专题1.5完全平方公式（专项训练）-2022-2023学年七年级数学下册《考点解读专题训练》（北师大版）

专题1.5完全平方公式（专项训练）1．（2022春•玄武区校级期中）计算（﹣2a+3b）2，结果是（）A．2a2+12ab+3b2 B．2a2﹣12ab+3b2 C．4a2+12ab+9b2 D．4a2﹣12ab+9b2【答案】D【解答】解：（﹣2a+3b）2＝（﹣2a）2+2×（﹣2a）×3b+（3b）2＝4a2﹣12ab+9b2，故选：D．2．（2022春•长阳县期末）已知，，则x2+2xy+y2的值等于（）A．0 B．4 C． D．16【答案】D【解答】解：∵x＝2﹣，y＝2+，∴x+y＝2﹣+2+＝4，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16，故选：D．3.（春•佛山校级期中）（7ab+2）2．【解答】解：原式＝49a2b2+28ab+4．4．（秋•宝山区期末）计算：（x﹣y+1）2．【解答】解：（x﹣y+1）2＝[（x﹣y）+1]2＝（x﹣y）2+2（x﹣y）+1＝x2﹣2xy+y2+2x﹣2y+1．5．（2022•大庆二模）已知x+y＝4，xy＝3，求x2+y2的值．【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，当x+y＝4，xy＝3时，原式＝42﹣2×3＝10．6．（2021秋•湖里区期末）计算：（1）（x+2）（x﹣1）；（2）（2x+y）2．【解答】解：（1）原式＝x2﹣x+2x﹣2＝x2+x﹣2；（2）原式＝4x2+2•2x•y+y2＝4x2+4xy+y2．7．（2020秋•肇源县期末）已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．【解答】解：∵a+b＝3，∴a2+2ab+b2＝9，∵ab＝2，∴a2+b2＝9﹣2×2＝5；∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5﹣2×2＝1．8．（2021秋•赞皇县期末）你能根据如图图形阴影部分的面积关系得到的数学公式是（）A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab【答案】C【解答】解：大阴影正方形的边长为a﹣b，所以大阴影正方形的面积为（a﹣b）2，大阴影正方形面积也可以看作从边长为a的正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，再减去两个长为a﹣b，宽为b的长方形的面积，即a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝a2+b2﹣2ab，所以有（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，故选：C．9.（2022春•埇桥区校级期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b＝5，ab＝6，则阴影部分的面积为（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．1【答案】C【解答】解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab，把a+b＝5，ab＝6代入得：原式＝×25﹣×6＝3.5．故选：C．10.（2022春•淄川区期末）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为（）A．21 B．22 C．23 D．24【答案】C【解答】解：如图，三角形②的一条直角边为（a﹣b），另一条直角边为b，因此S△②＝（a﹣b）b＝ab﹣b2，S△①＝a2，∴S阴影部分＝S大正方形﹣S△①﹣S△②，＝a2﹣ab+b2，＝[（a+b）2﹣3ab]，＝（100﹣54）＝23，故选：C．11．（2022•平泉市一模）如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n．（1）用含m、n的代数式表示切痕总长L；（2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求（m+n）2的值．【解答】解：（1）L＝2（m+2n）+2（2m+n）＝2m+4n+4m+2n＝6m+6n（cm）；（2）每块小矩形的面积为30cm2，即mn＝30cm2，四个正方形的面积为180cm2，即m2+n2＝90cm2，∴（m+n）2＝m2+2mn+n2，＝90+2×30＝90+60＝150（cm2）．12．（2022春•相城区校级期中）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（x﹣5）2+（2﹣x）2的值．解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，所以（x﹣5）2+（2﹣x）2＝（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x+2）（x﹣7）＝6，求（x+2）2+（x﹣7）2的值．（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是35，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）设x+2＝a，x﹣7＝b，则a﹣b＝（x+2）﹣（x﹣7）＝9，∵（x+2）（x﹣7）＝6，∴ab＝6，∴（x+2）2+（x﹣7）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝92+2×6＝93．（2）根据题意得：MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，设x﹣1＝m，x﹣3＝n，则MF＝DE＝m，DF＝n，m﹣n＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴长方形EMFD的面积＝DE⋅DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝mn＝35，∵（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝22+4×35＝144，∴m+n＝12或m+n＝﹣12＜0（不符题意，舍去），阴影部分的面积＝正方形MFRN的面积﹣正方形DFGH的面积＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝m2﹣n2＝（m+n）•（m﹣n）＝12×2＝24．∴阴影部分的面积为24．13．（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝6；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，∴xy＝13．（2）①令a＝4﹣x，b＝x，则a+b＝4，ab＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，∴（4﹣x）2+x2＝6，故答案为：6．②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，则a﹣b＝﹣1，ab＝8，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，故答案为：17．（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，令a＝25﹣x，b＝15﹣x，则：a﹣b＝10，ab＝200，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，所以阴影部分的面积和为500平方米．14.（2022春•上虞区期末）图1是一个长为2b，宽为2a的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．（1）图2中阴影部分的面积可表示为；对于（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为．（2）利用（1）中所得到的结论计算：若x+y＝﹣3，xy＝﹣，则x﹣y＝．（3）观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若m2+4mn+3n2＝0（n≠0），试求的值．【解答】解：（1）阴影部分是边长为b﹣a的正方形，因此面积为（b﹣a）2，根据拼图以及面积之间的关系可得，（b﹣a）2，（b+a）2，ab，这三者间的等量关系为（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab，故答案为：（b﹣a）2；（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab；（2）由（1）可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4x