2025届江苏省扬州市高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届江苏省扬州市高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（）A.10 B.20C.30 D.402．平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（）A B.C. D.3．设，若直线与直线平行，则的值为（）A. B.C.或 D.4．是首项和公差均为3的等差数列，如果，则n等于（）A.671 B.672C.673 D.6745．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（）A.1 B.2C. D.36．若a>b，c>d，则下列不等式中一定正确的是（）A. B.C. D.7．在等比数列{an}中，a1=8，a4=64，则a3等于（）A.16 B.16或-16C.32 D.32或-328．已知函数，则（）A.1 B.2C.3 D.59．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（）A. B.C. D.10．曲线与曲线的A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等11．如果命题为真命题，为假命题，那么（）A.命题，都是真命题 B.命题，都是假命题C.命题，至少有一个是真命题 D.命题，只有一个是真命题12．如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分B.该同学次测试成绩的众数是分C.该同学次测试成绩的中位数是分D.该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若，则的面积为__________.14．若直线:x-2y+1=0与直线:2x+my-1=0相互垂直，则实数m的值为________.15．如图，在等腰直角△ABC中，，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的内心，则___________.16．曲线在点处的切线的方程为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线l：x-y+2=0，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切（1）求该圆的方程；（2）若直线x+my-1=0与圆C交于A、B两点，且|AB|=，求m的值18．（12分）某话剧表演小组由名学生组成，若从这名学生中任意选取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求该小组中男、女生各有多少人？（2）若这名学生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相邻的概率.19．（12分）已知圆经过点和，且圆心在直线上（1）求圆的标准方程；（2）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；（3）设直线与圆相交于两点，点为圆上的一动点，求的面积的最大值20．（12分）已知抛物线的焦点为F，倾斜角为45°的直线m过点F，若此抛物线上存在3个不同的点到m的距离为，求此抛物线的准线方程21．（12分）写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）：任意两个等边三角形都是相似的；（2）：，.22．（10分）已知A，B两地相距200km，某船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h（v＞8）．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元（1）求比例系数k（2）当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？（3）当（x为大于8的常数）时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，因为离心率为，即，可得，所以，所以双曲线的方程为：，因瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为，将代入双曲线可得，解得：，所以颈部高为，故选：B2、A【解析】根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.【详解】由题意得，因为，所以（），即，解得，所以.故选:A3、C【解析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】时，容易验证两直线不平行，当时，根据两直线平行的条件可知：，解得或.故选：C.4、D【解析】根据题意，求得数列的通项公式，代入数据，即可得答案.【详解】因为数列为等差数列，所以，令，解得.故选：D5、D【解析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，，即，故选：D6、B【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.【详解】因为c>d，所以，所以，所以B正确；时，不满足选项A；时，，且，所以不满足选项CD；故选：B7、C【解析】首先根据a4=a1q3，求得q=2，再由a3=即可得解.【详解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故选：C8、C【解析】利用导数的定义，以及运算法则，即可求解.【详解】，，所以，所以故选：C9、D【解析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可.【详解】设，，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值，当M在位置或时等号成立.故选：D10、D【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【详解】解：曲线表示焦点在轴上，长轴长10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8对照选项，则正确故选：【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题11、D【解析】由命题为真命题,可判断二者至少有一个为真命题，由为假命题，可判断二者至少有一个为假命题，由此可得答案.【详解】命题为真命题，说明二者至少有一个为真命题，为假命题,说明二者至少有一个为假命题，综合上述，可知命题，只有一个是真命题，故选：D12、C【解析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】对于A，由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为，A正确；对于B，散点图中8个数据的众数是48，B正确；对于C，散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48，则次测试成绩的中位数是分，C不正确；对于D，散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，则次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，D正确.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、42【解析】由焦半径公式求得参数，得抛物线方程，从而可求得两点纵坐标，再求得直线与轴的交点坐标后可得面积【详解】因为，所以，抛物线的方程为，把代入方程，得（舍去），即.同理，直线方程为，即．所以直线与轴交于点，所以.故答案为：4214、1【解析】由两条直线垂直可知，进而解得答案即可.【详解】因为两条直线垂直，所以.故答案为：1.15、【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求得△的内心坐标，根据△内心以及关于的对称点三点共线，即可求得点的坐标，则问题得解.【详解】根据题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，如下所示：则，不妨设，则直线的方程为，设点坐标为，则，且，整理得，解得，即点，又；设△的内切圆圆心为，则由等面积法可得，解得；故其内心坐标为，由及△的内心三点共线，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案为：.16、【解析】求出导函数，得切线斜率后可得切线方程【详解】，∴切线斜率为，切线方程为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）0【解析】（1）设出圆心坐标，利用题干条件得到方程，求出，从而求出该圆的方程；（2）利用点到直线距离公式及垂径定理进行求解.【小问1详解】设圆心为，，则由题意得：，解得：或（舍去），故该圆的方程为【小问2详解】圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：18、（1）男生人数为，女生人数为；（2）.【解析】（1）设男生的人数为，则女生人数为，且，根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；（2）利用插空法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：设男生的人数为，则女生人数为，且，由已知可得，即，因为且，解得，所以，该小组中男生人数为，女生人数为.【小问2详解】解：若男生不相邻，则先将女生全排，然后在女生所形成的个空中选个空插入男生，因此，所有排法中男生不相邻的概率为.19、（1）（2）或（3）【解析】（1）解法一，根据题意设圆的标准方程为，进而待定系数法求解即可；解法二：由题知圆心在线段的垂直平分线上，进而结合题意得圆的圆心与半径，写出方程；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可；（3）由几何法求弦长得，进而到直线距离的最大值为，再计算面积即可.【小问1详解】解：解法一：设圆的标准方程为，由已知得，解得，所以圆的标准方程为；解法二：由圆经过点和，可知圆心在线段的垂直平分线上，将代入，得，即，半径，所以圆的标准方程为；【小问2详解】解：当直线的斜率存在时，设，即，由直线与圆相切，得，解得，此时，当直线的斜率不存在时，直线显然与圆相切所以直线的方程为或；【小问3详解】解：圆心到直线的距离，所以，则点到直线距离的最大值为，所以的面积的最大值20、【解析】设出直线m的方程，利用方程组联立、一元二次方程根的判别式求出与直线m平行的抛物线的切线方程，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】抛物线的焦点坐标为：，设直线m为，设为与抛物线相切，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，则，解得，且，故两平行线间的距离，解得，故所求的准线方程为21、（1）存在两个等边三角形不是相似的，假命题（2），真命题【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【小问1详解】解：命题“任意两个等边三角形都是相似的”是一个全称命题根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定“存在两个等边三角形不是相似的”，命题为假命题.【小问2详解】解：根据全称命题与存在性命题关系，可得：命题的否定为.因为，所以命题为真命题.22、（1）5（2）8km/h（3）答案见解析【解析】（1）列出关系式，根据当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元即可求解;（2）列出燃料费的函数解析式，利用导数求其最值即可；（3）讨论x的范围，结合（2）的结论可得答案.【小问1详解】设每小时的燃料费为，则当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元，代