2021年新教材人教A版（2019）高一数学暑假作业（八）【含答案】

2021年新教材人教A版(2019)高一数学暑假作业

一、单选题

1.下列函数既是奇函数又在(-1,1)上是增函数的是()

A.y=cos(^+x)B.y=-|C.y=ln芸D.y=2x-2-x

2.设函数/(x)的定义域为Q,若满足：①“乃在。内是单调增函数；②存在

D(n>m),使得/(x)在|m,m上的值域为［孙词，那么就称y=f。)是定义域为。

的“成功函数”.若函数g(x)=logad+t)(a>0且a*1)是定义域为R的“成

功函数”，则f的取值范围是()

A.0<t<B.0<t<C.t<7D.

4444

3.将函数/(x)=cos2x的图象向右平移?个单位后得到函数g(x),则g(x)具有性质

()

A.周期为加，最大值为1,图象关于直线x=三对称，为奇函数

B.周期为兀，最大值为1,图象关于点(?,0)对称，为奇函数

C.周期为兀，最大值为1,在(-73)上单调递减，为奇函数

OO

D.周期为加，最大值为1,在(0,》上单调递增，为奇函数

4.设〃?，〃是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若?n_La,n〃a,则m-L几；②若jn〃n,/i〃a,则小〃。；

③若m//n,n1/7,7n〃a,则a10；④若mnn=A,m//a,m//p,n//a,n///?,

则a〃3

其中真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

5.已知直角△力BC,^ABC=90-,AB=12,BC=8,D,E分别是AB,AC的中点，

将AADE沿直线QE翻折至△PDE,形成四棱锥P—BCED,则在翻折过程中，

(I)ZDPE=乙BPC;(2)PE1BC;(3)PD1EC;(4)平面POEL平面PBC.不可能成立

的结论是

A.⑴(2)⑶B.⑴(2)C.⑶(4)D.⑴⑵(4)

6.设a>0,b>0,a+b=L则下列说法错误的是()

A.ab的最大值为；B.a2+/的最小值为；

42

C.3+*的最小值为9D.VH+伤的最小值为鱼

7.已知函数f(x)="M-2/n(>2+i),则下列说法正确的是

A.函数/'(x)为奇函数

B.函数/(x)的值域为(一8,-1]

C.当x>0时，函数f(x)的图象关于直线x=1对称

D.函数/(%)的增区间为(一8,-1),减区间为(0,1)

8.将函数y=sinxcosx-cos?%+；的图象向左平移9个单位长度得到函数g(x)的图

No

象，下列结论正确的是()

A.g(无)是最小正周期为27r的偶函数B.g(x)是最小正周期为47T的奇函数

C.g(x)在[0,3上的最小值为-WD.g(x)在(兀,2兀)上单调递减

二、多选题

9.若复数z满足(l+i)z=3+i(其中i是虚数单位)，则()

A.|z|=V5

B.z的实部是2

C.z的虚部是T

D.复数z的共枕复数2在复平面内对应的点在第一象限

10.在四棱锥P—4BCD中，底面ABC。是正方形，P41

底面ABC£>,PA=AB,截面BOE与直线PC平行，

与PA交于点E,则下列判断正确的是()

A.E为PA的中点

B.PB与CD所成的角为g

C.BD1平面PAC

D.三棱锥C一BDE与四棱锥P-4BCD的体积之比等于1:4

11.下列命题中正确的是：()

A.两个非零向量五,b,若|五一至|=|五|+|石|，则五与石共线且反向

B.已知不力6，且五々=九3则五=3

C.若瓦5=(3,-4)，0B=(6,-3)，0C=(5-m,-3-77i)，乙4BC为锐角，则实数

机的取值范围是〃〉-:

D.若非零向量落B满足|方|=|K|=12—B|则五与五+弓的夹角是30°

12.给出下列结论，其中正确的结论是()

A.函数y=e)-M+l的最大值为；

B.已知函数y=loga(2-ax)(a>0且QH1)在(0,1)上是减函数，则实数a的取值

范围是(1,2)

C,函数.设函数y=ln(x2-X+1)的图像关于直线X=1对称

D.已知定义在R上的奇函数f(x)在(-8,0)内有1010个零点，则函数/Q)的零点个

数为2021

三、填空题

13.如图，在△ABC中，已知48=10,AC=5,^BAC；，点M是边AB的中点，

点N在直线AC上，且配=3而，直线CM与5N相交于点P,则线段AP的长为

B

14.如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，PA1平面ABCD.给出下列命题:

①PB1AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行;③平面PBD1平面PAC-,

④△PCD为锐角三角形.其中正确命题的序号是.

15.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的某项质量指标进行了检

测，整理检测结果得到如下频率分布表：

质量指标分组[10,30)[30,50)[50,70]

频率0.10.60.3

同一组中的数据用该组区间中点值代表，据此可估计这批产品的此项质量指标的方

差为.

16.在AABC中，若sin4(sinB+cosB)-sinC=0,则角4的值为,当sin28+

2s讥2c取得最大值时，tan2B的值为.

17.已知平面向量五，另，下满足五与石的夹角为锐角，同=4,忖=2,团=1,且扬+t司

的最小值为我，则实数t的值是,向量,-|a).(c-9)的取值范围是.

18.在正三棱锥S—.ABC中，M是SC的中点，且从底面边长A32四，则

正三棱锥S-A3L的体积为,其外接球的表面积为.

四、解答题

19.如图，设AABC中角4B,C所对的边分别为a,b,c,4。为8C边上的中线，已知c=1

且2csirh4cos8=asinA-bsinB+-hsinC,cosZ-BAD=

4

V21

7

(1)求b边的长度;

(2)求△48C的面积;

20.已知函数/'(x)=2«xeR).

⑴解不等式/(x)-((2x)>16-9x2。

(2)若函数qQ)=/(x)-f(2x)-nt在上有零点，求tn的取值范围；

(3)若函数/(x)=g(x)+/i。)，其中g(x)为奇函数，以久)为偶函数，若不等式

2ag(x)+h(2x)>0对任意x6[1,2]恒成立，求实数a的取值范围.

21.某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60

名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中

毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校.现从这6名同学

中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同).

(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；

(2)求从这6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率；

(3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率.

22.已知函数f(%)=sin2%4-2,g(x)=/(%)+2V3cos2%—V3.

(1)若角。满足tan。+高=3,求/(。)；

(2)若圆心角为。半径为2的扇形的弧长为/，且g(8)=2,6G(0,7r),求/；

(3)若函数g(x)的最大值与p(x)=ax2-2x4-5(0<x<2)的最小值相等，求a.

23.在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，/.BAD=60\PA=^3,

PAIffiABCD,E、F分别为BC、PA的中点.

(1)求证：平面尸QE；

(2)求二面角。-PE-A的正弦值;

(3)求点C到平面P£»E的距离.

24.如图①所示,平面五边形ABCOE是由一个直角梯形ABCD和一个等边三角形ADE

拼接而成的，其中BC〃4D,ABAD=90°,AB=BC==2.现以为折痕将

△ACE折起，使点E到达点尸的位置，且平面P4D，平面ABC。，构成四棱锥P-

ABCD,如图②，点M在棱尸。上，设黑=九

(1)试探究;I为何值时，CM〃平面ABP,并予以证明;

(2)当;1=：时，求点M到平面8cp的距离.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了诱导公式，正弦、余弦函数的图象与性质，函数的定义域与值域，对数函数

及其性质，复合函数的单调性，函数的奇偶性和指数函数及其性质.

利用诱导公式和正弦的奇偶性对A进行判断，再利用函数的定义域对8进行判断，再利

用对数函数的单调性，结合复合函数的单调性对C进行判断，最后利用指数函数的单调

性和复合函数的单调性，结合函数的奇偶性对。进行判断，从而得结论.

【解答】

解：对于A,因为y=cos(]+x)=-sinx是(—1,1)上的减函数，

所以A不符合题目条件；

对于8,因为函数丫=一:在x=0没有定义，

所以5不符合题目条件；

对于C,因为y=也芸=In(全—1)是其定义域内的减函数，

所以C不符合题目条件；

对于因为函数y=2X—2-*是奇函数，且在(一1,1)上是增函数，

所以。符合题目条件.

故选£>.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查对数的基本运算，准确把握“成功函数”的概念，合理运用对数函数的性

质和一元二次方程根的判别式是解决本题的关键，综合性较强，是难题.

根据“成功函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解.

【解答】

解：依题意，函数g(x)=loga(q2x+t)9>0且。01)是定义域为/?的“成功函数

设存在［m,n］,使得g(%)在［皿用上的值域为［犯九］,

［，。9式。27n+t)=m

2n

lloga(a4-1)=n'

Hnfa2m4-1=am

ka2n+t=an'

••.TH,〃是方程(Q")2-a*+t=0的两个不等的实根，

x

设y=af贝Uy>0,

二方程等价为y2一y+t=o的有两个不等的正实根，

4=1-4t>0

即=t>0,

%+丫2=1>0

二卜<3,解得

lt>04

故选4.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数的平移变换，函数的奇偶性，属于基础

题.

根据三角函数的图象与性质逐项分析判断即可.

【解答】

解：函数/⑶=cos2x的图象向右平移泠单位后得到函数g(x)=cos(2x-今=sin2x,

则函数的最小正周期为兀，函数的最大值为1,

A.因为。(多-()，所以g(x)的图象不关于直线x对称，故A错误；

B.因为g(包)=』包：烂网，所以g(x)的图象不关于点(第0)对称，故B错误；

842

C.因为久6(-?谭)时，€(-7.》，所以g(x)的图象在(一?由上不是单调递减，

oo44°0

故c错误;

D因为xG(0r)时，2T€((),1,所以g(x)的图象在(0()上单调递增，g(x)为奇函数，

故。正确.

故选。.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了线面平行的性质，线面垂直的性质，空间直线与平面的位置关系，线面垂直

的判定，面面垂直的判定，面面平行的判定和线面平行的判定.

利用线面平行的性质和线面垂直的性质得①为真命题；利用空间直线与平面的位置关

系得②不是真命题;利用线面垂直的判定和线面平行的性质及面面垂直的判定得③是真

命题；利用线面平行的性质和判定及面面平行的判定得④是真命题，从而得结论.

【解答】

解：①因为n〃a,所以在a内必存在一条直线n(),使得n〃n().

又因为mla,所以mln。，因此因此①为真命题；

②因为m〃n,n〃a,则m〃a或znua,因此②不是真命题；

③因为J■川，所以小1夕.

又因为m〃a,所以在a内存在zno〃m.

由得巾0_1_£,所以al£,因此③是真命题；

④因为mnn=4,由力/a,m//a,得在a内必存在n「m］，且叫与相交，

使得电〃n，mr//m.

又因为m〃夕,n//p,所以nJ",mx//p,所以a〃夕因此④是真命题.

故答案为C.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

运用线面垂直的判定定理和性质定理，结合解直角三角形，可判断①；由异面直线所

成角的定义，可判断②；由面面垂直的性质定理可判断③；由两平面所成角的定义，

可判断④.

本题考查空间线面和面面的位置关系，运用线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定

理是解题的关键，考查空间想象能力，属于难题.

【解答】

解：Rt△力BC中，/-ABC=90°,AB=12,BC=8,

D,E分别是AB,AC的中点，可得PD=DB=6,DE=4,

由。E_LPO,DE1BD,可得ED_L平面尸8D,

即有DE1PB,而BC〃DE,

即有BC1PB,

在直角三角形P8C中，

8

tan/BPC=—=PBf

在直角三角形PQE中，tan4CPE=,=：,

PD6

若乙DPE=4BPC,可得P8=12,这与PB<PO+BD矛盾，

故①不可能成立；

由于BC〃DE,且PE与。E不垂直，则PE与8C也不垂直，则②不可能成立;

当在翻折过程中，平面PE。1平面BCEO时，且有PD1CE,

可得PO_L平面BCEQ,则PDLEC,则③可能成立；

由BC〃ED,过P作直线/与8c平行，也与OE平行，可得平面P8C和平面PDE的交

线为直线/,

且PBll,PD1I,则/BPD为平面P8C和平面PDE所成角,

由于BD=PD,则4BP。不可能为直角，则④不可能成立.

故选：D.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查不等式性质，基本不等式以及利用基本不等式求最值，属于基础题.

根据题意，利用不等式性质以及基本不等式逐项判断即可.

【解答】

解：由题意，对各选项依次进行分析：

对A,因为正实数“，人满足a+b=l,

所以1=a+b22VHF，当且仅当a=b=|时等号成立，

所以而4,当且仅当a=b=衬等号成立,

故而有最大值;，故A正确；

4

对B,因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1,

所以a?+=i-2ab21-2x1=；,当且仅当a=b=:时等号成立,

422

所以。2+廿有最小值也故B正确.

对C,利用基本不等式，有

41匕/4+/八(，a+b)、

a+b=

rrfa+b=1

》2?q+5=9,当且仅当竺=q,

、lab

即a=|,b=[时等号成立，

故3+1有最小值9故C正确;

对。，由题意，得

(y/a+VF)2=a+b+2y[ab

=14-2>fab<1+24=2,

故6+伤式鱼，当且仅当a=b=3时等号成立,

即VH+仍有最大值鱼，故。错误.

故选。.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性与单调性，考查函数值域，函数对称性，属中档题.

依题意，根据奇偶性定义可判断f(x)为偶函数，A错误，不妨设x>0,此时/(x)=

Xx____1

21n所不==后

结合基本不等式可判定B,计算/(1)力/■©),判断C,由函数丫=彳+；0>0)的增区

间为(1,+8),减区间为(0,1),根据复合函数单调性可判断D

【解答】

解：由f(-x)=ln(-x)2-2/n[(-x)2+1]=Inx2-2ln(x2+1)=/(%),

可知函数/(x)为偶函数；不妨设％>0,此时/(x)=21nx-21n(/+1)=21n表，

由扁=,式质=)当且仅当x=1时取“=”),

由0<品可得/•(x)〈21n：=-21n2,可知函数/(无)的值域为(一8,-2伉2]；

由/0=Ini—21n3=—ln4—21n5+21n4=ln4-21n5=ln^,f(|)=In(-21n牛=

2呜壬啕，

可知当x>0时，函数f(x)的图象不关于直线x=l对称；由函数丫=%+；。>0)的增

区间为(1,+8),减区间为(0,1),

可知函数的增区间为(一8,-1),减区间为(0,1).

故选D.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式和辅助角公式的应用，以及函数y=Asin(a)x+9)的性质及函数图

象变换，属于基础题.

先应用二倍角公式和辅助角公式化简已知函数，再利用函数图象变换得g(x)的解析式,

最后利用余弦函数的性质，逐一分析求解即可.

【解答】

解：由题y=sinxcosx-cos2%+|=|sin2x—|cos2x=曰sin(2x—：),

将/(x)的图象向左平移萼个单位得到函数

O

,\37r2(1+吗一m=邈疝(21+5=挈CO«2H,

g(1)=/(1+彳.18)-1J2,2，2

・•・g(x)=^cos2x.

QTT127r

故函数g(x)的最小正周期为T-：=万=叫故选项A,B错误；

令工€网则2W€［0,7r］.-,g(x)=等…才在工€［。.当上的值域为卜当刍，

故g(x)在上€［得上的最小值为一争选项C正确；

对于g(x)=¥cos2x由余弦函数的性质知：

g(x)的单调增区间满足-2x<2k"k£Z即一1Wx&lw,k6Z;

单调减区间满足2A'；rW2xW2k7r+小k€Z即(x《ICT+g,k€Z.

g(x)的单调增区间为［A~看同k€Z单调减区间为卜.k;r+3〃€Z.

故g(x)在(兀,2兀)上无单调性.选项。错误.

故选：c.

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念及复数运算，同时考查复数的几何意义及复数模的运算，属于基础

题.

求出z,然后由模的计算公式及复数的有关概念，复数的几何意义，逐一分析求解即可.

【解答】

A2由02-3+i_(3+i)(l-i)_4-2i)-

解：由已知nz一币一(］+&］一)一丁一2_I,

所以|z|=522+(—1)2=乘,所以A正确;

Z的实部是2,所以B正确；

z的虚部是一1,所以C错误；

z=2+i,在复平面内对应点的坐标为(2,1),在第一象限，所以。正确.

故选ABD.

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查棱锥及其结构特征，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，异面直

线所成角的求法，线面垂直的判定，棱锥体积的求法，属于中档题.

连接AC,交8。于点。，可知O为8£>,AC的中点，连接OE,根据线面平行的判定定

理判定A；根据尸B与所成的角即尸B与48所成的角，判定B;根据线面垂直的判定

定理判定C根据三棱锥和四棱锥的体积计算公式分别求出其体积判定D.

【解答】

解：连接AC,交8。于点O,则。为80,AC的中点，连接0E,

因为截面与直线PC平行，

PCu平面PAC,平面P4CC平面BDE=E。，

•••PC//E0,。为AC中点，

即E为P4的中点，故A正确；

因为底面A8C。是正方形，所以4B〃CD,所以尸8与CD所成的角即PB与AB所成的

角，又因为P41底面48CD所以PA14B,而PA=AB,所以尸8与AB所成的角为

即PB与CD所成的角为也故B错误，

因为PAJ_底面ABC。，BDc®ABCD,所以PAJ.BD,又因为底面ABC£>是正方形，

所以AC1BD,而ACHPA=A,AC,PAu平面PAC,所以BO1平面PAC,故C正确；

设P4=AB=2,由题可知EA的距离即为三棱键C-BDE的高，则三棱锥C-BOE的体

积为Vc-BDE=VE-BDC=|x|x2x2xl=|,而四棱锥P-ABC。的体积/_施。=1x

2x2x2=-,

3

所以三棱锥C-BDE与四棱锥P-4BCD的体积之比等于1:4,故£>正确.

故选ACD.

11.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查了向量的模、向量的夹角、向量的数量积和平面向量的坐标运算，平面向量共

线与垂直的判定，属基础题.

由(下一了)-=(11+1,)-运算可得cos<乙1>=-1，即可判定A；由11泊石时

的结论即可判定8；由坐标运算，BA-BC>Q,并求解当瓦?与比同向共线时的结论即

可判定C；由向量的线性运算构造平行四边形04c8求解即可判定D.

【解答】

解:对于A,两个非零向量五而，若|五一石|=|初+|斜，所以(Z-了[(I?+1

即-2K.了2|a*-T,所以cos<为花>=一1，即日与方共线且反向，故A正确；

对于8,对于1力6，当下范时，有五1=九下=0，此时五花的大小与方向可以

不同，故B错误.

对于C，•••丽=函_而=(3,-4)-(6,-3)=(-3,_1)，BC=0C-0B=(5-

TH,-3—tri)—(6,-3)=(-1—vn,-m),又Z71BC为锐角、：.BA.BC>0，即3+3nl+

m>0,.•.7n>.又当瓦?与团同向共线时，m=；,此时乙4BC=0。，故当N4BC为锐

42

角时，机的取值范围是血>一汨mH故C错误；

42

对于。，令函=小a=及以面，而为邻边作平行四边形。4cg.

|百|=忸|=|五一3.•.四边形OACB为菱形，AA0B=60。，4Aoe=30°,即五与苍+b

的夹角是30。，故。正确.

故选AD.

12.【答案】CD

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数函数的性质，对数函数的性质，函数的零点个数以及复合函数的单

调性，属于中档题.

由指数函数的性质可判断4；由对数函数的性质及复合函数的单调性可判断由函数

的对称性可判断C；由奇函数的性质及零点可判断D.

【解答】

解：A错，令t=—/+1,则t的最大值为1,y=的最小值为3

3错，函数y=loga(2-ax)(a>0且aH1)在(0,1)上是减函数，

・••{7：“解得1<。”

C中命题正确，函数的图像关于直线x=之对称；

。正确，二定义在R上的奇函数/(x)在(一8,0)内有1010个零点，

f(x)在(0,+8)内有1010个零点，且/(x)=0..••函数/(x)的零点个数为2x1010+1=

2021.

故选CD

13.【答案】V21

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的几何应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题.

通过平面向量的基本定理求出通=|荏+3前，再利用模长公式即可求解.

【解答】解：因为B,P,N三点共线，

所以存在实数x满足而=%荏+(1-乃丽=%宿+詈而，

因为C,P,M三点共线，

所以存在实数y满足丽=y祠+(1-y)就=9卷+(1-y)前，

(%=-fx=-

又荏，而不共线，则I=1t

(亏=17[y=5

所以存=|希+(前，

所以由(=5(4］函，4四.而+|祠2)

=^x(4xl0^4xl0x5xi+5^)=21,

所以府|=VH,

故答案为旧.

14.【答案】②③

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，是中档

题.

设4Cn8Z)=。，由题意证明4clp0,由已知可得4C1P4与在同一平面内过一点

有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②

正确；由面面垂直的的判定和性质说明③正确；由CD_L面PAO可判断，说明④错误.

【解答】

解：如图，

①、设4CnBO=。，若PBJ.4C,

"AC1BD,PBCBD=B,PB、BDu平面P8。，

则AC1平面PBD,

又P。u平面PBD,

AC1P0,

又PA，平面ABCD,ACu平面ABCD,则4c1PA,

在平面PAC内过户有两条直线与AC垂直,与在同一平面内过一点有且只有一条直线与

己知直线垂直矛盾，故①错误；

■■-CD//AB,4BU平面PCD,CDc5pfflPCD,

则ZB〃平面PCD,

二平面PAB与平面PC。的交线与AB平行，故②正确：

③、•••P41平面ABCD,PAu平面PAC,

平面PAC1•平面ABCD,

又BD14C,平面P4Cn平面4BCD=4C,BDu平面ABC。，

BD，平面PAC,又BDu平面PBD,

则平面PB。_L平面PAC,故③正确；

④、因为P41面ABC。，CDc®ABCD

所以PA1CD,

又CO140,PAC\AD=A,PAc®PAD,ADcfflPAD,

所以CD1■面PAD,

所以CD_LPD,即三角形PCD是直角三角形，④错误.

故答案为②③.

15.【答案】144

【解析】

【分析】

本题考查方差的求法，考查频率分布表、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求

解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

由频率分布表先求出这批产品的此项质量指标的平均数，由此能求出这批产品的此项质

量指标的方差.

【解答】

解：由频率分布表得：

这批产品的此项质量指标的平均数为：

20x0.14-40x0.64-60x0.3=44,

二这批产品的此项质量指标的方差为：

(20-44)2x0.1+(40-44)2x0.6+(60-44)2x0.3=144.

故答案为144.

16.【答案】:

1

~2

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，两角和与差公式，以及辅助角公式，是

中等题.

整理+cosB)—sinC=0得s出-cosA)=0,进而判断出cosA=sinA

求得A；进而得B+C,利用辅助角公式化简sin2B+2siri2C,结合正弦函数的性质得

何时sin2B+2sin2C取得最大值，最后利用诱导公式求得tan2B.

【解答】

解：sinA(sinB+cosB)—sinC=0,

・•・sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0,

・•・sinAsinB+sinAcosB—sinAcosB—cosAsinB=0,

・•・sinB^sinA-cosA)=0.

因为B6所以sinB。0,从而cosA=sinA,

**•tdTlA—IT

由Ae(0,7T),知A=.

・•・8+C=?7T,

4

:、sin2B+2sin2C

3

=sin2B+2sin(-n—2B)

=sin2B—2cos2B

=巡(-ysin2B一等cos2B)(设cos?=?，sin租=誓)

=V5sin(2B—(p).

由题意，当2"一,：5,2B广+,)时，s讥2B+2s出2c取得最大值遍,

7T

sin2B1

此时——

tan2B9

cos2Be0s("1)-sMW

故答案为［,—I

17.【答案】一:

4

[3-2V3,3+2网

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，向量的夹角，向量的模，是中档题.

先假设向量方与方的夹角为仇对于B+t同，通常采用平方法，然后转换为关于，的二次

函数，通过配方法得出最小值，从而求出r的值；

先写出向量五与石的坐标，再利用|司=1设出m=(cosa,sina),其中a为参数，然后利用

数量积的坐标运算，将目标式转换为三角函数来求最值.

【解答】

解：(1)设方与方的夹角为9,则。6(0,今，

|b+ta\=b+2ta^b+t2^=16t2+16tcos0+4=16(t+—4cos20+4»

当t=一等时，上式有最小值为—4COS2。+4,

\b+t司的最小值为百，

B+t司,的最小值为3,

:,-4cos20+4=3,解得cos。=±|,

又。G(0,》

•••COS0>0,COS0=此时t=-=-i.

:五与方的夹角为。，cos。=阻同=4,@=2,|c|=1,

二不妨设五=(4,0),b=(2cos0,2sin0)=(1,V3)>c=(cosa.sina),aGR,

|•(c—K)=(cosa—2,sina)•(cosa—1,sina—V3)=—3cosa—V3sina+3

=-2V3sin(a+；)+3e[3-2VI,3+2V3],

•••向量,-ja)-(c-石)的取值范围是[3—2%,3+2A/3].

故答案为：一：；[3-2通,3+26].

18.【答案】.；：127r

【解析】

【分析】

本题考查了正三棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，棱锥体积与球的表面积求解,

难度较高.

根据题意可得SB_L平面SAC,得出SA,SB,SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体

积，求出外接球半径即可求外接球的表面积.

【解答】

解：设。为S在底面A8C的投影，

则0为等边三角形ABC的重心，

vSO，平面ABC,ACu平面ABC,

.•.ACISO,又BOIAC,SO、BO为平面S80内两条相交直线,

AC_L平面SBO,■-SBu平面SBO,

•■SBLAC,又AMISB,AMu平面SAC,

ACu平面SAC,AMQAC=A,

•••SB_L平面SAC,

同理可证SC_L平面SAB,

易知SA,SB,SC两两垂直，

•••SA=SB=SC,AB=2V2,SA=SB=SC=2,

三棱锥的体积u==|xix2x2x2=i

设外接球半径为r,

贝12r=V22+22+22=2V3，解得r=V3，

・•・外接球的表面积为47rx3=127r.

故答案为：[；127r.

19.【答案】解：（1）由条件2csin4cosB=asirL4-bsinB+[bsinC,

可得：2cacosB=a2—b2+-be,

4

22

即2ca•0二”-=a—h+-bc^

2ac4

化简可得：4c=b,

因为c=1,所以b=4；

（2）因为。为中点，

所以同=家南+前），

设须，硝=0,则而|.丫写，

又近.而=通4（荏+正）=亨2

V听AB-Al51+4co«0

所以q=cosNBA。=

|春|•|丽—，17+8co«1

化简可得：28cos2。+8cos。-11=0,

解得COS。=1或COS。=—£，

又1+4cos0>0,

所以cos。=I，则sin。=V1—cos26=—，

22

所以△ABC的面积为三bcsinA=-xlx4x—=V3-

222

【解析】本题考查函数的最值、正弦定理、三角形面积公式、向量的数量积、平面向量

的基本定理及其应用，难度一般

(1)利用正余弦定理化简已知式子为2cacosB=a2—b2+；bc,化简可得b=4c,即可

求出结果；

,、5>>rImx/5Ty_.42?■.4/51+4<D«04.

(2)设〈AB,AC)=。，利用一丁=00KNB4D===，求出cos9,

'7iIA5：•而|V/TT+HCOK^

再求出sin。，利用三角形的面积公式，即可求出结果.

20.【答案】解：⑴设s=2。s>0,

原不等式可化为s—s2>16—9s,

整理可得s2-10s+16<0,解得2<s<8,

即2<2》<8,解得1<x<3,

所以不等式的解集为(1,3).

(2)设t=2',由xe［—1,1］可得t6［右2］,

则qQ)=/(%)—f(2x)—m=t—t2—m,

令H(t)=t-t2,

由二次函数的知识可得，

11

当"泄，H(t)max=i当t=2时，H(t)min=-2,

故函数H(t)的值域为［一2j，

函数q(x)有零点等价于方程q(x)=0有解，等价于皿在H(t)的值域内，

故机的取值范围为［—2,)

小、由联音4俎1(x)=以切+九0)=2，

x，

(3)由围心可得匕(_0=或_吗+取_乃=2-

/(X)=g(x)+h(x)=2X

./(-%)=_g(x)+/i(x)=2~x，

2*-2T

g(x)=

解得2

h(x)=2%+2T

2

因为不等式2ag(x)+/i(2x)>0对任意xG[1,2]恒成立,

所以(2》-2~)a+2"：一”20对任意xG[1Z恒成立,

又x6[1,2]时，令a=2*—2-*,u6[|,y],

22*+2-ZX_(2x-2-xy+2_12

a>20-2-X)—2+U-))

2(2*-2-*)—

因为U+：在U6[|,高上单调递增,

故当u=|时，—：(u+；)有最大值一

所以a>—

【解析】本题考查函数的性质和恒成立问题以及不等式的解法的综合应用，属于较难

题.

(1)设s=2，，原不等式可化为s-s2>16-9S,解一元二次不等式可得不等式的解集；

(2)设t=2L可得teg,2],由二次函数的知识可得函数H(t)=t—t2的值域，可得相

的取值范围；

xx

(3)问题可化为(2*-2~)a+之亨*>o对任意％e[1,2]恒成立，令u=2、-2-,u6

[|,号，可得让一装会=一宾等=-如+/由〃+；的单调性可得最值，

可得。的范围.

21.【答案】解：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，

所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为3L

601U

(2)设4B,C,D表示参加摄影社的男同学，a,b表示参加摄影社的女同学，

则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：

AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,

BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,

其中至少有1名女同学的结果有9种：

Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab,

根据古典概率计算公式，

从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为P=2=|.

(3)这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率1=提

【解析】本题主要考查了随机事件的发生，利用古典概型的计算公式进行求解，属于中

档题.

(1)首先找到该班全部同学的数量和参加摄影社的同学的数量，然后计算比值即为所求

概率；

(2)设4B,C,C表示参加摄影社的男同学，a,b表示参加摄影社的女同学，列出所有满足

的情况，根据古典概型的计算方式求解；

(3)利用对立事件来求解概率，更简单.

22.【答案】解：(1)land+-^―==_2__-=-2-=3,

tan0cosO+s\nOsinOcosOsin26

•••sin28=I，.1•/(0)=|.

(2)(2),・,g(x)=sin2x+2+2V3cos2%—V3=sin2%4-V3cos2%+2=2+

2sin(2x+g)・・・g(6)=2+2sin(20+^)=2,

:.sin(29+g)=0,

v0G(0,7i),

建或也

.­-1=26=软号.

(3)vg(x)=2+2sin(2x+g),

g(x)的最大值为4.

2

对于函数p(x)=ax-2%+5(0<x<2),显然Q=0不符合题意，

・••p(0)=5H4,p(%)的最小值为min{p(2),p(》}.

若p(2)=4a+1=4,a=I，此时W[0,2],故不合题意.

若P(T)=—5+5=4,a=1,此时?=1W[O,2],

故a=1.

【解析】本题考查同角三角函数关系、二倍角公式、扇形的弧长公式、辅助角公式、二

次函数的最值问题，属于中档题.

(1)由已知解得sin2。=|,即可得/(。)=|；

(2)根据辅助角公式及二倍角公式化简g(%)=sin2x+2+2V3cos2%—V3=sin2x+

百cos2x+2=2+2sin(2x+＞可得sin(29+g)=0,由0e(0,兀)，即可得。=割浮，

即可得/;

(3)g(x)的最大值为4,讨论〃的取值，求函数p(x)的最小值，即可得/

23.【答案】⑴证明:

取中点G,连结G尸,

"E,F分别为BC,PA的中点，底面A8CD是边长为2的菱形,

GF//BEHGF=BE,.•.四边形BEGF是平行四边形，

•••BF//EG,

vBF仁平面PDE,EGu