婺城区期末）下列四个数字图形，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形解答．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．5．（2022秋•襄州区期末）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，B、C、D选项中的图形都不是轴对称图形．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．三．轴对称的性质（共3小题）6．（2022秋•恩施市期中）如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．【解答】解：如图：共3个，故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形，根据题意作出图形是解答此题的关键．7．（2022秋•桐乡市期中）在△ABC中，∠B＝40°，D为边BC上一点，将三角形沿AD折叠，使AC落在边AB上，点C与点E重合，若△BDE为直角三角形，则∠C的度数为90°或130°．【分析】分两种情形：∠BED＝90°或∠BDE＝90°，分别求解即可．【解答】解：当∠BED＝90°时，∠C＝∠AED＝90°．当∠BDE＝90°时，∠C＝∠AED＝∠B+∠BDE＝130°．综上所述，∠C的度数为90°或130°．故答案为：90°或130°．【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（2022秋•永嘉县校级月考）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝35°．【分析】直接利用轴对称的性质得出∠C＝∠F，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°，∵△ABC与△DEF关于直线l对称，∴∠C＝∠F＝35°，故答案为：35°．【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确得出对应角相等是解题关键．四．作图轴对称变换（共2小题）9．（2022秋•慈溪市期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0）、B（﹣1，0）、C（﹣6，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；（2）写出A'，C'的坐标；（3）求出△AA'C的面积．【分析】（1）先确定点A、B、C三点关于y轴的对称点A'，B'，C'的坐标，再将顺次连接，即可；（2）由（1）写出A'，C'的坐标，即可；（3）根据三角形的面积公式计算，即可作答．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．（2）A'（4，0），C'（6，3）（3）．【点评】本题考查了直角坐标系中求解坐标关于y轴对称的对称点坐标以求三角形面积的知识，掌握关于y轴对称的两个点的坐标，其纵坐标相等，横坐标互为相反数是解答本题的关键．10．（2023春•建安区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）△ABC的面积＝4×5﹣×1×4﹣×1×4﹣×3×5＝8.5．【点评】本题考查作图＝轴对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．五．轴对称最短路线问题（共4小题）11．（2021秋•莲都区期末）如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）m C．1000m D．（300+100）m【分析】将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．【解答】解：作A点关于直线CD的对称点A′，连接BA′交河岸与P，则PB+PA＝PB+PA′＝BA′最短，故牧童应将马赶到河边的P地点．作DB′＝CA′，且DB′⊥CD，∵DB′＝CA′，DB′⊥CD，BB′∥A′A，∴四边形A′B′DC是矩形，∴B'A'＝CD＝500m，DB′＝A′C＝AC＝300m，在Rt△BB′A′中，连接A′B′，则BB′＝BD+DB′＝500+300＝800m，BA′＝＝＝1000（m）．故选：C．【点评】此题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用．12．（2022秋•北仑区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为．【分析】作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP＝B′P，证明△ABC≌△AB′C，根据S△ABB′＝S△ABC+S△AB′C＝2S△ABC，即可求出PB+PD的最小值．【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB′，根据对称性的性质，BP＝B′P，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′，BC＝B′C，∴△ABC≌△AB′C（SAS），∴S△ABB′＝S△ABC+S△AB′C＝2S△ABC，即AB•B′D＝2×BC•AC，∴5B′D＝24，∴B′D＝．故答案为：．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．13．（2022秋•乐清市期中）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连结PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP+DP的最小值为15．【分析】作A点关于BC的对称点A'，连接A'D交BC于点P，过A点作AM⊥CD交于点M，此时AP+PD的值最小，在Rt△A'DM中，A'D＝＝15，则A'D即为所求．【解答】解：作A点关于BC的对称点A'，连接A'D交BC于点P，过A点作AM⊥CD交于点M，∵AP＝A'P，∴AP+PD＝A'P+PD＝AD，此时AP+PD的值最小，∵AB＝5，DC＝4，BC＝12，∴AM＝12，DM＝5+4＝9，在Rt△A'DM中，A'D＝＝＝15，∴AP+PD的最小值是15，故答案为：15．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．14．（2022秋•柯桥区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为2.4．【分析】如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，过点C作CH⊥AB于点H．利用垂线段最短解决问题即可．【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H．∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，•AC•BC＝•AB•CH，∴CH＝2.4，∴CP+PQ≥2.4，∴PC+PQ的最小值为2.4．故答案为：2.4．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于AD的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．六．等腰三角形的性质（共4小题）15．（2022秋•新昌县期末）等腰三角形周长为15cm，其中一边长为3cm，则该三角形的底边长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm【分析】由于长为3cm的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．【解答】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，底边为15﹣2×3＝9cm，边长分别为3cm，3cm，9cm，不能构成三角形；（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（15﹣3）÷2＝6cm，∴边长为6cm，6cm，3cm，能构成三角形．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．16．（2022秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，若∠C＝65°，则∠BAD的度数为（）A．15° B．25° C．35° D．45°【分析】先由等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝65°，再结合题意和三角形的内角和定理得到∠BAD＝25°．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠C＝∠B＝65°，∵D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键．17．（2022秋•武义县期末）已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长．【分析】根据题意分情况讨论：①当8cm是腰长时；②当8cm时底边时．【解答】解：①当8cm是腰长时，∵另一边长为：9cm，∴三角形的三条边分别为：8cm，8cm，9cm，∵8+8＞9，∴能组成三角形，∴周长＝8+8+9＝25cm，②当8cm为底边时，三角形的三边分别为8cm，9cm，9cm，∵8+9＞9，∴能组成三角形，∴周长＝8+9+9＝26cm，综上所述，周长为25cm或者26cm．【点评】本题考查了等腰三角形的三边关系，根据题意分情况讨论是解题的关键．18．（2022秋•嵊州市期末）如图，在等腰三角形ABC中，顶角∠A＝36°，点D是腰AB上一点，作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则∠BED的度数为（）A．16° B．18° C．20° D．24°【分析】先利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠B＝∠ACB＝72°，然后再利用垂直定义可得∠BDE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠BED＝90°﹣∠B＝18°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．七．等腰三角形的判定（共2小题）19．（2005秋•建德市期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．20．（2022秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．①求证：△ADE是等腰三角形；②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．【分析】（1）关键等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B＝∠ACB＝72°，求出∠DCB，根据三角形外角性质求出即可；（2）①根据平行线求出∠EAD，根据三角形内角和定理求出∠ADE，即可得出答案；②先判断出∠BCE＝∠ACE，再判断出∠BCE＝∠E，即可得出结论．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分线∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①证明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：结论：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质的应用，主要考查学生的计算和推理能力．八．等腰三角形的判定与性质（共3小题）21．（2022秋•金华期末）如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为2．【分析】延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到AE＝AB＝4，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠AFG，得到AG＝FG，推出FG＝AE＝2．【解答】解：延长BF交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BF⊥AD，∴∠AFB＝∠AFE＝90°，∵AF＝AF，∴△ABF≌△AEF（ASA），∴AE＝AB＝4，∵FG∥AB，∴∠BAF＝∠AFG，∴∠GAF＝∠FAG，∴AG＝FG，∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，∴∠GFE＝∠GEF，∴FG＝GE，∴FG＝AE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．22．（2020秋•下城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．【分析】（1）利用平行线的性质得出∠1＝∠3，进而利用等腰三角形的性质得出AC＝AD即可；（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根据已知条件得到∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝40°，根据平行线的选择得到∠ADC+∠ACD＝180°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．23．（2022秋•滨江区校级期中）已知：如图，点D在△ABC的外部，DE过点C，BC与AD交于点O．∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．（1）求证：△ACE是等腰三角形；（2）过点A作AF⊥DE于点F，若，AE＝3，BC＝6，求线段AF的长．【分析】（1）由∠1＝∠3可得∠BAC＝∠DAE，由已知条件和三角形的内角和可得∠B＝∠D，然后即可根据ASA证明△ABC≅△ADE，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的定义即得结论；（2）根据全等三角形的性质可得，BC＝DE＝6，设EF＝x，则DF＝6﹣x，然后根据勾股定理即可得到关于x的方程，解出x，再根据勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠1＝∠2，∠AOB＝∠COD，∴∠B＝∠D，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC＝AE，∴△ACE是等腰三角形；（2）解：∵AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AFD＝90°，∵△ABC≌△ADE，∴，BC＝DE＝6，设EF＝x，则DF＝6﹣x，则在直角三角形ADF和直角三角形AEF中，AF2＝AD2﹣DF2＝AE2﹣EF2，即，解得：x＝2，即EF＝2，∴．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．九．直角三角形的性质（共2小题）24．（2022秋•嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】根据直角三角形性质：两锐角互余直接求解即可得到答案．【解答】解：∵直角三角形中两锐角互余，∴若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是90°﹣40°＝50°．故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形中两锐角互余是解决问题的关键．25．（2020秋•海曙区期末）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．一十．勾股定理（共3小题）26．（2022秋•西湖区校级期中）如图，AB＝AC＝13，BP⊥CP，BP＝8，CP＝6，则四边形ABPC的面积为（）A．48 B．60 C．36 D．72【分析】过点A作AD⊥BC于D，由勾股定理求出BC的长，再根据等腰三角形三线合一定理求出BD的长，再由勾股定理求出AD的长，最后根据四边形ABPC的面积＝S△ABC﹣S△BPC即可求解．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，在Rt△BPC中，由勾股定理得，BC＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴BD＝CD＝，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝12，∴S＝60，∵S＝24，∴四边形ABPC的面积＝S△ABC﹣S△BPC＝60﹣24＝36，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．27．（2022秋•西湖区校级期中）△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则BC＝14或4．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴CD＝9，∴BC的长为BD+DC＝5+9＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴CD＝9，∴BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．故答案为：14或4．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．28．（2022秋•平湖市期末）已知直角三角形的一直角边长为17，另两边的长为自然数，则满足条件的所有三角形的面积之和为1224．【分析】设直角三角形的斜边长为x，另一条直角边的长为y，根据勾股定理可得x2﹣y2＝172，从而可得（x+y）（x﹣y）＝289，然后分两种情况，进行计算即可解答．【解答】解：设直角三角形的斜边长为x，另一条直角边的长为y，由题意得：x2﹣y2＝172，∴（x+y）（x﹣y）＝289，∵x，y是自然数，∴x+y与x﹣y也是自然数，当289＝17×17时，∴，解得：（不成立）；当289＝1×289时，∴，∴，∴这个三角形的面积＝×144×17＝1224，∴满足条件的所有三角形的面积之和为1224，故答案为：1224．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．一十一．勾股定理的证明（共1小题）29．（2021秋•武义县校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为29．【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．【解答】解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，即得a2+b2＝42＝16，由题意4×ab+3＝16，2ab＝13，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，故答案为：29．【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．一十二．直角三角形全等的判定（共4小题）30．（2021秋•诸暨市期中）如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③（填入序号）①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF．【分析】根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD，选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择④不能定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．故答案为：①②③．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．31．（2021春•娄底期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【分析】（1）根据∠1＝∠2，得DE＝CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3＝∠4，从而得出∠4+∠5＝90°，则△CDE是直角三角形．【解答】解：（1）全等，理由是：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，在Rt△ADE和Rt△BEC中，，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；（2）是直角三角形，理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3＝∠4，∵∠3+∠5＝90°，∴∠4+∠5＝90°，∴∠DEC＝90°，∴△CDE是直角三角形．【点评】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．32．（2022秋•诸暨市期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是AB＝DC（答案不唯一）（不添加字母和辅助线）．【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AB＝DC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：∠ABC＝∠DCB，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴再添加：∠ACB＝∠DBC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．33．（2011秋•西湖区校级期中）如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由．【分析】由DA⊥AC，DB⊥BC，得到∠A和∠B都为直角，在直角三角形ACD和BCD中，由已知的边AC＝BD，再加上公共边DC，利用HL可得三角形ACD与三角形BCD全等，根据全等三角形的对应角相等，可得∠BDC＝∠ACD，最后根据等角对等边可得证．【解答】证明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知），∴∠A＝∠B＝90°（垂直定义），在Rt△ADC和Rt△BCD中，，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），（4分）∴∠BDC＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∴OD＝OC（等角对等边）．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，以及等腰三角形的判定，直角三角形是特殊的三角形，其全等的方法可以用HL来判定，即直角边及斜边对应相等的两直角三角形全等，在证明边相等或角相等时，常常构造三角形全等来解决问题．【过关检测】一、单选题1．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A．2个 B．3个 C．4个 D．6个【答案】D【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G.因而共有6个满足条件的顶点.故选D.3．在中，，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】B【分析】根据三角形内角和为，结合已知条件求出的度数即可得到答案．【详解】解：∵，∴可设，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，故选：B．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的分类，熟知三角形内角和定理是解题的关键．4．下列命题中，假命题的是（

）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B．面积相等的两个三角形全等C．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角【答案】B【分析】分别利用平行线的判定、三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质逐一判断即可．【详解】A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故选项A不合题意；B．面积相等的两个三角形不一定全等，故选项B是假命题，符合题意；C．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，是真命题，故选项C不合题意；D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，是真命题，故选项D不合题意，故选：B【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握已经学过的概念、性质、定理是解题的关键．5．如图，，点D在AB的垂直平分线上，点E在AC的垂直平分线上，则的度数是(

).A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，EC=EA，根据等腰三角形的性质解答即可.【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∴DB=DA，EC=EA，∵∠BAC=100°，∴∠B+∠C=80°，∵DB=DA，EC=EA，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∴∠DAB+∠EAC=80°，∴∠DAE=100°80°=20°，故选B.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．6．在如图所示的赵爽弦图中，在DH上取点M使得DM＝GH，连接AM、CM．若正方形EFGH的面积为6，则△ADM与△CDM的面积之差为（）A．3 B．2 C． D．不确定【答案】A【分析】由赵爽弦图可知，正方形EFGH的边长为，即AH−AE＝，AE＝CG，可得AH−CG＝，再表示出S△ADM−S△CDM，代入计算即可．【详解】解：由赵爽弦图可知：正方形EFGH的边长为，AH＝DG＝CF＝BE，AE＝DH＝CG＝BF，∵DM＝GH，∴EH＝AH−AE＝AH−CG＝，∴S△ADM−S△CDM＝DM•AH−DM•CG＝DM•（AH−CG）＝××＝3，故选：A．【点睛】本题考查了赵爽弦图的应用，三角形的面积，熟练掌握赵爽弦图中包含的等量关系是解题的关键．7．如图则等于()A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【详解】试题分析：先根据平行线的性质求得∠A的度数，再根据三角形外角的性质即可求得结果.∵AB∥CD∴∠A=∠ECD=70°∵∠DBF=110°∴∠E=∠DBF∠A=40°故选B.考点：平行线的性质，三角形外角的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.8．如图所示,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B．C．E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC、FG,则下列结论中：①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC，正确的是（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．【详解】首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD,∠ACD=60°，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴AE=BD,(①正确)∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，∴△BCF≌△ACG(ASA)，∴AG=BF,(②正确)同理：△DFC≌△EGC(ASA)，∴CF=CG，∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE,(③正确)过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，∵△BCD≌△ACE，∴∠BDC=∠AEC，∵CD=CE,∠CND=∠CMA=90°，∴△CDN≌△CEM，∴CM=CN，∵CM⊥AE，CN⊥BD，∴△Rt△OCN≌Rt△OCM(HL)∴∠BOC=∠EOC，∴④正确；故选D.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题关键在于掌握各判定定理.9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（

）A．5 B． C．4 D．3【答案】B【分析】根据大正方形面积等于4个三角形面积与小正方形面积和即可求解．【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，∴S△=，大正方形的面积为：4S△+小正方形面积=4×3＋1＝13，所以大正方形的边长为．故选B．【点睛】本题考查勾股弦图的应用，算术平方根，掌握勾股弦图的应用，算术平方根是解题关键．10．在中，D，E分别是AC、BC上的点，过点D作，，垂足分别是点F，G，连接DE，若，，则下面三个结论：①；②；③．其中正确的是（

）A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【分析】连接BD，根据垂直定义可得，再根据HL证明，然后根据全等三角形的性质可得，，即可判断①，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，即可判断②，最后根据，即可判断③．【详解】连接BD，，，，，，，，故①正确；，，，，，，故②正确；，，，和不全等，故③不正确；所以，上面三个结论，其中正确的是①②，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题11．在△ABC中，AB=AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是（只要写出一个即可）．【答案】或等（答案不唯一）【分析】根据等边三角形的判定方法即可求解.【详解】∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故只需或即可得出△ABC为等边三角形.【点睛】此题主要考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法.12．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，则四边形ABCD的面积为．【答案】/【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，即可求解．【详解】连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝，AB⊥BC，∵AD＝3，即在△ACD中，，∴△ACD是直角三角形，即AC⊥CD，∴．故答案为：1+．【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握运算法则是解题关键．13．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是cm．【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，分4cm为腰和底两种情况，再根据构成三角形的条件以及三角形周长公式计算即可．【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则当4cm的边为腰时，这个三角形的三边分别为4cm，4cm和8cm，，不能构成三角形，故此情形不存在，当4cm的边为底时，这个三角形的三边分别为4cm，8cm和8cm，周长为cm故答案为：20【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．14．如图，在中，，，点，是中线上两点，，则图中阴影面积是．【答案】【分析】根据三线合一可得，然后根据三角形的面积的关系可求解．【详解】，是等腰三角形是边上的中线，，，；故答案为：．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形的面积与等分线的关系，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的面积与等分线的关系是解题的关键．15．若a、b、c满足a2+b2＝c2，则以a，b，c为边的三角形是三角形．【答案】直角【分析】根据勾股定理的逆定理得出即可．【详解】∵a、b、c满足a2+b2＝c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形，故答案为直角．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键.16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，则∠B＝．【答案】53°【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=37°，∴∠B=90°37°=53°．故答案为53°．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．17．“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是．（填真命题或假命题）【答案】真命题【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题，根据等腰三角形的定义判断即可．【详解】“等腰三角形的两条边相等”的逆命题是：两条边相等的三角形是等腰三角形；它是真命题，故答案为：真命题．【点睛】本题考查了命题的真假判断、逆命题的概念，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．18．在中，的垂直平分线交边于D，交于点F，的垂直平分线交边于E，交于点G，若，则等于°．【答案】或/85或95【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：如图1，∵分别垂直平分和，∴，∴，，∴，解得，，∴；如图2，∵分别垂直平分和，∴，∴，，则，解得，，∴，故答案为：95或85．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．三、解答题19．已知，如图，是的边的中点，，，垂足分别为，，且，求证：．【答案】见解析【分析】根据证明，可得，根据等角对等边即可得证．【详解】证明：∵，，∴，∵D是的中点，∴，在与中，∴，∴，∴．【点睛】本题注意考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，掌握证明三角形全等是解题的关键．20．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，又已知．求这块土地的面积．【答案】这块土地的面积为【分析】连接，勾股定理求得，然后勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据四边形的面积=，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴四边形的面积为．答：这块土地的面积为．【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．21．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD的延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（