3.3.2抛物线的几何性质(第3课时抛物线的焦点弦的应用)讲义高二上学期数学选择性

第3章圆锥曲线与方程3.3抛物线3.3.2抛物线的几何性质(第3课时焦点弦的应用)【研讨·拓展】抛物线的焦点弦性质抛物线的焦点弦有很多性质，比如：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2；(2)以弦AB为直径的圆与准线相切；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)；(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值．运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷．一、x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2的应用【例1】已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－12，则抛物线C的方程为()A．x2＝8yB．x2＝4yC．y2＝8xD．y2＝4x【变式11】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是()A．直角B．锐角C．钝角D．与点A，B位置有关二、|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)的应用【例2】抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．【变式21】经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________．三、eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)的应用【例3】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()A．4B．eq\f(9,2)C．5D．6【变式31】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5B．6C．eq\f(16,3)D．eq\f(20,3)四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用【例4】求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．【变式41】过抛物线y2＝2pxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p>0))的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF＝60°，则∠MFO的大小为()A．15°B．30°C．45°D．不确定【总结提炼】1．知识清单：抛物线焦点弦性质的应用．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错．【拓展强化】1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A．eq\f(p,2)B．pC．2pD．无法确定2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(y1y2,x1x2)的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p23．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是()A．y轴B．x＝－1C．x＝－2D．不存在4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是()A．1B．2C．eq\f(5,8)D．eq\f(15,8)5．过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于()A．9或6B．6或3C．9D．36．已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2等于()A．－eq\f(1,8)B．－eq\f(1,16)C．－1D．－27．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则eq\f(1,|PF|)＋eq\f(1,|QF|)的值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(7,8)C．1D．28．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝4，|BF|＝1，则p等于()A．eq\f(16,5)B．2C．eq\f(8,5)D．19．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧．若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于()A．2B．3C．4D．510．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A．eq\f(3\r(3),4)B．eq\f(9\r(3),8)C．eq\f(63,32)D．eq\f(9,4)11．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确的是()A．x1x2＝eq\f(p2,4)B．eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)p2C．∠AMB＝90°D．eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)12．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是()A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥eq\r(2)D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条13．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是()A．抛物线的准线方程为x＝－1B．若eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，则2|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为214．(多选)A．eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)p2B．四边形ACBD面积的最小值为16p2C．eq\f(1,|AB|)＋eq\f(1,|CD|)＝eq\f(1,2p)D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－eq\r(3)15．已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝______．16．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为________．17．过抛物线y2＝2x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝eq\f(25,12)，|AF|<|BF|，则|AF|＝________．18．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．19．已知点P(1，m)是抛物