集成光电子器件及设计 - 平面介质光波导和耦合模理论

第二章

平面介质光波导和耦合模理论

《集成光电子器件及设计》第二章

平面介质光波导和耦合

模理论条形光波导中的

Emn

模和Emn模；浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论3

第二章

平面介质光波导和耦合模理论•

平面介质光波导（光波导理论）

•

耦合模理论

模式耦合，平行耦合，反向耦合的概念；平面介质光波导的耦合模微扰理论；导模之间的耦合，导模与辐射模之间的耦合；

定向耦合器和分支Y波导；

光波导的结构；平板光波导，条形光波导，

阶跃折射率光波导，渐变折射率光波导；

模式，导模，基底模，辐射模，传播常数；

平板光波导中的TE模和TM模；

y

x浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论42.1

平面介质光波导•

2.1.1

平面介质光波导概述

什么是集成光学？

平面光波导概述•

2.1.2

平板光波导的分析方法

射线光学法

波动方程法•

2.1.3

条形光波导的分析方法

马卡梯里法

等效折射率法

数值方法目前，“集成光学”的概念涵盖广泛的内容。•

1969年美国贝尔实验室的Miller博士（1）光束能限制在光波导中传播；（2）利用光波导可以制成各种光波导器件；（3）将光波导和光波导器件集成起来可构成有特定功能的集成光路美国华裔科学家田柄耕假借集成电路的概念，对集成光学归纳了三条定义：概念的提出什么是集成光学？从四个方面理解集成光学的概念：

理论基础•光学•光电子学

工艺基础•薄膜技术•微电子工艺主要目的

•实现光学

系统的薄

膜化、微

型化和集

成化

主要应用•光通信•光互连•光传感•光学信息处理等集成光学的分类按集成的方式划分按集成的类型划分按集成的技术途径划分按研究内容划分个数集成功能集成光子集成回路（PIC）光电子集成回路（OEIC）单片集成混合集成导波光学集成光路浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论8个数集成功能集成

电子学的发展过程：从真空管器件的真空电子学

以晶体管为基础的固体电子学

以集成电路为标志的集成电子学。

光子学也将有类似的发展过程：多元化的各种类型的激光器、光电探测器，并将向以微纳光子器件及光子集成器件为标志的集成光学的方向发展。集成电子学和集成光学9的发展轨迹：

–

更小的单个器件。

–

更紧密的集成。

–

更低成本的加工工

艺。

–

……IBM

CELL

2005transistor

radio

1954

intel

4004

1971集成光学芯片纳米集成光学芯片集成电子学和集成光学

•

集成光学正经历着

分立元件

于集成电子学同样10但是……

集成电路（Electronic

Integrated

Circuits）。

1958年发明

↓

60年代：导弹制导芯片，小规模集成电路

70年代：计算器，中大规模集成电路

集成光路（Photonic

Integrated

Circuits）。

1969年发明↓1995左右：商用AWG波分复用器为什么？11•

集成电子学

–

单一材料：硅

（并且他的氧化物SiO2是

绝好的绝缘体）

–

单一平台：CMOS

–

单一基本元器件：三极管

–

统一的ITRS路线图

（由几家大的国际企业定

制）

–

尺寸：10nm

几个μm•

集成光学

–

许多不同种类且不兼容的材料：

GaAs,

InP,

聚合物,

LiNbO3

,...

–

许多不同的制作工艺配方。

–

许多基本元器件：激光器，探测

器、调制器、滤波器

...

–

不同公司单独推行自己的解决方

案。

–

尺寸：几个μm

几个

cmIBM

Cell

Processor集成电子学

vs

集成光学12摩尔定律

1965年，intel公司的G.

Moore提出：CMOS芯片单位面积的

三极管数量每24个月翻一倍。13光子学摩尔定律14Laser

Photonics

Rev.

6,

No.

1,

1–13

(2012)摩尔定律15浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论16集成光学的基本单元：平面光波导（1）光束能限制在光波导中传播；（2）利用光波导可以制成各种光波导器件；（3）将光波导和光波导器件集成起来可构成有特定功能的集成光路

核心：平面光波导浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论17平面介质光波导的发展历史：光纤的雏形1953年，英国伦敦学院卡帕尼博士将此用于实际，发明了玻

璃光导纤维：芯层+包层

(n芯层>n包层)

–光纤

1870年，英国物理学家丁达尔

太阳光随着水流发生弯曲n水

>

n空气，光发生全反射光纤的发展2015/5/1918“Father

of

FiberOptic

Communications“Charles

Kuen

Kao

2009

Nobel

Prize

winner

“for

groundbreaking

achievements

concerning

the

transmission

of

light

in

fibers

for

optical

communication”

K.

C.

Kao,

G.

A.

Hockham

(1966),

"Dielectric-fibre

surface

waveguides

for

optical

frequencies”,

Proc.

IEEE

113

(7):

1151–1158.浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论19光纤的发展

1966年，高锟和霍克哈姆发表的《用于光频的光纤表面波导》奠定了

现代光通信的基础。高锟被尊为光纤之父。

1970年，美国康宁公司制出对0.6328

m波长的损耗为20dB/km的石

英光纤，从此介质波导在光纤通信、传感等领域得到了广泛的应用。

之后爆炸性发展，从光纤损耗看

1970年，20dB/km1972年，4dB/km1974年，1.1dB/km1976年，0.5dB/km1979年，0.2dB/km1990年，0.14dB/km

短短几十年之内，全世界铺设的

光纤总长度已超过10亿公里，足

以绕地球赤道2.5万次接近石英光纤的理论损耗<

0.1

dB/km浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论20浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论21

平面光波导型器件

优点:

低成本,

小尺寸,

高稳定性,

适合于大批量生

产,抗电磁干扰，同时光制作工艺与集成电路工艺

相兼容，可以方便与其它光电子集成器件集成于

一个衬底上，实现单片集成等等浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论22平面光波导型器件浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论23在波导的包层中仍然存在光波的传输（倏逝波），但由于波导的限制作用，光束不会像在自由空间中那样发散光波的传输nhighnlow

nlow脊形波导

24nlownhigh

claddingnlow

平板波导浙江大学光电系claddingnlowcore

nhigh渐变折射率

(GRIN)

光纤

2-d

光限制core

cladding条形（矩形）波导第二章

平面介质光波导和耦合模理论平面光波导的分类

cladding

core

阶跃折射率光纤

1-d

光限制浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论25光纤的折射率分布单模光纤(Single-mode

Fiber)：一般光纤跳纤用黄色表示，接头和保护套为蓝色；传输距离较长。多模光纤(Multi-mode

Fiber)：一般光纤跳纤用橙色表示，也有的用灰色表示，接头和保护套用米色或者黑色；传输距离较短。50/125μm

62.5/125μm浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论26SiO2:GeSi

substrate光波导折射率分布•

折射率突变型（阶跃型）

SiO2，SOI，

InP，

Polymer

n=1.47SiO2

n=1.462015/5/1927LiNbO3渐变折射率波导•

渐变折射率光波导

Ti扩散LiNbO3波导，K+离子交换玻璃波导

LiNbO3:Ti

erf

浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论281

w/2

x

w/2

x

erf

2

hx

hx

g(x)

y

f

(y)

exp(

y2

/h2)•

其中n0为基片折射率，Δn为扩散引起的最大折射率变化，w为扩散源

的横向宽度，hx、hy分别为横向、高度方向的扩散深度渐变折射率波导

首先在铌酸锂基体上用蒸发沉积或溅射沉积的方法镀上钛膜，然后进行光刻，

形成所需要的光波导图形，再进行扩散。可以采用外扩散、内扩散、质子交换

和离子注入等方法来实现。

n(x,

y)

n0

n

g(x)

f

(y)其中浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论29光波导材料材料典型波导结构主要特点铌酸锂二氧化硅

硅磷化铟聚合物采用质子交换，金属扩散等工艺，电光系数，非线性效应高，但损耗较大Ti+…LiNbO3Ge:SiO2采用

PECVD,干法刻蚀等

SiO2Si

基底

Si

波导

SiO2

Si

基底InGaAsPInPInP直接带隙，适合于发光器件，高速调制器，光开光，

的制作，但损耗较大

聚合物基底工艺制作，损耗小，但只

能制作无源器件高折射率对比，高集成度与集成电路兼容，但不适

合制作发光器件

采用旋涂,刻蚀等工艺，成

本较低，电光，热光效应较高，稳定性较差，易老化Si

substrateCore--SiO2:Ge浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论302.1

平面介质光波导•

2.1.1

平面介质光波导概述•

2.1.2

平板光波导的分析方法

射线光学法

波动方程法•

2.1.3

条形光波导的分析方法

马卡梯里法

等效折射率法

数值方法浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论31n3n1n2z平板光波导•

平板波导通常由三层介质组成

导波层：中间层，介质折射率n1最大

覆盖层：上包层，折射率n3<

n1

衬底层:

下包层，折射率n2<

n1•

n2=n3，称为对称型平板波导。反之，称为非对称

型平板波导

x

y

覆盖层导波层

衬底层浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论32平板光波导分析方法•

射线光学方法（几何光学）

射线理论分析法简单、直观、物理概念清

晰，并能得到一些光在光波导中的基本传

输特性。•

波动方程方法（麦氏方程+边界条件）

要描述波导中的模场分布，则需用严格的

电磁场理论来分析基本概念回忆：内反射光在玻璃里入射到与空气交接的界面上将发生什么?airglass一个小的模拟程序（Snell定律）浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论35全内反射

i

c

i>

cCritical

AngleTIREvanescent

Wave

oIncidentLightReflectedLight全内反射(Total

Internal

Reflection,

TIR)-光波导的物理基础全反射临界角(critical

angle)

c

arcsin

n2

n1

RefractedLightn1n2

i

cR<1

i

c|R|=1平面波导射线分析

n2

n1

波导内入射角

>

c

全反射形式稳定传输•

光线只有全反射才能在波导里稳定传输波导的数值孔径如果将光耦合进入波导稳定传输，那么在空气中的入射角应满足什么条件nsin

0max

n1sin

c

n1

n2n2n1sin

min

;

全反射临界角22最大入射角,可以从Snell’s定律求得

0max数值孔径:2

2波导的数值孔径

n1光要想耦合进入波导稳定传输，入射角必须小于某个值θ0，

但是否只要小于该角度就能稳定传输呢？t=2a39平板波导的色散方程要维持光波在导波层内传播，必须使光波在导波层上、下界面之间往返一次的总相移为2π的整数倍。上、下截面全发射相移分别为

13、

12

，则可得到平板波导的模方程：zxCBλ入射波阵面二次反射波阵面一次反射波阵面Aθn3n2n1

2n1k0tcos

12

13

2m

式中m

是整数，代表不同的模式,k0

只有满足这个条件（本征方程）的光才可能稳定传输。

每个m取值代表本征方程的一个解。浙江大学光电系

第二章

平面介质光波导和耦合模理论AB

AC

cos(

2

)AC

tcos

是相位的单位1、2界面反射时产生的相位1、3界面反射时产生的相位光波前进过程中的相位变化思考：该方程中各字母的物理意义

2n1k0tcos

12

13

2m

思考：光在1、2和1、3表面全反射时分别产生了一个附加相位，为什么？思考：全反射时发生的相位变化大小怎么求？只要想到反射折射的大小变化，首先想到菲涅尔公式n1cos

1

n2

cos

2n1cos

1

n2

cos

2r

TE(或rs)=代入折射定律n1sin

1

n2sin

2全反射相移22

当全反射发生时根号为虚数，因此此时的反射系数为一复数

1/2

1

2

n1

cos2

1/2

1

3

n1

cos2

全反射相移

j

k

r

exp

E

A

思考：全反射时的相位变化究竟怎么产生的？思考：光在传输过程里如何产生相位变化？相位不存在突变之说，相位的产生途径只有一个，即传输一段距离，即相位变化源自于2n1k0tcos

12

13

2m

古斯汉森(Goos-Hanchen)位移在全反射发生时，实际入射光会部分进入光疏介质，形式上相当于反射点相对入射点有个偏移距离

n1

2

2

sin

n2

2n1k0tcos

tan

1

sin

n

n1

3

2

2

2

tan

1

n

n

sin

n

2222

n1

2

cos2

n

sin

n

n1

3

2

2

22

n1

2

cos2

n

n

n

sin

n

2222

n1

2

cos2

n

n

n

sin

n

2222

n1

2

cos2

n

浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论452平板波导的本征方程

2

2

2

1

2

n1

cos2

1/21/222

m

n1

cos2

n1

cos2

1/21

1

2

22

12

2tan

11/2

1

n1

2

3

13

2tan•

对于TM波，全反射相移为1/21/21

1

31

1

2

22

23n1k0tcos

tan

1

tan

1

m

浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论46k1

在x方向和z方向的分量分别为：

k1x=

n1k0cos

i

k1z=

n1k0sin

i

式中k0为平面波在真空中的波矢的大小定义传播常数

：

=n1k0sin

i=k1z定义有效折射率neff:

neff=

/k0=

n1sin

in1n3z

dO

i

n2xk1k2

k’1

i

’i

t

设平面波在折射率为n1的介质中的波矢量为k1传播常数、模式导波存在条件：

k2<

<

k1n2<

neff<

n1每个m对应一个

i，对应一个

光波导的模式光线在上、下两个界面的全反射临界角分别为:θc13=arcsin(n3/n1)θc12=arcsin(n2/n1)47浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论482.1

平面介质光波导•

2.1.1

平面介质光波导概述•

2.1.2

平板光波导的分析方法

射线光学法

波动方程法•

2.1.3

条形光波导的分析方法

马卡梯里法

等效折射率法

数值方法

E

i

0H

H

i

E第二章

平面介质光波导和耦合模理论49麦克斯韦方程•从麦克斯韦方程，建立光波在介质波导中的电磁场分布方程（波动方程），结合边界条件导出传播模式的特征方程，进而讨论介质波导中光传播的特性。

时谐电磁场的麦克斯韦方程组

by

James

Clerk

Maxwell

in

1873经典电磁理论的创始人，1831年生于苏格兰爱丁堡。年仅15岁时，就向爱丁堡皇家学院递交了一份科研论文。他就读于爱丁堡大学，毕业于剑桥大学。Maxwell是从牛顿到爱因斯坦这一整个阶段中最伟大的理论物理学家。

浙江大学光电系描述了电磁场领域的所有现象t=2a•

将矢量各分量展开，得

i

0H

x

zz

y

z

y

z

E

x

E

z

H

x

H

z

i

0H

y

z

x

z

x

i

0H

z

E

y

E

x

H

y

H

x

x

y

x

y浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论50波动方程

y

y

i

E

x

i

E

y

i

E

z并且考虑到y方向是均匀的，即

0

y

设波沿着z方向传播，则沿z方向场的变化可用一个传输因子exp(-iβz)来表示

Ex

H

z

Ez

zAC

x入射波阵面二次反射波阵面一次反射波阵面θn2n3n1

Ey

H

x

Ey

i

H

x

i

Ey

n3n1

x

x

k0

n2(x)

2

Ey

0

k0

3

2

2

Ey

0n

k0

1

2

Ey

0n

k0

2

2

2

Ey

0n浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论512222

2Ey

2

2Ey

x2

2Ey

2

2Ey

x2波动方程（TE模）

0

i

0H

z

x

H

z

x

x

包层

薄膜层

衬底

n2

z

y

k0

1

2

Ey

0nkT

k0

1

2

2，通常称为横向波矢。a

,

a

,n其中波动方程的解2

2Ey

x2

上式为波动方程，也叫做Helmholtz方程，

其通解可表示为：

Ey

a1cos

kTx

a2

sin

kTx

a1cos

kTx

a1exp

jkTx

a2

exp

jkTx

a1exp

j

kTx

2

1

2

为待定系数。52E1cos(kxx

)Ey(x)

kx2

k0

1

2

2n

3

k

n

2

k

n浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论53波动方程的解（场分布）cladding

core

substrate

E3exp[

3(x

a)]

E2

exp[

2(x

a)]

x

a

a

x

a

x

a

2

2

2

22

2

2

20

30

22根据物理意义可以预见在导波层内是驻波解，可用余弦函数表示，而在覆盖层、衬底层中是倏逝波，应是衰减解，用指数函数表示。导模存在条件：kx、a3、a2均应为实数，故须满足

k0n1

max(k0n3,k0n2)

与射线法结果一致TE模

2kxa

m

tan

(

1

2

1

3浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论54边界条件

E

Ey

y

0

z

(1)

x=

-a处，

2

kxtan(kxa

)

E1cos(kxa

)

E2

kxE1sin(kxx

)|x

a

2E2

exp[

2(x

a)]|x

a

(kxE1sin(kxa

)

2E2)

(2)

x=a处，

3

kx)E1cos(kxa

)

E3

kxE1sin(kxx

)|x

a

3E3exp[

3(x

a)]|x

a

(kxE1sin(kxa

)

3E3)

)

tan

(

kx

kx

tan(kxa

)

关于

的函数2kxa

m

tan

()

tan

(TE模的特征方程：)

3

kx

2

kx

1

1与射线法得到结果的一致：

2n1k0tcos

12

13

2m

2

1

1

2

2

3

x

2

x特征方程（本征值方程）关于

的函数

3

kxtan(kxa

)

2

kxtan(kxa

)

2kxa

m

tan

()

tan

(m

2a

kxatan

kxa

(1)kx

k0

1

n(

a)

(kxa)

k0

1

2)a

(n

n

2

k

n特征方程浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论56)

3

kx

2

kx

1

1•

考虑对称波导的情况

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2(2)

a

(π)pt

2a

kxatan

kxa

2

(

a)

(kxa)

k

a

(n

n

)02410122041210

8

6

6

8kxa

(π)m=0

m=1

m=2图解法求解特征方程

模式的阶数：m

m越大，kx越大，

越

小。2

2

2

2

2

20

1

2

m

n1n3xzdO

i

n2

k1

i

’i57

a

(π)pt

2

k

a2(n2

n2)

M

2a

kxatan

kxa

2

(

a)2

(kxa)2

k0a

(n1

n2)02468101201210

8

6

4

2m=0

m=1

m=22

2

2

kxa

(π)

m

图解法求解特征方程

模式数量

2

0

1

2

向下取整58

a

(π)ptk

a

(n

n

)

2a

kxatan

kxa

2

k0a

(n1

n2)

...(

a)2

(kxa)2

k0a

(n1

n2)图解法求解特征方程0

2

4

6

81012201210

8

6

4m=0

m=1

m=2

2

kxa

(π)

m

2

2

20阶模总是存在1阶模存在条件:

2

2

2

2

0

1

22阶模存在条件:2

2

2

59

a

(π)pt(

a)

(kxa)

k

a

(n

n

)

2a

kxatan

kxa

2

(

a)2

(kxa)2

k0a

(n1

n2)图解法求解特征方程0246810124201210

8

6kxa

(π)m=0

m=1

m=2单模条件

2

2

2

2

2

2

20

1

2

22

2

2m

602

d

n1

n2

n2

n2

m

arctan

2

2

2

c

TM2

d

n1

n2

n

2

n2

n2m

arctan

n3

n1

n2

•

对于对称平板波导，TE0和TM0的截止波长

均为无限长浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论612c截止波长

辐射模条件

截止波长

0

n2k0

2

TE

2

3

n1

n2

1

2

3

2

/

k0

n2n

nn1

n2

2

2

21

2b

0

b

12•

波导参数V：

V

k0a

特征方程与色散曲线

m

2•

特征方程中有4个参数（n1,n2,a,

），改变任何一个结

构参数都要对方程重新求解，不利于应用。为此作归一

化处理。•

传播常数范围：

k0n2

k0n1•

归一化传播常数：1

b

2•

用b和V

表示的特征方程：V

11

b

b

m

arctan

（m

=

0,1,2,---）

色散曲线：

•

波导参数一旦确定，对应

模的数量就确定；

•

m=0模的传播常数最大，

随着m的增大，传播常数

减小；

•

特征方程表示的是TE波

（

S波），习惯用模的阶

数作为偏振光的下标，如

TE0模，如TE1模等。n1

n2•

当给定V值后，波导中可能存在的导

波模数量就确定了；•

b=0称为截止，从图中可见，TE1模

的截止V值等于

/2，如果V值小于

/2

，则只有一个模，称其为单模区；•

V值大于TE1模的截止V值，称其为多

模区；•

TM波的导波参数V与TE波稍有不同

，如果相对折射率

不到1%，则同阶

模的V值可认为相同。2V

k0a求传播常数的顺序波导参数：a,n1,n2电场分布群速度色散

波长：

V参数

色散曲线归一化传播常数b

传播常数

65•Ref:

Okamoto’s

“fundamental

of

optical

waveguides”

2a

kxatan

kxa

2

色散曲线m

三层对称平板波导色散曲线：

均匀空间平面波的色散曲线：

nk0c

（一条直线）66asymmetrical67对称平板

VS

非对称平板

b1

b

tan

1b

1

b2v

1

b

m

tan

1E1cos(kxx

)Ey(x)

Ey

H

x

Ey

i

H

x

i

Ey

平板波导模式分布cladding

core

substrate

E3exp[

3(x

a)]

E2

exp[

2(x

a)]

x

a

a

x

a

x

a

将特征方程的解，代入上式，并确定各个系数，求得Ey。而后根据右式，确定其余场分量。

x

H

z

0

i

0H

z

x68平板波导模式分布69场在覆盖层和衬底中是按指数函数衰减的，衰减的快慢分别由衰减系数

2和

3确定。平板波导模式分布

2和

3的值大，则场衰减快，穿透深度1/

2和1/

3就浅，说明场主要束缚在导波层中。反之，

2和

3的值小，则场衰减慢，穿透深度就深，说明波导束缚场的能力差。

2和

3的大小与覆盖层、衬底的折射率有关，同时还与模序数m密切相关。由模式本征方程可以导出，m越大，则β越小，

2和

3也越小。这表明高阶模的电磁场可延伸到导波层外的距离较远。70Schrödinger

equation:

2

x

V

E]

(x)

0[

nncladcore从量子力学的角度来看平板波导对光的束缚x

2Helmholtz

equation:

[

2

k0n2

2]U(x)

0xnncladncorenclad

12m?

V

V0VwellE3E2E1

x1-d

potential

well

•离散能级

(能态)

•势阱越深将支持更多

的能级•离散的传播常数值•波导越宽折射率差越大

，可容纳的模数就越多(m)

特征模的展开

•

任意电场分布的光波入射如何转变成特征模？

•

处理方法：将任意电场分布展开，分解成不同特征模的

电磁场分布。

–

数学上用正交函数展开，如傅立叶级数等，称之为特征模展开；

–

各导波模以相应阶数模的传播常数传播；

–

随着光的传播，不同模之间的相位差将发生变化，导致导波模叠

加以后的电磁场分布也随着传播过程而变化，光束像蛇一样反复

蠕动前进。E(x,t)

(x)exp[

j(

t

mz)]

AmE

m光波导中的各种损失•

耦合损耗:

模式转换器,

透镜光纤,

等等.•

端面反射损耗:

端面镀增透膜，匹配液.•

散射损耗：

主要来源于表面粗糙度（改善加工工艺）•

吸收损耗:

金属、自由载流子、双光子,

等等.•

弯曲损耗(纯弯曲损耗+

过渡损耗):

加大弯曲半径,

采用更高折射率差.74From

Bowers

group

at

UC

Santa

Barbara.The

waveguide

with

a

world

record

low

propagation

loss:<0.1dB/m低损耗光波导

渐变折射率波导在扩散性波导中，折射率分布多为渐变式：对称型渐变折射

率波导

752axtpS

0

xz渐变折射率波导中光的传播

光线向折射率高的方向偏折

X76

渐变折射率波导的应用渐变折射率波导中的光纤传输呈周期性聚焦：中间可插入波片、偏振片、滤波片，方便进行光信号处理。

P若长度取1/4周期，则输出为平行光：77浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论782.1

平面介质光波导•

2.1.1

平面介质光波导概述•

2.1.2

平板光波导的分析方法

射线光学法

波动方程法•

2.1.3

条形光波导的分析方法

马卡梯里法

等效折射率法

数值方法浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论79条形光波导的分析方法•

光在平板波导中传播时，在无约束的方向

上发散。为了避免这种情况，在集成光学

中通常采用条形波导。和平板波导相比，

条形波导的分析要复杂得多。通常采用近

似的方法对此进行分析。

马卡梯里法

等效折射率法

数值方法

（有限差分，有限元）Emn马卡梯里法(Marcaili)yx2bn4n3n5xyn1由于导波模的大部分能量集中在波导芯层内传输，而在波层中的能量很少，图中阴影部分的能量就更少。马卡梯里(Marcaili)方法的近似处理是忽略图中的四个阴影区域，只考虑图中五个区域。

n2

2a矩形光波导的近似分析严格分析，必须将空间区域分为9块，每块中有6个场矢量的分量，同时必须在12个界面满足边界条件。Marcaili近似分析x

y

mn浙江大学光电系

第二章

平面介质光波导和耦合模理论

80

0

1

H

y

Ex

H

y

1

H

y

E

y

x

yi

H

y

Ez

浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论81

k02n2(x,

y)

2

H

y

0

2Hy

x2

2Hy

y2

i

H

y

yH

x

0H

z

2

x

2

x2

xmn

x

(n2k0

2)

0

ky

0其中：kx

k2

k0n1

2假设场分布E(x,

y)可以表示成如下分离变量的形式Hy(x,

y)

X(x)Y(y)2

1

2YY

y

2

1

2XX

x22

1

2YY

y2x

k2

0

1

2XX

x2将上式分裂成如下两个方程，即：分离变量法

k02n2

2

Hy

0

i

2Hy

x2

2Hy

y2

2

2对以上两个方程分开求解，然后再合并。82E

kx

k2

2

k0n1

2

2

2

2

2

kx

3

0

3

k

n

ky

4

0

4

k

n

k2

2

2

k

n2

y浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论83

H1cos(kxx

x)cos(kyy

y)

i

1

H2

cos(kxx

x)e

2(y

WB)

i

2

(y

WA)

4

y

y

H5

cos(kyy

y)e

5(x

XB)

i

5波动方程的解

2

2

kx

2

k0n2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5

0

5其中

xmn

为z方向传播常数kx,ky为x,y方向传播常数EkyW

n

tan

(

2

2

1

n2

ky

1

n3

ky

n

kxX

n

tan

(

2

2

1

n4

kx

1

n5

kx

n

kx

k2

2

k0n1

2

2

2

2

2

kx

3

0

3

k

n

ky

4

0

4

k

n

k2

2

2

k

n2

y浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论84特征方程根据

y

b处

H

x和

Ez

连续的条件

，

可以得到

)

tan

(

)

n1

2

1

3根据

x

a

处

H

x和

Ez

连续的条件

，

可以得到

)

tan

(

)

n1

4

1

5

xmn用数值方法可获得(kx,

ky),

之后再求出模斑分布

y

mn

2

2

kx

2

k0n2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5

0

5E浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论85矩形波导的模场分布(a)

m=1,

n=1(b)

m=2,

n=1;(c)

m=1,

n=2;

xmn浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论862.1

平面介质光波导•

2.1.1

平面介质光波导概述•

2.1.2

平板光波导的分析方法

射线光学法

波动方程法•

2.1.3

条形光波导的分析方法

马卡梯里法

等效折射率法

数值方法

[n2(x,

y)k0

2]E

0X

xY

y

(n2k0

2)

0浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论87n2n3n1wrHhrxyneff3neff2neff3wr2

2E

y2

2E

x2假设场分布E(x,

y)可以表示成如下分离变量的形式

E(x,

y)

X(x)Y(y)2

1

2Y

21

2X

2将上式分裂成如下两个方程，即

1

2Y

2

2

2

neff2

neff1

neff1

1

2X

2

2

X

x2其中neff(x)即为等效折射率分布，可由平板波导本征方程解得(同时可得Y(y))，即可得到一个等效的平板波导，由此很容易得到本征值β和相应的本征向量X(x)等效折射率法•

(1)

将三维波导分解成平板波导的组合(如图所示)；•

(2)

对每个平板波导，沿着y方向根据平板波导本征方程求解neff(x)(图示neff2，neff3)；•(3)根据步骤(2)中得到的neff2，neff3，得到沿着x方向的折射率分布(二维平板波导)；•(4)对x方向的平板波导再解一次平板波导本•征方程，可以得到传播常数

。在整个求解过程中，需要注意的是，若求解TE模Ex，则在求neff(x)时，应取TE模，而在求

时，应取TM模；求解TM模Ey，则在求neff(x)时，应取TM模，而在求

时，应取TE模；第二章

平面介质光波导和耦合模理论88wneff1neff2neff2Hh等效折射率法

wn1n3n22bn2xyn3

neff浙江大学光电系

2an4n5n1等效折射率法•

理解几种波导结构的工作原理浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论89浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论902.1

平面介质光波导•

2.1.1

平面介质光波导概述•

2.1.2

平板光波导的分析方法

射线光学法

波动方程法•

2.1.3

条形光波导的分析方法

马卡梯里法

等效折射率法

数值方法数值解法

解析解比较困难，近似会存在比较大的误差；数值

方法被应用到光波导模式解中•••••线方法(the

Method

of

Lines,

MoL)

矩方法(the

Method

of

Moments,

MoM)有限差分方法(the

Finite

Difference

Method,

FDM边界元方法(the

Boundary

Element

Method,

BEM有限元方法(the

Finite

Element

Method,

FEM)浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论91P

xy

Ex

2

Ex

zP

yy

Ey

yE

1

(n

Ey

Ey)

1

(n

Ey)

Ey

2

n

k0Ey

y

n

x

1

(n

Ex

Ex

)

x

y

浙江大学光电系第二章

平面介质光波导和耦合模理论922

2

2

2

22

2P

xyEy

PyyEy

PyxEx

2

2(

2

)

2

y

x

2(

2

)

x

n

y

x

y

y

n

x折射率n是位置(x,

y)的函数，因此不能消去

有限差分方法由麦克斯韦尔方程得到

P

xx全矢量波动方程（无近似）：

P

yx

(

2j

P

xy

Ex

2

Ex

)

P

yy

1

(n

Ex)

Ex

n

k0

Ex

Ex

2

x

x

yn

2Ey

1

(n

Ey)

n

k02Ey

Ey

y

x

yn有限差分方法•

设光波沿着z方向传播，则沿z方向场的变

化可用一个传输因子exp(-iβz)来表示，即浙江大学光电系932Ey

z

z2