2025届福州教育学院附属中学高一数学第一学期期末检测试题含解析

2025届福州教育学院附属中学高一数学第一学期期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的大致图像如图所示，则它的解析式是A. B.C. D.2．两圆和的位置关系是A.内切 B.外离C.外切 D.相交3．在中，，，若点满足，则（）A. B.C. D.4．函数的定义域为（）A. B.C. D.R5．函数零点的个数为（）A.4 B.3C.2 D.06．若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为A. B.C. D.7．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是（）A. B.C. D.8．若幂函数的图象过点，则的值为（）A.2 B.C. D.49．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A. B.C. D.10．函数在的图象大致为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．有下列四个说法：①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；②若函数的图象关于直线对称，则；③函数在上单调递减，在上单调递增；④当时，函数有四个零点其中正确的是___________（填上所有正确说法的序号）12．在半径为5的圆中，的圆心角所对的扇形的面积为_______.13．过点且与直线垂直的直线方程为___________.14．计算：（）0+_____15．___________.16．已知直线过点.若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的最小值正周期是（1）求的值；（2）求函数的最大值，并且求使取得最大值的x的集合18．已知.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并加以说明；（3）求的值.19．已知函数，且关于x的不等式的解集为（1）求实数b，m的值；（2）当时，恒成立，求实数k的取值范围20．函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.①；②；（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数；（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.21．已知全集，集合，集合.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】由图易知：函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，排除A，B；的图象为开口向上的抛物线，显然不适合，故选D点睛：识图常用方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题2、D【解析】根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交.【详解】由题意可得两圆方程为：和则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和则圆心距：则两圆相交本题正确选项：【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，关键是判断出圆心距和两圆半径之间的关系，属于基础题.3、C【解析】由题可得，进一步化简可得.【详解】，，.故选：C.4、D【解析】利用指数函数的性质即可得出选项.【详解】指数函数的定义域为R.故选：D5、A【解析】由，得，则将函数零点的个数转化为图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可【详解】由，得，所以函数零点的个数等于图象的交点的个数，函数的图象如图所示，由图象可知两函数图象有4个交点，所以有4个零点，故选：A6、C【解析】根据题意画出函数图像，由图像即可分析出由一个正零点，一个负零点a的范围【详解】如图，若存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则，故选【点睛】本题考查了绝对值函数及零点的简单应用，属于基础题7、C【解析】圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，先求圆心到直线的距离，再求半径的范围【详解】解：圆的圆心坐标，圆心到直线的距离为：，又圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，满足，即：，解得故半径的取值范围是，（如图）故选：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题8、C【解析】设，利用的图象过点，求出的解析式，将代入即可求解.【详解】设，因为的图象过点，所以，解得：，所以，所以，故选：C.9、D【解析】对于A：由定义法判断出不是奇函数，即可判断；对于B：判断出在R上为增函数，即可判断；对于C：不能说在定义域是减函数，即可判断；对于D：用图像法判断.【详解】对于A：的定义域为R..所以不是奇函数，故A错误；对于B：在R上为增函数.故B错误；对于C：在为减函数，在为减函数，但不能说在定义域是减函数.故C错误；对于D：，作出图像如图所示：所以既是奇函数又是减函数.故D正确.故选：D10、D【解析】先判断出函数的奇偶性，然后根据的符号判断出的大致图象.【详解】因为，所以，为奇函数，所以排除A项，又，所以排除B、C两项，故选：D【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、②③【解析】①：根据平面向量夹角的性质进行求解判断；②：利用函数的对称性，结合两角和（差）的正余弦公式进行求解判断即可；③：利用导数的性质、函数的奇偶性进行求解判断即可.④：根据对数函数的性质，结合零点的定义进行求解判断即可【详解】①：因为与的夹角为钝角，所以有且与不能反向共线，因此有，当与反向共线时，，所以有且，因此本说法不正确；②：因为函数的图象关于直线对称，所以有，即，于是有：，化简，得，因为，所以，因此本说法正确；③：因为，所以函数偶函数，，当时，单调递增，即在上单调递增，又因为该函数是偶函数，所以该在上单调递减，因此本说法正确；④：，问题转化为函数与函数的交点个数问题，如图所示：当时，，此时有四个交点，当时，，所以交点的个数不是四个，因此本说法不正确，故答案为：②③12、【解析】先根据弧度的定义求得扇形的弧长,即可由扇形面积公式求得扇形的面积.【详解】设扇形的弧长为根据弧度定义可知则由扇形面积公式代入可得故答案为:【点睛】本题考查了弧度的定义,扇形面积的求法,属于基础题.13、【解析】利用垂直关系设出直线方程，待定系数法求出，从而求出答案.【详解】设与直线垂直的直线为，将代入方程，，解得：，则与直线垂直的直线为.故答案为：14、【解析】根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.【详解】依题意，原式.故答案为：【点睛】本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15、2【解析】利用换底公式及对数的性质计算可得；【详解】解：.故答案为：16、或【解析】根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解【详解】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即，当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程可得，故直线的方程是，综上所述，所求直线的方程为或故答案为：或.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大值为，此时.【解析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得，再由即可求解.（2）由（1）知，，令，即可求解.【详解】（1）由题设，函数的最小正周期是，可得，所以；（2）由（1）知，当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值为18、(1)(2)偶函数(3)【解析】（1）根据定义域的要求解出定义域即可；（2）奇偶性的证明首先定义域对称，再求解，得，所以为偶函数；（3）按照对数计算公式求解试题解析：（1）由得所以函数的域为（2）因为函数的域为又所以函数为偶函数（3）19、（1），；（2）.【解析】（1）根据韦达定理求解即可；（2）转化为在上恒成立，利用均值不等式求的最小值即可.【小问1详解】由题意得：，1是方程的根，由韦达定理得，所以，又，解得所以，【小问2详解】由题意得，在上恒成立，令，只需即可，由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立所以，则的取值范围是20、（1）具有性质；不具有性质；（2）见解析；（3）【解析】（1）根据定义即可求得具有性质；根据特殊值即可判断不具有性质；（2）利用反证法，假设二次函数不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；（3）根据题意得到，再根据具有性质，得到，解不等式即可.【详解】解：（1），定义域为，则有，显然存在正实数，对任意的，总有，故具有性质；，定义域为，则，当时，，故不具有性质；（2）假设二次函数不是偶函数，设，其定义域为，即，则，易知，是无界函数，故不存在正实数k，使得函数具有性质，与题设矛盾，故是偶函数；（3）的定义域为，，具有性质，即存在正实数k，对任意的，总有，即，即，即，即，即，即，通过对比解得：，即.【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事