2021年沪教版数学必修二同步第10讲 向量的概念和线性运算（讲义）教师版

第10讲向量的概念和线性运算

知识梳理

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量；向量的大小叫

向量平面向量是自由向量

做向量的长度（或称模）

零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作d

非零向量。的单位向量为±片

单位向量长度等于1个单位的向量

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线

共线向量d与任一向量平行或共线

向量

两向量只有相等或不等，不能比较大

相等向量长度相等且方向相同的向量

小

相反向量长度相等且方向相反的向量

6的相反向量为6

2.向量的几何运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

力卜

(1)交换律：a+b=b+a

a

加法求两个向量和的运算三角形法则(2)结合律：

(a+b)+c=a+(z?+c).

a

平行四边形法则

求a与6的相反向量一b

—►—►—►-►

减法的和的运算叫做；与了的a-b=a~\~(一b)

a

差三角形法则

⑴；

14al="||a|—►—►

（2）当4>0时，的方

-A-►

〃)曰=久〃

求实数八与向量二的积的向与7的方向相同；当儿(4+3+

数乘

—►

运算<0时，，了的方向与二的a；

方向相反；当4=0时，

4(a+b)=Xa+Ab

久a=0

3.共线向量定理

向量a（a#0）与6共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得6=4a.

例题解析

1、向量的概念

思考1向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示?

答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且

能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.用表示向量的有向线段的

长度表示向量麻勺大小，也就是向量诵的长度（或称模）.记作茄I有向线段痢头表示向量

耐方向.

思考2向量与有向线段有什么区别？

答向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相

同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管

大小和方向相同，也是不同的有向线段.

思考3满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

答长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与6相等，记作a=6.单位向量不

一定是相等向量.

思考4如果非零向量宓与近是共线向量，那么点/、B、a〃是否一定共线？

答点从B、C、〃不一定共线.

思考5若向量;与了平行（或共线），则向量;与了相等吗？反之，若向量;与石相等，则

向量蓑与了平行（或共线）吗？向量平行具备传递性吗？

答向量7与了平行（或共线），则向量;与工不一定相等；向量;与了相等，则向量;与7

平行（或共线）.

向量的平行不具备传递性，即若a//b,b//c,则未必有a〃c,这是因为，当Z?=0时,

二、5可以是任意向量，但若%#0,必有之〃7,工〃5n之〃5.

例1.（2021•浙江高一单元测试）下列说法正确的是（）

A.向量A分与向量而是相等向量

B.与实数类似，对于两个向量有£=a>b^:〈》三种关系

C.两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行

D.若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合

【答案】D

【分析】由相等向量和平行向量的定义进行判断

【详解】解：对于A,向量而与向量而是相反向量，所以A错误；

对于B,因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误：

对于C,当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；

对于D,由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平

行，也可以重合，所以D正确，

故选：D

例2.（2021•全国高一课时练习）下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相

等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形

ABC。为平行四边形，则漏=反，团=丽.其中正确命题的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【分析】零向量的方向是任意的可判断（1）;单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向

线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的

定义可判断（5）,进而可得正确答案.

【详解】对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确.

对于（2）：单位向量只是模均为单位1，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故

（2）不正确.

对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自

由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，

对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；

如图：若四边形A5CD为平行四边形，则=且方向相同，=但方向相

反，所以就与丽不相等，故（5）不正确；

所以正确的有一个,

故选：A.

/7h

例3.（2021•全国高一课时练习）设B都是非零向量.下列四个条件中，使二=二

⑷网

成立的条件是（）

A.a=-bB-allb

C.a=2bD.）〃）且W=W

【答案】C

ab

【分析】根据同、同的含义，逐一分析选项，即可得答案.

ab

【详解】国、恸分别表示与£、区同方向的单位向量，

11a_b

对于A：当”时，,故A错误；

对于B：当二〃力时，若*B反向平行，则单位向量方向也相反，故B错误;

a2bb

对于C：甑=场时,『网=恸故c正确;

当。〃力艮忖二代11a_b

对于D：时，若“=_力满足题意，此时口=一恸，故D错误.

故选：C

例4.（2021•全国高一课时练习）下列关于向量的结论:

（1）若I。|=出|,则£=石或Q=一。；

（2）向量£与坂平行，则［与坂的方向相同或相反；

（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量;

（4）若向量£与B同向，且则£〉坂.

其中正确的序号为（）

A.（1）（2）B.（2）（3）C.(4)D.(3)

【答案】D

【分析】根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量26都是零向量时，山向量平行

得不出方向相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确.

【详解】⑴若|£|斗向，由于海的方向不清楚，故不能得出£=石或工工，故（1）

不正确.

（2）由零向量与任何向量平行，当向量£与加平行时，不能得出々与B的方向相同或相

反，故（2）不正确.

（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）

正确.

（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.

故选:D.

例5.（2021•全国高一课时练习）下面几个命题:

①若a=b＜则M=W；

②若|^|—0,则q=O；

rr

③若Cl—b,则a=Z?；

④若向量2万满足则a=Z?.

allb

其中正确命题的是—

【答案】①

【分析】对于①，由相等向量的定义判断即可；对于②，若W=o,则可得£=6,而不

是向量为零；对于③，当两向量的模相等时，不一定有两个向量相等；对于④，当两共线

向量的模相等时，则这两向量相等或是相反向量

【详解】解：对于①，由相等向量的定义可知，£=石时，则有：=力，所以①正确;

对于②，当同=0时，则有£=6,所以②错误;

对于③，当卜卜”时，£与刃的方向不一定相同，所以③错误;

对于④,当向量£出满足时,有a二1或Q=—h，所以④错误.

allb

故答案为：①

例6.（2021•江苏高一课时练习）已知四边形ABC。中，AB=-DC,且

2

国啊,则四边形加%9的形状是.

【答案】等腰梯形

【分析】由A月弓加，得到A3//C。且网=g|明，得出ABC。是梯形，再根据

|AD|=|BC|.得到四边形ABC。是等腰梯形.

【详解】由题意，向量通=g加，可得AB//CD且力q,

即线段AB平行于线段8,且线段AB的长度是线段CO长度的一半，

所以四边形ABCD是梯形，

又因为|而卜|百弓，所以梯形A5CD的两个腰相等，所以四边形ABCD是等腰梯形.

故答案为：等腰梯形.

例7.（2020•全国高一课时练习）给出下列几种说法：①若非零向量M与5共线，则

d=B；②若向量2与5同向，且|引〉出|,则万＞5；③若两向量有相同的基线，则两向

量相等；④若1//5，b//c＞则其中错误说法的序号是

【答案】①②③④

【分析】根据向量的概念和共线的性质依次判断即可得到答案.

【详解】共线向量模长不一定相等，故①错误；

向量不能比较大小，故②错误；

向量的基线相等，但长度不一定相等，故③错误；

若5=6，则对任何向量N忑都有夕//5,bHc＞但口不不一定共线，故④错误.

故答案为：①②③④.

例8.（2020•湖北武汉市♦高一期中）下列命题中正确的有.（填序号）

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若同=忖，则了=5；

③若丽=反，则A,£C,。四点构成平行四边形;

④在。力腼中，一定有血=反；

⑤若〃=5,b=c>则5=0；

⑥若allb>bile，则allc；

【答案】④⑤

【分析】根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案.

【详解】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起

点和终点，故①不正确；

同=忖，由于5与5方向不确定，所以5与B不一定相等，故②不正确；

AB=DC，可能有4,B,C,〃在一条直线上的情况，所以③不正确；

在口力以,中，AB=CD,AB〃C£>,所以一定有福=反，所以④正确；⑤显然正确；

零向量与任一向量平行，故商/区，引/5时，若加=6,则G与了不一定平行，故⑥不正

确.

故答案为：④⑤.

【点睛】本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个

方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题.

例9.判断下列命题是否正确，并说明理由.

①若a#6,则a一定不与6共线；

②若葩=应；则力、B、C、〃四点是平行四边形的四个顶点；

③在平行四边形4?口中，一定有砺=元；

④若向量a与任一向量b平行，则a=0；

⑤若a=b,b—c,则2=。；

⑥若a//b,b//c,则2〃，.

【难度】★

【答案】①不正确；②不正确；③正确：④正确；⑤正确：⑥不正确.

【解析】两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与。有共线的可

能，故①不正确.②诵=应；/、B、C、。四点可能在同一条直线上，故②不正确.③在平行

四边形46（力中，I布=|虎前与应平行且方向相同，故诵=应；③正确.④零向量的方

向是任意的，与任一向量平行，④正确.⑤a=6,则|a|=|引且a与6方向相同：6=c，则

b=c|且6与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故3=小⑤正确.若6=0,由

于a的方向与c的方向都是任意的，a〃c可能不成立；6W0时，a〃c成立，故⑥不正确.

例10.如图所示，的三边均不相等，氏尺〃分别是4C、AB,比的中点.

(1)写出与旗共线的向量：

(2)写出与标的模大小相等的向量；

(3)写出与砺相等的向量.

【难度】★

【解答】(1)因为区b分别是/C、四的中点，所以"z去秋又因为。是比1的中点，

所以与原共线的向量有：旗~BD,1)B,7)C,CD,BC,~CB.

(2)与标模相等的向量有：~FE,筋，1)8,DC,CD.

(3)与肖相等的向量有：施与办

例H.如图，在平行四边形48勿中，。是两对角线4G加的交点，设点集S=｛4,B,C,

D,。｝,向量集合7=(麻M,NGS,且机N不重合｝,试求集合7中元素的个数.

【难度】★★★

【解答】由题意知，集合7中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，

即砺，AC,A/),花；就BC,~BD,瓦;~CA,~CB,'CD,而；1)A,而,DC,7)0-,OA,~OB,OC,'OD.

由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即痛=应；茄=法而=宓讪=而,崩=

OC,应=而，而=应，灰质1,集合中元素具有互异性，，集合7中的元素共有12个.

【巩固训练】

1.判断下列命题是否正确，并说明理由.

①若向量a与6同向，且|a|>|6|,则a)6：

②若向量Ia|=b,则a与b的长度相等且方向相同或相反：

③对于任意以=|引，且a与6的方向相同，则a=6；

④向量a与向量6平行，则向量a与6方向相同或相反.

【难度】★

【答案】①不正确；②不正确；③正确；④不正确.

【解析】①不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定，即大小与方向,

所以两个向量不能比较大小，故①不正确.

②不正确.由®=b只能判断两向量长度相等，并不能判断方向.

③正确.因为3=6,且a与b同向.由两向量相等的条件可得a=b.

④不正确.因为向量a与向量6若有一个是零向量，则其方向不确定.

2.如图，设。是正六边形/伙/（卯的中心，分别写出图中所示向量与而、仍、“湘等的向量.

ZJII

ZJI.1

【难度】★

【解答】OA=Cb=DO；办=比=质；充=宓=应=而

3.以下命题：①1a与|引是否相等与a,6的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定

是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向

量.其中，正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【难度】★★

【答案】C

4.如图，在四边形川阳9中，荔=比，/KM分别是力。、比1上的点，且用仁加

求证：DN—MB.

【难度】★★

【解答】证明：：而=应，而=1近且加〃徽.••四边形被力是平行四边形，

：.'DA\=\'CB\且的〃龙.又•应与游的方向相同，：.CB=DA.

同理可证，四边形是平行四边形，二方/=而：函=|防，丽=|丽，，|丽=|砺

,/DN//板?且而与砺的方向相同，二面=而.

2、向量的几何运算

思考6向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系?

答向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，

平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而

平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角

形法则和平行四边形法则是统一的.

思考7a+引与|a|和|引之间的大小关系如何？

答当a与b同向共线时，a+Z>与a,6同向，且|a+6=|a+b.

当a与b反向共线时，若［a1>b,则a+b与a的方向相同，且Ia+b—\a\—\b\^若

a<\b\,则a+b与b的方向相同，且|a+b\=b-\a\.

思考8向量减法的三角形法则是什么？

答当把两个向量a,6的始点移到同一点时，它们的差向量a—6可以通过下面的作法得

到：

①连接两个向量(a与b)的终点；②差向量a—b的方向是指向被减向量的终点.

这种求差向量a—6的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，

方向指被减”.

思考9一般地，我们规定：实数幺与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记

作4a,该向量的长度与方向与向量a有什么关系？

答4a仍然是一个向量.

⑴=a；⑵4>0时，4a与a方向相同；儿〈0时，4a与a方向相反；4=0

时，4a=0.方向任意.

思考10向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明

方向相同.你能根据这两条证明4(〃a)=(八〃)a这条运算律吗？

答如果4=0或“=0或a=0,则①式显然成立；

如果4W0,〃W0,aWO,则由向量数乘的定义有

a)|=|A〃a=|4||〃|a,

=a=|4||〃|a,

故r(〃a)|=|(*Qa.

如果人〃同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果儿、〃异号，则①式两边向量的

方向都与a反向.

因此，向量4(〃a)与(/〃)a有相等的模和相同的方向，所以4(〃/=(4〃)&

思考11如图所示，伪，侥是两个不共线的向量，试用e,e表示向量诵，CD,EF,Gil,/K,

a.

X

答通过观察，可得：/42«+36，CD=—ei+4e>,EF—\e\—\ei,

67A=-2a+5e?,//G=2a—5侥，a=-2e.

思考12在等边三角形4%中，试写出下面向量的夹角？

a.AB.ACb.欣万c.成、CAd.AB,BA

答a.石与应的夹角为60°；b.超与Ml的夹角为120°；

c.荡与万的夹角为60。；d.葩与法的夹角为180。.

例1.如图，在平行四边形48徵中，。是/C和M的交点.

⑴功+语=；⑵而+而+赤=j

（3）诵+语+而=；（4）定'+切+反1=.

\\

/SIG.

H时£1

【难度】★

【答案】⑴尼（2）布（3）初（4）0

例2.在正六边形ABCDEF中,亦+砺+4,+涝斗威+崩=.

【难度】★★

【答案】0

［解析］应+砺+CE-\-法+EA+而=（AB+反）+（诙+C/J）+（而+应）+（DE+丽+（旗+应I）

+（语+询=（葩+比+而+施+旗+应I）+（应+而+应+赤,+或+南=0+0=0.

例3.如图所示，在正五边形46CZ）£中，AB—m,BC—n,CD—p,DE—q,EA—r,求作向

量n-q—r.

----3Q

【难度】★★

【解答】延长/C至！1Q.使CQ=AC,则m—p+n—q—r=Gs+n)—(p+g+_r)

^AC-C~A^AC+CQ^AQ.

例4.已知任意两个非零向量a,b,作勿=a+b,0B=a+2b,OC=a+3b.试判断4、B、C三

点之间的位置关系，并说明理由.

【难度】★★

【解答】分别作向量而、灰被过点从C作直线4c(如图).

观察发现，不论向量a、6怎样变化，点8始终在直线力「上，猜想/、B、C三点共线.

因为罚=应一应=(a+26)-(a+6)=b,AC=OC-OA=(a+36)-(a+6)=26,

故有五三2次因为而〃葩，且有公共点/，所以4、B、,三点共线.

例5.设e”金是两个不共线的向量，逾=2e、+ke”应=8+3身，CD=2e}-e>,若A,B,D

三点共线，求力的值.

【难度】★★

【解答】若4B,〃三点共线，则正与应共线，所以可设葩=4壶

又因为B/)=CD—CB=(2e］一包)一(ei+3a)=&-4a,

所以2ei+%a=4(ei-4e),即(44+4)e>—(4—2)e

因为e,a是两个不共线的向量，

A—2

若44+AWO,则&=7^8,于是8与e,是共线向量，与已知条件矛盾;

44~T~K

若4—2W0,则&=二号金，于是a与包是共线向量，与已知条件矛盾，

人一Z

[4.+女=0,

所以L故4=2,k=-8.

[4-2=0,

例6.设亦丽不平行，点P在A3上O存在实数％〃使得而=%况+〃而

且丸+从=1（九〃eR）

【难度】★★

【解答】如图，设向量而=〃而，PB=AAB,

•/AP+P3=A3=2+4=1

而=乐+而=况+〃而=0A+〃（08_0A）=。_以）砺+4万

=AOA+^iOB【人〃的正负可以给学生讲一下】

反过来的证明？

若丽=4次+〃而且几+〃=1（尢〃€/?）,

即加=几方+（1—/05^,

故而一丽=2苏-2无，即丽=2而，所以A、B,P三点共线，即点尸在A8上

例7.如图，已知△/比■中，。为比'的中点，E,尸为勿的三等分点，若诵=a,'AC=b,G是

△46C的重心，（1）用a、5表示森、AE.AF,AG,CG.（2）证明•不+旃+。存=0

【难度】★★

【解答】（1）^=46+^?=荔+；应1=a+；（6-a）=；a+16：

~AE—~AB+~BE—~AB+^BC—a+(b—a)=^a+；6；

~AF=葩+诉=~AB-\-^BC=a+1(Z)—a)—\a+^;b.

(2)如图，若G为A4BC重心，由重心的性质可知P、M、N分别为所在边的

中点，且AG:GN=2:1,即AG=2GN,由向量的平行四边形法则可知GB+GC=2GN,

即历+三=而，所以北+前+1=0.

例8.己知。是线段AB外一点，若。4=£,OB=b.

(1)设点4、&是线段AB的三等分点，△。/见、△。44及的重心依次为

GPGrG3,试用向量£、石表示西'+*+*；

(2)如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.

【难度】★★

【解答】(1)OG}+Oa+OG^=a+b，

(2)西+闻+…+OG1=和+而

例9.如图所示，设M,N为内的两点，且就4荔+紧，了泊翔+吴，则△制/的

面积与△/L8A；的面积之比为.

【难度】★★

【答案】2:3

【解析】如图所示，设万三；通AQ=7：AC9则赢三苏+而

"J.J

由平行四边形法则知，「监〃｛氏

例10.如图所示，。为△4%的外心，〃为垂心，求证：O^OA+OB+OC.

【难度】★★★

：.CH//DA,MI//DC,故四边形力//⑦是平行四边形.

:前1=1立又应一应'一旗应斗宓,

Bl=OA+而=OA+DC=OA+OB+OC.

例11.如图所示，在△力比1中，点材为4?的中点，且44)怆或，与CV相交于点£,设赤

=a,~AC=b,试以a,6为基底表示花

【难度】★★★

【解答】(方程思想在平面向量的线性运算中的应用)•.•就前/=5葩="a,

由1E,8三点共线知存在实数才满足诵一乂万+(1—4)荔=；4b+(l—4)a

由C,"三点共线知存在实数〃满足症=〃葡什（1一"）（1-P）A.

~21

解得《；・AE=^a+三b.

□□

【巩固训练】

1.设£是平行四边形力解外一点，如图所示，化简下列各式:

⑴匠+必=⑵砺+茄+应=；

(3)DE+CB+EC=（4）瓦1+砺+应+症=.

【难度】★

【答案】⑴应（2）0⑶而（4）加

2.在边长为1的正三角形力回中，1诵一击|的值为（）

A.1B.2C.乎D.小

DC

AB

【难度】★

【答案】D

【解析】作菱形/腼，^\\AB-BC\=\AB-M=丽=木.

3.a,6为非零向量，且|a+5|=|a|+|b|,则（）

A.a〃b,且a与b方向相同B.a,力是共线向量且方向相反

C.a=bD.a,6无论什么关系均可

【难度】★★

【答案】A

4.若0是AABC所在平面内一点，且满足|砺—无卜|砺+花—2砺］,则AABC的形

状为一

【难度】★★

【答案】直角三角形

5.）工为不共线的向量,设条件M工J.（D）；条件N：对一切xeR,不等式

a-xb>a-b恒成立.则/是N的条件.

【难度】★★

【答案】充要条件

6.设向量。=2a—36,n=A,a-2b,p=3a+2b,若用％n表示p,则p=

【难度】★★

71?

【答案】一五十五77

4o

【解析】设p=x®+以,则3a+26=x(2a—32?)+y(4a—2b)=(2x+4y)a+(—3%—2y)b,

'2x+4y=3

得=>

[-3x~2y=213

F

7.如图，平面内有三个向量而、位应:其中应与丽］夹角为120。，而与诧的夹角为30°,

且I而=|曲=1,I赤1=2#,若应'=AOA+POB(A,〃GR),则，+〃的值为

【难度】★★

【答案】6

【解析】如图，以的、仍所在射线为邻边，宓为对角线作平行四边形切解则龙=茂叶及

在Rt△©中，应1=24，N6W=30°,40cg90°,

,而|=4,|而|=2,故展4应，龙=2次即八=4,〃=2,二4+〃=6.

8.已知两个非零向量ei和会不共线，如果4?=2&+3&,6C=6a+23e：,C9=4ei—8a”求

证：/、B、〃三点共线.

【难度】★★

【解答】证明：：比=6«+23金，灰48—8的，

旗友,+尻(6e,+23ft)+(4el-8ft)=10el+15ft.

又•.•92a+3金，.•.林5崩，

茄、反共线，且有公共点反；.从B、。三点共线.

9.在平行四边形4%》中，AB=a,AD=b,

(1)如图1,如果£,尸分别是8C,ZT的中点，试用a,b分别表示丽DE.

(2)如图2,如果。是力C与必的交点，G是加的中点，试用a,b表示通.

【难度】★★

【解答】⑴赤'=赤+%=砺+;而=通-)宿=一9+6.DE^DC+CE=Ak-^Ab=a-7：b.

乙乙乙乙乙

⑵瓦H砺一茄=6—&:。是9的中点，G是〃。的中点，：.BG=3^D=^3{b~a),

AG—AB+BG=a+7(b—a)=%+%.

444

10.如图所示，在平行四边形/物中，点"是的中点，点N在加上，旦BN=、BD.

0

求证：材、M，三点共线.

【难度】★★★

【解答】证明：设加=a,BC=b,则由向量减法的三角形法则可知：ai=B\l-~BC=^BA-BC

=:a-b.又•.•“在劭上且BD=3BN,：.丽.;而=[(反+应(a+6),

/<5oo

GV—BA'—丘=((a+6)—b—^a—^b=^~^a—6),/.

又•.•康与扇的公共点为C,M、％三点共线.

10.(1)在AOAB中，点尸、Q分别在Q4、OBh,线段PQ过三角形ABO的重心G,

设d=2,OB^h,OP^ma,OQ=nb,试求'士的值.

mn

(2)在A4BC中，点M是AB的中点，点N是AC上一点，且网=』，BN与CM相

AC3

交于点E,设通=M,AC=b,试用爪5表示Z后.

【难度】★★★

___21-

【答案】(1)3；(2)A,E=—o,H—h.

55

11.如图所示，已知D是面积为1的4ABC的边AB上任一点，E是边AC上任一点，连接DE,

F是线段DE上一点，连接BF,设AE=A2AC(DF=%DE,且

，，，*1*__

’-2,记△BDF的面积为s=/（4，%，4）,则s的最大值是（）

1111

2-3-4-8-

3氏

B>

【难度】★★★

【答案】D

12.如图：在△A5C中，M为BC上不同于3、C的任意一点，点N满足

AN=2NM,

^AN=xAB+yAC,则犬+9）’的最小值为

【难度】★★★

_________2___.____3__►3__►

【答案】AN=xAB-}-yAC=-AM,：.AM=-xAB+-yAC,VB,M、C三点共

322

33222

线，；.+jy=1,即x+y=§,x2+9y2=x1+9(--x)2-10x2-12x+4>—.

3、向量的坐标运算

思考14

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量入，是两个互

相垂直的单位向量，向量a与，的夹角是30°,且®=4,以向量八）为基底，向量a如

何表示？

答a=2y^i+2j.

思考15已知点4（刘，弘）,B〈X"度），那么向量前的坐标是什么？一般地，一个任意向量

的坐标如何计算？点的坐标与向量的坐标有何区别？

答功=(及一为，y2-y,).任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减

去始点坐标.

(1)向量a=(x,y)中间用等号连接，而点的坐标/f(x,y)中间没有等号.

(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同.

(3)在平面直角坐标系中，符号(x,y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点

(*,y)或向量(x,y).

思考16当*4荻，点。的坐标是什么？

答：尻海+用三原+，所=而+八(旗一明=苏十[良一乂羽

.~宓+XOP，1、，1，、(11}A，、

0P=-1+A-=]+.(汨'%)+]+H(如㈤=11+尸1+.开尸(1+产，1+Ay2)

(x\+x-iy\+Ay2\./拓+八显必+力川

=11+0，1+1/•'51+4'1+A\

例1.若丽=(2,4),XC=(1,3),则与与C共线的单位向量为.

【难度】★

【解答】I——2，——2J和I---2--，----2-J

例2.已知a=(―2,3),b=(3,1),c=(10,—4),试用a,力表示c.

【难度】★

【解答】设c=xa+yb,则(10,—4)=x(-2,3)+y(3,1)=(―2x+3p,3x+y),/.

10=-2x+3y,

-4=3x+y,

解得x=-2,y=2,c=—2a+2b.

例3.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=4a+〃b(X,〃£R),求《的

值.

【难度】★★

【解答】以向量a和8的交点为原点建立直角坐标系，则a=(—1,1),b=(6,2),c=(一

1,—3),根据。=久3+〃6=>(—1,—3)=4(-1,1)+〃(6,2)有一4+6〃=—1,几+2

〃=—3,解之得4=—2且〃=一；,故q=4.

例4.己知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7),(4,6),(1,一2),求第四个顶点的坐

标.

【难度】★★

【解答】不妨设履3,7),6(4,6),(7(1,-2),第四个顶点为〃(x,y).则/、B、C、〃四点

构成平行四边形有以下三种情形.

⑴当平行四边形为4?切时，~AB=~DC,.*.(4,6)-(3,7)=(1,-2)—(*,y),

[一x=l,{x=0,

A."(0,-1).

—2—y=­1,[y=-1.

(2)当平行四边形为/即7时，仿(1)可得〃(2,-3).

(3)当平行四边形为4Z%时,仿(1)可得〃(6,15).

综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0,-1),(2,-3)或(6,15).

例5.已知OP=(cos8,sine),OQ=(l+sinai+cos8)(OW。<))，求的取值范

围.并指出。为何值时，|可|取得最大值.

【难度】★★

【解答】|耳卜[0,#],当"今时，।①L=#

例6.已知三点4(1,2),8(2,4己C(3,已共线,试求皿的值.

【难度】★★

【解答】/方=(2,4)—(1,2)=(1,2)./7=(3,®)-(l,2)=(2,m-2).

'：A,B,「三点共线，即向量/万，共线，，存在实数4使得/万=

2/1=1,A=-,

即(1,2)=1(2,m—2)=(24，入/〃—24).:="

4m-2久=2c

、0=6.

即勿=6时，4B,，三点共线.

例7.设向量。4=(1,—2),。8=(〃,—1),。。=(—"0),其中。为坐标原点，a>0,b>0,

1?

若A氏。三点共线，则一+7的最小值为

ab

【难度】★★

【解答】8

例8.平面内给定三个向量a=(3,2),6=(—1,2),。=(4,1),请解答下列问题：

(1)求满足8=泌+〃。的实数力，〃；

⑵若(a+k?)〃(28—a),求实数上

(3)若d满足(d—c)〃(a+b),且Id—。1=十，求d.

【难度】★★

rm=­5

[―Z»+4/J=39

【答案】(1)由题意得牡2)=/(-1,2)+〃(4,1),所以。，°，得〈°.

[2m+n=28