江苏省泰州市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGE江苏省泰州市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设z1＝3+i，z2＝1+mi，若z1z2为纯虚数，则实数m＝（）A．﹣3 B．﹣ C． D．32．某校高一年级1000名学生的血型状况如图所示．某课外爱好小组为了探讨血型与饮食之间的关系，确定采纳分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（）．[图中数据：A型22%，B型28%，O型38%，AB型12%]A．11 B．22 C．110 3．在△ABC中，tanA＝2，BC＝10，AC＝5，则tanB＝（）A． B． C． D．14．甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是（）A． B． C． D．5．如图，已知点P是函数f（x）＝Acos（x+φ）（x∈R，A＞0，|φ|＜）图象上的一个最高点，M，N是函数f（x）的图象与x轴的两个交点，若•＝0，则A的值为（）A．2 B． C．4 D．π6．已知A，B，C，D四点均在半径为R的球O的球面上，△ABC的面积为R2，球心O到平面ABC的距离为，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为24，则球O的表面积为（）A．4π B．16π C．27π D．64π7．设a＝tan16°+tan14°+tan16°tan14°，b＝sin44°cos14°﹣sin46°cos76°，c＝2sin14°sin76°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b8．已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1．设点O到边BC，CA，AB的距离分别为d1，d2，d3，若•+•+•＝﹣1，则d12+d22+d32＝（）A． B．1 C． D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知某班10名男生引体向上的测试成果统计如表所示，成果10987人数1432则下列说法正确的有（）A．这10名男生引体向上测试成果的平均数为7.4 B．这10名男生引体向上的测试成果没有众数 C．这10名男生引体向上测试成果的中位数8.5 D．这10名男生引体向上测试成果的20百分位数为7.510．下列说法正确的有（）A．设z1，z2是两个虚数，若z1+z2，和z1z2均为实数，则z1，z2是共轭复数 B．若z1﹣z2＝0，则z1与互为共轭复数 C．设z1，z2是两个虚数，若z1与z2是共轭复数，则z1+z2和z1z2均是实数 D．若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数11．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的三个顶点O，A，B的坐标分别为（0，0），（x1，y1），（x2，y2），设＝，＝，＝，则（）A．S△OAB＝ B．S△OAB＝ C．S△OAB＝（R为△OAB外接圆的半径） D．S△OAB＝|x1y2﹣x2y1|12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1A．A1D⊥D1P B．三棱锥A﹣B1PD1的体积为定值 C．存在点P使得∠APD1＝ D．直线DP∥平面AB1D1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13．若sincos﹣sincos＝sinx，请写出一个符合要求的x＝．14．若数据3（a1+1），3（a2+1），…，3（a7+1）的方差为9，则数据a1，a2，…，a7的方差为．15．如图，由若干个边长为1的正方形拼接而成一个矩形A0B0B2021A2024，则•（+++…+）＝．16．如图，全部顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．已知拟柱体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1和下底面ABCD均为平行四边形，点E，F，G，H分别为侧棱AA1，BB1，CC1，DD1，的中点，记三角形D1HG的面积为S1，梯形CC1D1D的面积为S2，则＝；若三棱锥D1﹣EGH的体积为1，则四棱锥E﹣BCC1B1的体积为四、解答题：本题共6小题，共70分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知平面对量，满意+＝（﹣3，6），﹣＝（m，﹣2），其中m∈R．（1）若∥，求|﹣|；（2）若m＝5，求与夹角的余弦值．18．已知复数z1＝（1+i）2，设z2＝．（1）求复数z2；（2）若复数z满意＝，z+z2＝，求|z|．19．在平面四边形ABCD中，∠ADB＝，AB＝7．（1）若BD＝5，求△ABD的面积；（2）若BC⊥BD，∠BAC＝，BC＝，求sin∠ABD．20．今年四月份某单位组织120名员工参与健康学问竞赛，将120名员工的竞赛成果整理后画出的频率直方图如图所示．（1）求实数a的值，并求80分是成果的多少百分位数？（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康学问竞赛的平均成果；（3）从这次健康学问竞赛成果落在区间[90，100]内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学学问、健体魄”活动．已知这次健康学问竞赛成果落在区间[90，100]内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝2，E为PC的中点，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：AF⊥平面PBC；（2）求AE与平面PBC所成角的正弦值．22．在斜三角形ABC中，已知tanBtanC＝，tanB+tanC＝．（1）求A；（2）设0＜x＜，若＝sinA，求tanx的值．

参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设z1＝3+i，z2＝1+mi，若z1z2为纯虚数，则实数m＝（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3解：∵z1＝3+i，z2＝1+mi，∴z1z2＝（3+i）（1+mi）＝3+3mi+i+mi2＝（3m+1）i+（3﹣∵z1z2为纯虚数，∴3﹣m＝0，即m＝3．故选：D．2．某校高一年级1000名学生的血型状况如图所示．某课外爱好小组为了探讨血型与饮食之间的关系，确定采纳分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（）．[图中数据：A型22%，B型28%，O型38%，AB型12%]A．11 B．22 C．110 解：依据分层抽样的定义可得，从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是50×22%＝11；故选：A．3．在△ABC中，tanA＝2，BC＝10，AC＝5，则tanB＝（）A． B． C． D．1解：因为tanA＝＝2，所以sin2A+cos2A＝sin2A+＝1，可得sin2A所以sinA＝，又BC＝10，AC＝5，由正弦定理，可得sinB＝＝＝，可得cosB＝＝，则tanB＝＝．故选：C．4．甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是（）A． B． C． D．解：当甲，乙都解不出时，这道数学题不被解出，概率为；所以这道数学题被解出的概率是．故选：C．5．如图，已知点P是函数f（x）＝Acos（x+φ）（x∈R，A＞0，|φ|＜）图象上的一个最高点，M，N是函数f（x）的图象与x轴的两个交点，若•＝0，则A的值为（）A．2 B． C．4 D．π解：函数f（x）＝Acos（x+φ）的周期T＝，则|MN|＝，又•＝0，∴△MPN为等腰直角三角形，∴，∴A＝．故选：B．6．已知A，B，C，D四点均在半径为R的球O的球面上，△ABC的面积为R2，球心O到平面ABC的距离为，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为24，则球O的表面积为（）A．4π B．16π C．27π D．64π解：如图，设三角形ABC的外心为G，其外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，且OG＝，要使三棱锥D﹣ABC体积的最大，则D在GO的延长线上，此时OD＝R，∵△ABC的面积为R2，∴三棱锥D﹣ABC体积的最大值为＝24，解得R＝4，∴球O的表面积为4π×42＝64π．故选：D．7．设a＝tan16°+tan14°+tan16°tan14°，b＝sin44°cos14°﹣sin46°cos76°，c＝2sin14°sin76°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b解：∵tan30°＝tan（16°+14°）＝，∴tan16°+tan14°＝，∴a＝tan16°+tan14°+tan16°tan14°＝，∵b＝sin44°cos14°﹣sin46°cos76°＝sin44°cos14°﹣cos44°sin14°＝sin（44°﹣14°）＝sin30°＝，c＝2sin14°sin76°＝2sin14°cos14°＝sin28°，∴a＞b＞c．故选：A．8．已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1．设点O到边BC，CA，AB的距离分别为d1，d2，d3，若•+•+•＝﹣1，则d12+d22+d32＝（）A． B．1 C． D．3解：不影响一般性，设A（1，0），B（﹣1，0），C（0，1），如图，此时＝﹣1+0+0＝﹣1，简单知道，d3＝0，所以，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知某班10名男生引体向上的测试成果统计如表所示，成果10987人数1432则下列说法正确的有（）A．这10名男生引体向上测试成果的平均数为7.4 B．这10名男生引体向上的测试成果没有众数 C．这10名男生引体向上测试成果的中位数8.5 D．这10名男生引体向上测试成果的20百分位数为7.5解：依据成果10987人数1432所以：对于A：这10名男生引体向上的平均值为，故A错误；对于B：这10名男生引体向上的测试成果众数为9，故B错误；对于C：这10名男生引体向上测试成果的中位数＝8.5，故C正确；对于D：这10名男生引体向上测试成果的20百分位数为＝7.5，故D正确．故选：CD．10．下列说法正确的有（）A．设z1，z2是两个虚数，若z1+z2，和z1z2均为实数，则z1，z2是共轭复数 B．若z1﹣z2＝0，则z1与互为共轭复数 C．设z1，z2是两个虚数，若z1与z2是共轭复数，则z1+z2和z1z2均是实数 D．若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数解：对于选项A：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d∈R），则b≠0，d≠0，b+d＝0，ad+bc＝0，故b＝﹣d≠0，a＝c，故z1，z2是共轭复数，故正确；对于选项B：∵z1﹣z2＝0，∴z1＝z2，又∵z2与互为共轭复数，∴z1与互为共轭复数，故正确；对于选项C：设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R，b≠0），则z1+z2＝2a∈R，z1z2＝a2+b2∈R对于选项D：设z1＝3+i，z2＝4﹣i，则z1+z2＝7，但z1与z2不互为共轭复数，故错误；故选：ABC．11．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的三个顶点O，A，B的坐标分别为（0，0），（x1，y1），（x2，y2），设＝，＝，＝，则（）A．S△OAB＝ B．S△OAB＝ C．S△OAB＝（R为△OAB外接圆的半径） D．S△OAB＝|x1y2﹣x2y1|解：由正弦定理可得＝＝＝2R（R为△OAB外接圆的半径），所以||＝，||＝，sin∠AOB＝，所以S△OAB＝||||sin∠AOB＝||||sin∠AOB＝＝，故A错误；S△OAB＝||||sin∠AOB＝||||＝，故C错误，S△OAB＝||||sin∠AOB＝||||＝＝＝＝|x1y2﹣x2y1|，故B，D正确．故选：BD．12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1A．A1D⊥D1P B．三棱锥A﹣B1PD1的体积为定值 C．存在点P使得∠APD1＝ D．直线DP∥平面AB1D1解：对于A，D1C1⊥平面AA1D1D，则D1C1⊥A1A1D⊥AD1，则A1D⊥D1B，而D1B∩D1C1＝D1∴A1D⊥平面D1C1B，而D1P⊂平面D1C1∴A1D⊥D1P，故A正确；对于B，∵AD1∥BC1，AD1⊂平面AD1B1，BC1⊄平面AD1B1，∴BC1∥平面AD1B1，则P到平面AD1B1的距离为定值，∴为定值，故B正确；对于C，∵，两平行线AD1与BC1间的距离为1，则平面ABC1D1内以AD1为直径的圆与BC1无交点，故∠APD1为锐角，C错误；对于D，∵AD∥B1C1，AD＝B1C1，∴四边形AB1C1D为平行四边形，可得AB1∥同理可证DB∥D1B1，而DB∩DC1＝D，∴平面DBC1∥平面AB1D1，而DP⊂平面DBC1，∴直线DP∥AB1D1，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13．若sincos﹣sincos＝sinx，请写出一个符合要求的x＝．解：∵sincos﹣sincos＝＝sinx，∴x＝或，当k＝0时，x＝符合题意．故答案为：．14．若数据3（a1+1），3（a2+1），…，3（a7+1）的方差为9，则数据a1，a2，…，a7的方差为1．解：数据3（a1+1），3（a2+1），…，3（a7+1）的方差为9，则数据a1，a2，…，a7的方差为：＝1．故答案为：1．15．如图，由若干个边长为1的正方形拼接而成一个矩形A0B0B2021A2024，则•（+++…+）＝2024．解：由图可知，，即（k＝1，2，...，2024），又＝，∴•（+++…+）＝+...+＝1+1+...+1＝2024．故答案为：2024．16．如图，全部顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．已知拟柱体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1和下底面ABCD均为平行四边形，点E，F，G，H分别为侧棱AA1，BB1，CC1，DD1，的中点，记三角形D1HG的面积为S1，梯形CC1D1D的面积为S2，则＝；若三棱锥D1﹣EGH的体积为1，则四棱锥E﹣BCC1B1的体积为4．解：由条件知CDD1C1为梯形，设CD＝a，C1D1＝b，则HG＝．设梯形的高为h，则，，所以．因为EFGH为平行四边形，所以；因为D1C1∥平面EFGH，所以，所以．因为，所以．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知平面对量，满意+＝（﹣3，6），﹣＝（m，﹣2），其中m∈R．（1）若∥，求|﹣|；（2）若m＝5，求与夹角的余弦值．解：（1）∵+＝（﹣3，6），﹣＝（m，﹣2），∴＝（，2），＝（，4），∵∥，∴，解得m＝1，∴＝（1，﹣2），||＝．（2）∵当m＝5时，＝（1，2），＝（﹣4，4），∴•＝1×（﹣4）+2×4＝4，∴，，设与的夹角为θ，则cosθ＝，故与夹角的余弦值为．18．已知复数z1＝（1+i）2，设z2＝．（1）求复数z2；（2）若复数z满意＝，z+z2＝，求|z|．解：（1）z1＝（1+i）2＝2i，z2＝．故z2＝．（2）设复数z＝x+yi（其中x，y∈R）．由，得，所以，解得x＝﹣1．由z+z2＝，得，所以，解得．所以z＝．故．19．在平面四边形ABCD中，∠ADB＝，AB＝7．（1）若BD＝5，求△ABD的面积；（2）若BC⊥BD，∠BAC＝，BC＝，求sin∠ABD．解：（1）在△ABD中，由余弦定理得AB²＝AD²+BD²﹣2AD•BD•cos∠ADB，即7²＝AD²+5²﹣2AD×5×（﹣），整理得AD²+5AD﹣24＝0，解得AD＝3，或AD＝﹣8（舍去）；所以×AD×BD×sin＝×3×5×sin＝，（2）设∠ABD＝θ（0＜θ＜），则∠BCA＝π﹣﹣（θ+）＝﹣θ，在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin（﹣θ）＝，因为0＜θ＜，所以0＜﹣θ＜，cos（﹣θ）＝，sinθ＝sin＝sincos（）﹣cossin（），＝20．今年四月份某单位组织120名员工参与健康学问竞赛，将120名员工的竞赛成果整理后画出的频率直方图如图所示．（1）求实数a的值，并求80分是成果的多少百分位数？（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康学问竞赛的平均成果；（3）从这次健康学问竞赛成果落在区间[90，100]内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学学问、健体魄”活动．已知这次健康学问竞赛成果落在区间[90，100]内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率．解：（1）10（a+3a+4a+5a+6a+a1﹣10（4×0.005+0.005）＝0.75，∴80分是成果的75百分位数．（2）45×0.05+55×0.15+65×0.25+75×0.30+85×0.20+95×0.05＝71（分），∴这次学问竞赛的平均成果是71分．（3）这次学问竞赛成果落在区间[90，100]内的员工有120×0.05＝6名，记“至少有一个男性员工被选中”为事务A，记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男性员工为1，2，3号，则样本空间：Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）}，A＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6）}，∴P（A）＝＝．∴至少有1名男性员工被选中的概率为．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，P