角平分线的性质课件

八年级人教版数学上册第十二章全等三角形12.3角平分线的性质目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂反馈分层练习课堂小结学习目标1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点）

2.探究并证明角平分线的性质.（难点）

3.会用角平分线的性质解决实际问题.

4.探究并证明角的平分线的判定.（重点）

5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点）

6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.情景导入旧知回顾判定三角形全等的基本事实有哪些？SSS：三边分别相等的两个三角形全等SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个

三角形全等HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等不利用工具，将一张纸片分成两个相等的角.有什么办法可以做到？AOBC再打开纸片后，这个折痕与这个角有何关系？我们将纸对折情景导入1.角平分线的性质新知探究如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABDCE证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）那么该如何用尺规作已知角的平分线呢？ABMNCO作已知角的平分线的方法.已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，

交OA于点M，交OB于点N.(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长

为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求（如图).为什么说射线OC

是∠AOB

的平分线吗？注意:（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.（2）“以大于MN的长为半径画弧”是因为小于

MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于MN的长为半径画弧时不容易操作.ABOC（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.（4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.概念归纳已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分线.结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC画一画如右图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.经过测量我们可以发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论.通过测量你发现了什么规律？已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等结论验证不必证全等∵OC是∠AOB的平分线，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．几何语言：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．概念归纳应用这个性质所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：

证明两条线段相等.证明的书写格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE三者缺一不可，否则不可证明两线段相等PD⊥OA,PE⊥OB，

一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.概念归纳例1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.

典例剖析点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．在△BDE和△FDC中，DE=CD,∠DEB=∠C,BE=FC,∴△BDE≌△FDC,∴BD=DF.证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，

∠C＝90°，∴DE＝DC.1.已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，

DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.练一练

如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（1）求△APB的面积.·AB·PD=28.由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，2.角平分线的性质的应用新知探究ABCPD=（2）求∆PDB的周长.ABCPD=如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解概念归纳猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？

我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3.角平分线的判定定理新知探究如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.证明：作射线OP，

∴点P在∠AOB

角的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的对应角相等）.

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP验证结论角平分的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.概念归纳这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.这个结论可以用来判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．角相等角平分线性质角平分线性质定理的逆定理线段相等这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路. 1.如右图所示，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？思考探究P图上距离500m120000=解：∵∴图上距离=0.025m=2.5cm.如图所示：P点即为所求;理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.

根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.我们任意的在纸上画三个三角形，如下图所示，沿顶点作分别画出三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的三条角平分线都相交于一点由上图，我们分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么规律？我们可以发现，过交点作三角形三边的垂线段相等你可以证明这个结论吗？如右图，已知：△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

结论验证点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

2.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD

与∠ACB

的外角的平分线CE

相交于点P.求证：点P

到三边AB，BC，CA

所在直线的距离相等.证明：如图，过点P证明：如图，过点P作PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，因为△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于P，∴PF=PG，PG=PH，∴PF=PG=PH，∴点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.练一练判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．证明角平分线的“两种方法”(1)定义法：应用角平分线的定义.(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定.判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.MENABCPOD如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求点O到△ABC三边的距离和.点到边的距离即过点作该边的垂线如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OC∵AP平分∠BAC，OE⊥AB，OM⊥AC∴OE=OM（角平分上的点到角两边的距离相等）又∵BD平分∠ABC且OE⊥AB，OF⊥BC∴OE=OF，∴OE=OF=OM，又∵OM=4，∴OE=OF=OM=4∴OE+OF+OM=124.角平分线的判定定理的应用新知探究解：连接OCMENABCPOD

如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题

2.联系角平分线性质：距离面积周长条件概念归纳3.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(

)A．110°B．120°C．130°D．140°A解：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.练一练

点拨：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．内容图形已知条件结论角的平分线的性质PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上概念归纳1.如图，在直线MN

上求作一点P，使点P

到射线OA

和OB

的距离相等.BOANM课本练习解：如图所示2.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD

与∠ACB

的外角的平分线CE

相交于点P.求证：点P

到三边AB，BC，CA

所在直线的距离相等.课本练习证明：过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q.∵CE为∠MCN的平分线，∴PM=PN，同理PN=PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.QNM1.用三角尺可按下面方法画角平分线:在已知的∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M，N作OA，OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么?解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠OMP=∠ONP=90°．在Rt△MOP和Rt△PON中，∴Rt△OMP

≌

Rt△ONP（HL）.∴∠MOP=∠NOP，即OP是∠AOB的平分线．习题12.3证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE，DF分别垂直AB，AC于点E，F，∴DE=DF．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF（HL）．∴EB=FC．2.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,

DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证EB=FC.证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°．又∵∠DOB=∠EOC，OB=OC，∴△DOB≌△EOC（AAS）．∴OD=OE．∴点O在∠BAC的平分线上．∴∠1=∠2．3.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D，E，BE，CD相交于点

O,OB=OC.求证∠1=∠2.证明：∵AD

是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD．

又∵PE∥AB，PF∥AC，

∴∠EPD=∠BAD，∠FPD=∠CAD．∴∠EPD=∠FPD．即PD平分∠EPF．

∴点D

到PE

和PF

的距离相等．4.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上的一点,PE∥

AB,交BC于点E,PF∥AC,交BC于点F,求证:点D到PE和PF的距离相等.证明：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠ODP=∠OEP=90°．又∠DPF=∠DOP+∠ODP，∠EPF=∠EOP+∠OEP，∴∠DPF=∠EPF．在△DPF和△EPF中，

PD=PE，∠DPF=∠EPF，PF=PF．∴△DPF≌△EPF(SAS)．∴DF=EF．5.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点，PD⊥OA,PE⊥

OB,垂足分别为D,E.F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证DF=EF.解：AD与EF垂直．证明如下：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．又∵DG=DG，∴△GDE

≌△GDF(SAS)．∴∠