2022新教材北师大版高中数学必修第一册第四章 对数运算与对数函数 课时练习题及章末测验含答案解析

第四章对数运算与对数函数

1、对数的概念...........................................................1

2、对数的运算...........................................................5

3、对数函数的概念、图象和性质.........................................10

4、对数函数图象及性质的应用............................................14

5、指数函数、暴函数、对数函数增长的比较...............................19

章末检测................................................................25

1、对数的概念

一、选择题

1.将@.=9写成对数式，正确的是（）

A.log91=—2B.logl9=-2

C.logl（-2）=9D.logK—2）=4

33

B[根据对数的定义，得logl9=-2.]

3

2.已知log3=2）5则1g的值为（）

A.2B.3

C.8D.9

,o

B[V2^=l,Alog1,3=l,Aa=3.]

3.己知log38=3,则x的值为（）

1

A.-B.2

乙

C.3D.4

B[由定义知炉=8,所以x=2.]

4.方程的解是（）

A.x="zB.

KJ

C.D.x=9

A[V2,u^=1=22,

iog3x=-2,

.•・矛=3-2=，

K2

5.设f(x)=]2i―则以『（2））的值为（）

ll0g3A"-1,2

A.0B.1

C.2D.3

2

C[VA2)=log3(2-1)=log33=l,

•・.f(f(2))=f(l)=2ei=2Xe°=2.]

二、填空题

6.方程log3(2x—1)=1的解为x=.

2[原方程同解于log3(2x-1)=log.3所以2x—1=3,x=2.]

7.log6[log.t(log381)]=.

4

0[JM5^=1og6[1ogI(1og33)]=1og6(1og14)=log6l=0.]

8.若log,,2=R,log.3=〃，则产"=.

12[V1oga2=加，1oga3=/?,

：.a=2fH=3.

・••齐=(犷・^=22X3=12.]

三、解答题

9.求下列各式中的x

3

(l)log2(log5^)=l；(2)log.8=-

[解](1)由log2(logsA)=l得log5^=2,

x=25.

o

(2)由log*8=1得xT=8,

.，・x=8孑，即x=(23)等，

x=2'=16.

10.己知10欧9=&1。&忑4=6,求1821'的值.

[解]Vlogi89=a,log1854=Z?,

・・・18"=9,18〃=54,

.任…_宜_邑

・,18-18〃-54一2.

11.(多选)下列指数式与对数式互化正确的有()

A.e°=1与In1=0

B.1og：？9=2与9~=3

C.8/=之与108町=一§

D.Iog77=l与T=7

ACD[kg39=2化为指数式为下=9,故E错误，ACD正确.

Y

12.己知A2r+1)=-,则A4)=()

O

A.^log25B.-log23

24

C.-D.-

oJ

B[令2"+l=4,得x=log23,所以/'(4)=[og23.]

13.利用对数恒等式箸(於0,且A>0).计算:

(2)2<3+>og23)+3<2-log39)=.

(1)8(2)25]⑴(另—一二仁厂.

/1\l°8_L4

(y)2=2X4=8.

(2)2(3+log23)4-3(2-,og39)=23X2,og23+-^T=8X3+4

310g399

=25.]

•yl■的值为

14.己知log2(log3(log.1x))=0,且logNlog2y)=1.

64[Vlog2(log3(logi^))=0,

/.log3(log4x)=1,

；・logM=3,

^=43=64.

由log^logz^)=1,知log2y=4,

・・・y=2'=16.

因•yy=y[64'X167=8X8=64.]

15.已知log”6=108%a(a>0且aWl；力0且bWl),求证：a=。或a=*

k

[证明]设log#6=log±a=k,则b=皆,a=bt

：.b=3T=bM.

•・"〉0且际1,

工米=1,即衣=±1.

当4=—1时，<3=p

当才=1时，a=b.

a=b或a=~.

b

2、对数的运算

一、选择题

1.若ab>0,给出下列四个等式：

a

①lgQb)=lga+lg仇②1g7=lga—lgb；

b

磅啕=lg*④lg(a6)=W^

其中一定成立的等式的序号是()

A.①②③®B.①®

C.③④D.③

D[VaZ>>0,Aa>0,力>0或3V0,，V0,二①②中的等式不一定成立;

V<aZ?>0,=2乂21吟=1党,.,•③中等式成立；当ab=\时,lg(aZ?)

=0,但logJO无意义，，④中等式不成立.故选D.]

2.己知力0,log5Z?=^,lgb=c,5^=10,则下列等式一定成立的是()

A.d=acB.a=cd

C.c=adD.d=a-\-c

B[由已知，得a=JQ,d=%~t所以a=cd]

lg5lg5

3.若lgxTgy=tf则lg®一lg(9=()

3

A.3fB.-t

乙

C.tD.

乙

A口弱一lg©=3呜一3呜=3呜=3（至x—lg0=32]

4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限"约为3枷，而可观测宇宙中

M

普通物质的原子总数N约为1O80.则下列各数中与可最接近的是（）

（参考数据：lg3Po.48）

A.1033B.1053

C.1073D.1093

u336,

D[由题意，1gy=lg守=lg336,-lg1080=3611g3-801g

10=361X0.48-80X1=93.28.

又1g10^=33,1g1053=53,1g1073=73,1g1093=93,

故与幅接近的是10”.故选D.]

1V

5.3182-2183=()

A.0B.1g2

C.1g3D.1g6

A[令43-22bt3,

则1g41g21g3,1g日g31g2,

Alg.l/=lgN,:・M=N,

・・・3以2一2y3=-0.]

二、填空题

6.已知log,2=%，log,v3=/7,则log48=_.(用力，〃表示)

22

加+2〃[logJ8=log,J(2X3)=log.12+log,,3=log；2+21og,3=/»+2/7.]

7.计算上③司g4+(27)4=______.

lg23

12[由指数和对数的运算法则，得

应讨1+⑵)-K+⑺打黑+3.岩+9=3+9=12.]

x

8.若lgx+lgy=21g(x—2y),则]=

4[因为lgx+lgy=21g(x—20，

[x>0,y>0,

所以|x-2y>0,

Vxy=x—2y2.

由xy=(x—2y)2,知f-5灯+4/=0,

所以x=y或x=4y.

又x>0,y>0且%—2y>0,

x

所以舍去彳=%故x=47,则,=4.］

三、解答题

9.用log/,logj,log,z表示下列各式：

(1)logKVyz)；(2)logw—；(3)loga为.

［解］⑴log.(Vyz)=10gzy+logj+log,,z=21og/+logj+logM.

(2)log.无=1Oga*—log.、(yz)=21og/—(log»y+log“z)=21og/—logj-

log,

(3)log,y|=log,^¥—log/7(yz)=glog/-21ogj-log“z.

10.计算：

32

(1)21og：,2—1og3—+log：i8；

12

⑵log3(9X27)+log26—log23+log,3Xlog：16.

39

［解］(1)原式=log34—log3T+log38=log：S=2.

KZ

6

(2)JM=logs(32X36)+log-+logi3•21og4=1og3K-F1og24-2=11.

o2332

11.(多选)实数小〃满足2*=5/'=10,则下列关系不正确的有()

1,12,1

A.-+T=1B.-+T=2

abab

1,21,21

c.-+7=2

abD-3=5

BCDb=log/0'人=1。媪0,!+*=/+彘=32+lg5=1,故

A正确.

221

1g4+lg5=lg20W2,故B不正确.

ablog210'log510

1212

二+工=1八~1八+1—in=lg2+lg25=lg50,故CD不正确•故选BCD.]

au1Og21vlogsLU

o

12.己知2*=9,2，=w，则x+2y的值为()

o

A.6B.8

C.1D.log48

oo

A[由2*=9,得klogz%由2，=*得尸log2§,

8888

/.x-\-2y=1og9+210g-=21og3+21og-=2(1og3+1og-)=21og(3X-)

22J22J22J2J

=21og28=2X3=6.]

13.设&b,。为正数，且满足才+4=/.

(l)log2^l+log[l+^7^j=；

(2)若log8(a+b—c)=,,则■+/+，=.

Ia/oo

(1)1(2)3[(1)原式=log[[l+^^•

a+b-

=10g2__蔡

a-\-b2—4十斤

*嬴

=log22=l.

(2)由log(l+T"^=l,得一3a+8+c=0,①

2

由logKa+Z?—c)=W，得a+方一c=4,②

由题设知4+^=占③

由①©③及a,b,c为正数，可得a=6,b=8,c=10.

bt、id+6+。6+8+10.

所以-8―=-8—=1]

14.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：

X358915

lgX2a-ba+c3—3a—3c4a—2b3a-6+c+1

请将错误的一个改正为k

153a—b+c［由lg9=21g3,对照表格可知3,9的对数值没错，1g8

=31g2,所以1g8=3—3己一3c等价于lg2=1—a—c,比较lg5=a+a由

lg2+lg5=1可知lg5,lg8的值没错，而lg15=lg3+lg5=3a—6+c,

所以表格中lg15错误，应改为：lg15=3a—6+c.］

15.若a,♦是方程2(lgx)?一万律+1=0的两个实根,求lg(ab)•(log力

+log㈤的值.

［解］原方程可化为2(lgx)2—41gx+l=0(x>0).

设t=lgx,则方程化为2^—41+1=0,

灰=2,tx•t2=7.

又,：&6是方程2(lgx)2-lgV+l=0的两个实根，

AZ-i=lga,f=lgb,BPlga+lgb=2lga•lgb=-

2f乙

/.lg(aZ?)•(log力+log㈤

=(lga+lg。)•窗+曾

lg力>+lga

=(lga+lgb)・

lgw•lgb

lga+lgb_21ga•lgb

=(lga+lgZ?)•

lga・lgb

22-2x1

=2X——j——=12,

2

即lg(aZ?)•(log力+log道)=12.

3、对数函数的概念、图象和性质

一、选择题

立一4

1.函数F(x)=的定义域是（)

lgx—1

A.［4,+8)B.(10,+8)

C.(4,10)U(10,+8)D.［4,10)U(10,+8)

7-420,产4,

解得《xW10,

D［由vlgx—1#0,・»且#10,

l%>0,

、>>0,

・•・函数F(x)的定义域为［4,10)0(10,+«>).故选D.］

2.函数F(x)=log2X,且F(力)>0,则力的取值范围是()

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(1,+8)D.R

C［结合F(x)=log2X的图象可知，时，ni>\.}

3.函数y=log2X的定义域是M值域是此则.VGN等于()

A.MB.N

C.0D.R

A\_M=(0,+8),A-R,则"C/V三(0,+8)="］

4.函数y=4'的反函数是()

A.y=4xB.y=x

Cy=logr4D.y=log,^

［答案］D

数，过定点(0,1);对数函数尸log/在(0,+8)上是增函数，过定点(1,0).故

选C.]

二、填空题

6.函数f(x)=12—log2X的定义域是.

(0,4][由2—log?*2。,得1密后2,又x>0,

A0<A<4.]

log2x,x>0,则“朋

7.已知函数Ax)=

3",xWO,

I"08）=小密（|6（-2）=3-2=.

8.函数f(x)=log2X在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为

1[・・"(才)=1og2x在区间[42目上是增函数，

，f(x)nax—f(x)min=f(2a)—f(a)=log2(2a)—log2a=1.]

三、解答题

9.求函数尸10g2x+i°g35—2的定义域.

x〉0,

［解］由题意知,3x—2>0,

log33x—2WO,

%>0,

22

故有不<水1或x>l,

oo

、3x—2Wl,

所以原函数的定义域是卜：〈水1或x>l\

10.当勿为何值时，关于力的方程Ilog2(x—1)I=卬无解？有一解？有两解？

[解]在同一坐标系，分别作出函数尸门og2(x—l)I和尸勿的图象，如图

所示.

y=|log2（x-l）|

由图象得：当冰0时，方程无解；

当加=0时，方程有一解；

当%>0时，方程有两解.

11.(多选)己知/'(x)=lg(10+x)+lg(10-X),则/U)()

A.是奇函数

B.是偶函数

C.在(0,10)上单调递增

D.在(0,10)上单调递减

10+x>0,

BD［由《八、八得彳£(一10,10),故函数△/)的定义域为(一

.10—x>0

10,10),因为Vx£(—io,10)都有一*£(-10,10),且A-%)=lg(10—x)+

lg(10+x)=f(x),故函数f(x)为偶函数.

f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x),y=100—*在(0,10)上递

减，尸lgx递增，故函数F5)在(0,10)上递减.］

12.方程-log2X=0的解的个数是()

A.0B.1

C.2D.不确定

B［在同一坐标系中画出函数尸停)与y=log2X的图象，如图所示.

由图知它们的图象只有一个交点，即方程(g)=log2*仅有一个解.〕

13.已知函数/'(x)=Iloglx|的定义域为m,值域为[0,1],则勿的取

2L*」

值范围为.

[1,2][作出f(x)=llogl削的图象(如图)可知一俯=〃2)=1,/(1)=0,

由题意结合图象知：1这卬＜2.

14.已知f(x)为定义在区间(一8,0)U(0,+8)上的偶函数，当x£(0,

+8)时，/(x)=log2X

当才仁(一8,0)时，函数/tv)的解析式为.

f{x}=log2(—x)［设xE(—8,o),则一(0,+8),

所以_f(—x)=log2(-X),

又f(x)为定义在区间(一8,0)U(0,+8)上的偶函数，

得/'(一x)=f(x),所以f(x)=log2(-x)(X£(-8,0)).］

15.已知/'(x)是对数函数，并且它的图象过点(2s，|j,g(x)=/(x)-

2b•F(x)+3,其中Z?eR.

(1)求函数FCr)的解析式；

(2)求尸g(x)在［镜，16］上的最小值.

［解］(1)设/'5)=1084(己>0,且aWl),

・・・F(x)的图象过点(2/，!!

33

：.f(2y［2)=-,即］og外「=5,

af=2^2=2T,即3=2,F(x)=log2X.

⑵设t=f{x),则尸g(x)=d—2bt+3=(2—6)2+3—〃=加(力，

・・・^WA<16，・・・］W1O&A<4，

即I，4,函数加（。的图象的对称轴方程为t=b.

①当庆辆,勿（力在T，4上是增函数,为n={3=?i；

②当1＜从4时，勿（。在:，6上为减函数，在（6,4］上为增函数，为产勿（力）

乙|_2

—3—Z?2；

③当624时，勿（。在4上是减函数，为尸加⑷=19—86.

「3,

乙

综上所述,乂in=R3一次!<K4,

乙

119-8Z?,224.

4、对数函数图象及性质的应用

一、选择题

1.己知函数〃入)=1。82。+2一”),则函数的值域是()

A.[0,2)B.(0,+8)

C.(0,2)D.[0,+8)

B[F(x)=log2(l+2—>・・・1+2->1,・・・log2(l+2一人>1,・,•函数/*(力的值

域是(0,+8),故选B.]

2.己知实数a=log45,力=©,c=log30.4,贝I」ab,c的大小关系为()

A.b<c<aB.仅水。

C.c<水bD.c<Ka

D[由题知，a=log.i5>l,6=0=1，log30.4<0,故K伙a]

3.函数f(x)=|log2x|的单调递增区间是()

3

A.(0,|B.(0,1］

C.(0,4-oo)D.［1,+8)

D［F(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为［1,+8).

22

A.n<水1B.nKn<l

C.1〈水〃D.1<次加

D[因为0<3<1,log,水logl水0,所以勿>〃>1,故选D.]

z22

5.若函数F(x)=logjx+l|在(-1,0)上有F(x)>0,则/'(x)()

A.在(一8,0)上是增函数

B.在(一8,0)上是减函数

C.在(一8,—1)上是增函数

D.在(一8,—1)上是减函数

C［当一1〈.¥<0时，0<彳一1<1.

Vlogjx+l|>0,/.0<a<l,

，函数f(x)=log/x+l在(-8,—1)上递增，在(-1,+8)上递减.]

二、填空题

6.设/'(x)=lgx,若则实数a的取直范围为

(0,号［由题意，f(»=lgx在(0,+8)上单调递增，因为丹1一切一

/(a)>0,所以1一金及0,所以

7.已知函数y=log<2—ax)在［0,1］上是减函数，则实数a的取值范围是

(1,2)［令u=2—ax,则y=logM因为a>0,所以〃=2—ax递减，由题

意知y=log“u在［0,1］内递增，所以a>l.又〃=2—ax在［0,1］上恒大于0,

所以2一於0,即水2,综上，1<水2.］

’3—x,x&2,

8.己知a>0且若函数f(x)=〈’—'的值域为［1，+8),

log/,x>2

则a的取值范围是.

’3—xx<2,

(1,2］［若函数/V)=〈''的值域为［1,+8),且a>o,aWi,

［log/，x>2

fx>2,

当xW2时，尸3一才21,所以二、可得1<危2.］

,lOgsX^l,

三、解答题

9.已知函数/'(彳)=ln(3+x)+ln(3—x).

(1)求函数尸/'(x)的定义域；

(2)判断函数y=f(x)的奇偶性.

3+彳>0,

［解］⑴要使函数有意义，则。、八解得一3VXV3,故函数尸f(x)

3—彳〉0,

的定义域为(一3,3).

(2)由(1)可知，函数尸FJ)的定义域为(-3,3),关于原点对称.

对任意(―3,3),则一x£(—3,3).

r(—x)=In(3—%)-Fln(3+x)=f(x),

・•・由函数奇偶性可知，函数为偶函数.

10.已知指数函数f(x)=H(a>0,且吊1).

(1)求函数八人)的反函数g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)Wlog,12—3x).

［解］(1)令y="(a>0,且a#l),则x=logj(a>0,且aWl),所以函数

F(x)的反函数为g(x)=log"xS>0,且aWl).

(2)当a>1时，log露Wlog..(2—3x)，

xW2—3x,解得0<xW).

所以

x>0,乙

3x,12

当0〈水1时，原不等式等价于，解得［Wxq.

2—3%>0,/J

综上，当於1时，原不等式的解集为(0,1；

ri2、

当0〈水1时，原不等式的解集为5,鼻.

_乙。)

11.(多选)函数/Xx)=10gJx-l|在(0,1)上是减函数，那么()

A.一力在(1,+8)上递增且无最大值

B.f(x)在(1,+8)上递减且无最小值

C.f(x)在定义域内是偶函数

D.f(x)的图象关于直线4=1对称

AD［由|x-1|>0得，函数y=log」x-1|的定义域为{引才71}.设g(x)=

X-1,x>1,

|x—1|=彳,

.—x+1>KI,

则g(x)在(-8,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

且g(x)的图象关于彳=1对称，所以f(x)的图象关于X=1对称，D正确；

由上述分析知/'5)=1。&卜一1|在(1,+8)上递增且无最大值，A正确，B

错误；

又/'(-x)=logj—X—1=logjx+l|#f(x),所以C错误，故选AD.］

12.已知曲线。：尸44一船(0真后2)与函数f［x}=log&x及函数g(x)=d(其

中a>l)的图象分别交于小心切)，B5y2),则北+北的值为()

A.16B.8

C.4D.2

C［如图所示，JUi,%)、8(如%)两点关于尸才

对称，

又力(由，M)关于尸x的对称点为(加M),则吊=必,

故尤+/=#+4=4.故选C.］

13.定义：区间［为，所］(乂<尼)的长度为而一乂.已知函数y=Ilogo.5x|的定

义域为［a，b\,值域为［0,2］,则区间［a,6］的长度的最大值为.

1511

彳［由OW|logo.5x|W2,解得4在百明所以3长度的最人值为4一不=

函数/UQln,(冲2)为奇函数'则实数"等于

ax

l+2x

1,故1—，*=i—次,解得才=4,但aW2,故a=-2.］

15.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能

1—x

力,他们以函数/Xx)=lg为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分

研究成果如下：

①同学甲发现：函数/'(力的定义域为(-1,1)；

②同学乙发现：函数是偶函数；

③同学丙发现：对于任意的XG(-1,1)都有《言，=2〃力；

④同学丁发现：对于任意的a,b£(—1,1),都有

⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数"尼，总满足

X\一X2

试分别判断哪些同学的研究成果正确？

1Y1-V

［解］在①中，因为/Xx)=ig讦7所以1>0,解得函数的定义域为(一

1—V1V

1,1),所以①是正确的；在②中，/a)=igk=—ig『二=一*一x),所以

1-rx1-x

函数F(x)为奇函数，所以②是错误的;在③中，对于任意xQ(T,D,有母j

2

=lgx-\-\=4/(y+—22叶x4-1n卜曲叶x—12,又_ZH分/、\Zlglfji—TR'lg

y—12

所以③是正确的；在④中，对于任意的&^(-1,1),有F®+

XI1

々(、干\—a+,】,干\~b=卜、(〔申i—a1—M(1—a—b+叫'a+b、

FA=lggT+^j=lg11+a+b+a小又F

J+a0

(a+力、

11+a"1—a-6+ab

a+力g1+w+b+ab'所以④是正确的；在⑤中，对于函数Ax)

、1+ab,

的定义域中任意的两个不同实数为，物总满足/川―/昆》0,即说明f(x)

XLX2

是增函数，但/'(x)=lgM=lg]—1+旨是减函数，所以⑤是错误的.综

上可知，学生甲、丙、丁的研究成果正确.

5、指数函数、募函数、对数函数增长的比较

一、选择题

1.下列函数中y随X的增大而增大，且增长速度最快的是()

A.y=20201nxB.y=J.eA

乙u乙u

C.y=2020xD.y=2020・2r

B[由于指数型函数的增长是爆炸式增长，所以当x越来越大时，函数尸

针焉/与y=2020•2、的增长越来越快，由于e>2,当x超过某一个值时，函

乙U乙U

数而e'的值会超过y=2020・2,的值，故选B.]

乙U乙U

2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x

倍，需经过y年，则函数y=f(x)的图象大致为()

D[设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(l+O.104)，，故y

=108.mX(x21),函数为对数函数，所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象，

故选D.]

3.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x小时，跑

过的路程分别满足关系式：/；(%)=Xy6(x)=4x,4(x)=log3U+l),fAx)=

2X-1,则5个小时以后跑在最前面的为()

A.甲B.乙

C.丙D.T

D[法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知5个小时后

丁车在最前面.

法二：由于4个函数均为增函数,且£(5)=52=25,£(5)=20,£(5)=1密(5

+l)=l+log32,以5)=2‘-1=31,工(5)最大,所以5个小时后丁车在最前面，

故选D.]

4.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

X1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是()

A.y=2x-2B.

C.y=log2^D.y=1(/-1)

D[法一：相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、

4.5、6,基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.

法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法.可取x=4,经检

验易知选D.]

5.y=2"，必=9，必=log2*,当2<x<4时，有()

A.历>%>为B.%>必>为

C.%>必%D.%力

B［在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)

内，从上到下图象依次对应的函数为%=/，y=2',必=log2X,故%>%］

二、填空题

6.现测得(x,0的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型，

甲：y=^+l,乙：y=3x—1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应

选用作为函数模型.

甲［把x=1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好.］

7.函数尸夕与函数尸xlnx在区间(1,+8)上增长较快的一个是.

尸V［当不变大时，x比In*增长要快，

・・・义要比xlnx增长的要快.］

8.某工厂8年来某种产品的总产量。与时间£(年)的函数关系如图所示，给

出下列四种说法：?

①前三年中产量增长的速度越来越快；L-；

②前三年中产量增长的速度越来越慢；一/而

③第三年后这种产品停止生产；

④第三年后产量保持不变.其中说法正确的是.

②③［由才G［0,3］的图象，联想到嘉函数y=/(0VdVl),反映了。随时

间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由££［3,8］的图象可知，总产量C没有

变化，即第三年后停止生产.］

三、解答题

9.画出函数人必=正与函数以才)=［f-2的图象，并比较两者在［0,+

8)上的大小关系.

［解］函数f(x)与g(x)的图象如图所示./步产2

根据图象易得：

01,74X

当0<*<4时，F(x)>g(x)；K

当x=4时，f{x)=g(x)；当x>4时，f［x)<g(x).

10.某公司为了实现10Q0万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的

奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位:

万元)随销售利润双单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同

时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25筋y=log-x+l,y=

1.002",其中哪个模型能符合公司的要求？

［解］作出函数尸5,尸0.25%尸log/+Ly=l.002"的图象(如图).

y

y=0.25x7=1.0021

2004006008001000

观察图象发现，在区间［：0,1000］±,模型尸0.25必尸1.002,的图象都

有一部分在直线y=5的上方：只有模型y=log7^+l的图象始终在y=5和y=

0.25x的下方，这说明只有按模型y=log7x+l进行奖励时才符合公司的要求.

11.在某个物理实验中，测量得列变量x和变量y的几组数据，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

则对必y最适合的拟合函数是()

A.y=2xB.y=x-1

C.y=2x—2D.y=log2x

D［将x=0.50,y=-0.99,代入计算，可以排除A；将x=2.01,y=0.98,

代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y=log2M可知满足题意.故选

D.］

12.已知/'(才)=/—bx+c且/'(0)=3,F(l+x)=F(l—x),则有()

A.f⑻B.f16)《久石

C.「⑻"⑹D.f(y),F(刈大小不定

B［由/'(1+x)=F(1—x),知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以［=

1,即b=2.

由/(0)=3,知c=3.此时/(%)一2彳+3.

当K0时，3\2X1,函数y=f(x)在区间(一8,1)上是减函数，所以

当x=o时，r（M=Ac）；

当x>0时，3'>2">1,函数y=f（x）在区间（1,+8）上是增函数，所以

〃加）</•（/）.综上,］

13.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y

与净化时间六月）的近似函数关系：SO,a>0且女工1）的图象.

有以下说法：,

①第4个月时，剩留量就会低于点回!闱

②每月减少的有害物质质量都相等；卜了牛、

01234”月

③当剩留量为彳，:时，所经过的时间分别是力,

/4C5

友，［3，则tl+t2=t3.

其中所有正确说法的序号是_______.

①③［由于函数的图象经过点（2,故函数的关系式为尸（I）.

当£=4时，y=S〈（，故①正确；

9142

当£=1时，/=-,减少不当£=2时，y=~,减少6，故每月减少有害物质

oMy<z

故②不正确；分别令尸］］解得t=log2

质量不相等,2

ZTo3n3勺

。+七=为，故③正确.］

38

14.甲、乙两地相距500km,一辆运输汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度P

不能超过120km/h.己知运输汽车每小时运输成本为岛正+3601元，则全程运

输成本y与速度p的函数关系是y=,当运输汽车的行驶速度为

km/h时，全程运输成本最小.

18卜+电阴（0<々120）100［运输汽车从甲地到乙地所用的时间为

话(OVY120),则全程运输成本尸话・(篇/+360)=185+10

020),

而r+ioooo^/10000=200,当且仅当K=ipogo^即。二^。时取

v\1vv

等号，故当运输汽车的行驶速度为100km/h时，全程运输成本最小.]

15.某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该

产品的产量平稳增长.记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量F(x)(万

件)之间的关系如下表所示：

X1234

F(x)4.005.587.008.44

若£(*)近似符合以下三种函数模型之一：f®=ax+b,fa)=2"+a,F(x)

=loglx+a.

2

(D找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017

年的数据求出相应的解析式；

(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少

30%,试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量.

[解](1)符合条件的是f(x)=ax+b,

若模型为Hx)=2*+a

则由/(I)=2'4-a=4,

得a=2,即F(x)=2*+2,

此时/<2)=6,A3)=10,"4)=18,与已知相差太大，不符合.