2025届吉林省高中学校高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2025届吉林省高中学校高二数学第一学期期末综合测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设变量，满足约束条件，则的最大值为（）A.1 B.6C.10 D.132．在中，、、所对的边分别为、、，若，，，则（）A. B.C. D.3．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．平行直线：与：之间的距离等于（）A. B.C. D.5．给出下列结论：①如果数据的平均数为3，方差为0.2，则的平均数和方差分别为14和1.8；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1．③对A、B、C三种个体按3：1：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为30．则正确的个数是（）.A.3 B.2C.1 D.06．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A.720种 B.600种C.480种 D.384种7．椭圆焦距为（）A. B.8C.4 D.8．一部影片在4个单位轮流放映，每个单位放映一场，不同的放映次序有（）A.种 B.4种C.种 D.种9．已知直线与直线垂直，则（）A. B.C. D.310．函数的图象如图所示，是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（）A B.C. D.11．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的值可以是（）A. B.2C.3 D.12．设等差数列的前n项和为，且，则（）A.64 B.72C.80 D.144二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．写出同时满足以下三个条件的数列的一个通项公式______．①不是等差数列，②是等比数列，③是递增数列14．直线与直线间的距离为___________.15．已知定点，动点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________.16．直线过点，且原点到直线l的距离为，则直线方程是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上（1）经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；（2）设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点18．（12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点.（1）求的方程；（2）设的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求的取值范围.19．（12分）已知直线，，分别求实数的值，使得：（1）；（2）；（3）与相交.20．（12分）求下列函数的导数（1）；（2）21．（12分）已知数列中，数列的前n项和为满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）在和中插入k个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前50项和.22．（10分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点（1）求椭圆C方程；（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若①求△面积的范围，②证明：为定值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】画出约束条件表示的平面区域，将变形为，可得需要截距最小，观察图象，可得过点时截距最小，求出点A坐标，代入目标式即可.【详解】解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分：又，即，要取最大值，则在轴上截距要最小，观察图象可得过点时截距最小，由，得，则.故选：C.2、B【解析】利用正弦定理，以及大边对大角，结合正弦定理，即可求得.【详解】根据题意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故选：B.3、B【解析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断.【详解】∵，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4、B【解析】先由两条直线平行解出，再按照平行线之间距离公式求解.【详解】，则：，即，距离为.故选：B.5、B【解析】对结论逐一判断【详解】对于①，则的平均数为，方差为，故①正确对于②，若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故②错误对于③，对A、B、C三种个体按3：1：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为，故③正确故正确结论为2个故选：B6、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4种情况，再排，也有4种情况，余下的问题是4个元素在4个位置全排列，根据分步计数原理求解即可【详解】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，再排，也有4种情况，余下4人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况故选：D.7、A【解析】由题意椭圆的焦点在轴上，故，求解即可【详解】由题意，，故椭圆的焦点在轴上故焦距故选：A8、C【解析】根据题意得到一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，即可得到答案.【详解】一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，所以不同的放映次序有种，故选：C9、D【解析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为，即可求出.【详解】由已知得直线与直线的斜率分别为、，∵直线与直线垂直，∴，解得，故选：.10、A【解析】结合导数的几何意义确定正确选项.【详解】，表示两点连线斜率，表示在处切线的斜率；表示在处切线的斜率；根据图象可知，.故选：A11、D【解析】由求出，从而可以求，再根据已知条件不等式恒成立，可以进行适当放大即可.【详解】若n=1，则，故；若，则由得，故，所以，，又因为对恒成立，当时，则恒成立，当时，，所以，，，若n为奇数，则；若n为偶数，则，所以所以，对恒成立，必须满足.故选：D12、B【解析】利用等差数列下标和性质，求得，再用等差数列前项和公式即可求解.【详解】根据等差数列的下标和性质，，解得，.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由条件②写出一个等比数列，再求出并确保单调递增即可作答.【详解】因是等比数列，令，当时，，，是递增数列，令是互不相等的三个正整数，且，若，，成等差数列，则，即，则有，显然、都是正整数，，都是偶数，于是得是奇数，从而有不成立，即，，不成等差数列，数列不成等差数列，所以.故答案为：14、【解析】利用平行间的距离公式可求得结果.【详解】由平行线间的距离公式可知，直线、间的距离为.故答案为：.15、【解析】作点分别关于直线和的对称点，根据对称性即可求出三角形周长的最小值，利用三点共线求出的坐标.【详解】如图所示：定点关于函数对称点，关于轴的对称点，当与直线和的交点分别为时，此时的周长取最小值，且最小值为此时点的坐标满足，解得，即点.故答案为：.16、【解析】直线斜率不存在不满足题意，即设直线的点斜式方程，再利用点到直线的距离公式，求出的值，即可求出直线方程.【详解】①当直线斜率不存在时，显然不满足题意.②当直线斜率存在时，设直线为.原点到直线l的距离为，即直线方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设椭圆的方程为代入点的坐标求出椭圆的方程，再利用点差法求解；（2）由题得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得韦达定理，根据和韦达定理得到，即得证.【小问1详解】解：由题设椭圆的方程为因为椭圆经过点，所以所以椭圆的方程为.设，所以，所以，由题得，所以，所以，所以，所以直线的斜率为.【小问2详解】解：由题得当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组y=kx+nx24所以，解得①，设，，，，则②，因为，则，，，又，，所以③，由②③可得（舍或满足条件①，此时直线的方程为，故直线过定点18、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的离心率为，及经过点建立等式可求解；（2）分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，计算与后再求范围即可.【小问1详解】由题意知的离心率为，整理得，又因为经过点，所以，解得，所以，因此，的方程为.小问2详解】由已知可得，当直线AB或DE有一条的斜率不存在时，可得，或，，此时有或.当AB和DE的斜率都存在时且不为0时，设直线：，直线：，，，，由得，所以，，所以，用替换可得.所以，综上所述，的取值范围为.19、（1）或（2）或（3）且【解析】（1）根据直线一般式平行的条件列式计算；（2）根据直线一般式垂直的条件列式计算；（3）根据相交和平行的关系可得答案.【小问1详解】，，解得或又时，直线，，两直线不重合；时，直线，，两直线不重合；故或；【小问2详解】，，解得或；【小问3详解】与相交故由（1）得且.20、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）导数四则运算中的乘除法则.（2）求导数，主要考查复合函数，外导乘内导.【小问1详解】【小问2详解】.21、（1）证明见解析；（2）2735.【解析】(1)利用给定的递推公式结合“当时，”计算推理作答.(2)插入所有项构成数列，，再确定数列的前50项中含有数列和的项数计算作答.【小问1详解】依题意，，当时，，两式相减得：，则有，而，即，所以数列是以2为首项，2为公式的等比数列.【小问2详解】由(1)知，，即，插入的所有项构成数列，，数列中前插入数列的项数为：，而前插入数列的项数为45，因此，数列的前50项中包含数列前9项，数列前41项，所以.22、（1）；（2）①；②证明见解析.【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解方程组可得椭圆的方程；（2）先根据相切求出直线的斜率，结合可得，进而应用弦长公式、点线距离