2020-2021学年高一数学下学期（人教A版2019必修第二册）期末测试

2020-2021学年高一数学下学期

期末测试01

满分：100分时间：60分钟

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。

1.如图，延长正方形ABC。的边CD至点E,使得OE=CQ,动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针

方向运动一周后回到点A,若/=4通+〃而，则下列判断正确的是（）

B.满足％+〃=1的点P有且只有一个

3

C.满足2+〃=3的点P有且只有一个D.•的的点尸有且只有一个

【答案】C

【详解】

如图建系，取A5=l,.•,屈=诟+朝=而一通，

AP=AAB+/J.AE=（4_〃）AB+//AD=（2—//）（1,0）+//（0,1）=（2—//,//）,

动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，

当尸eAB时，有—且〃=0,/.0<2+//<1,

当PeBC时，有九一〃=1且则九=〃+1,...1W/IV2,...1<彳+〃<3,

当PwCD时，有0W4一〃VI且〃=1,则〃.•JW4W2,•••2«/1+〃43,

当PeAD时，有九一〃=0且OW"K1,则4=〃，.•.0</1式1,.*.0<2+//<2,

综上，0</1+〃<3,

选项A,取义=〃=1,满足4+〃=2,此时Q=通+通=而，因此点尸不一定是5c的中点，故A

错误;

选项B,当点P取5点或AD的中点时，均满足九+4=1,此时点尸不唯一，故B错误；

选项C,当点P取。点时，几一〃=1且〃=1,解得a=2,X+〃为3,故C正确；

3

选项D,当点尸取8C的中点或。E的中点时，均满足九+〃=5，此时点P不唯一，故D错误：

故选：C.

2.在AABC中，B=-,C=—,AC=2y/6,AC的中点为。，若长度为3的线段PQ（P在。的左侧）

412

在直线BC上移动，则AP+OQ的最小值为

人V30+2V100V3O+3VW

22

C而+4质D病+5屈

•2'T~

【答案】B

【详解】

2瓜_BC_AB

由正弦定理可得二方=正=五+C,BC=6,AB=3C+瓜

TT-4-

以BC所在直线为x轴，则A（0,3+百），P（a,0）,Q（a+3,0）,D（^^m,*g）

则AP+OQ表示x轴上的点p与A和（一苦叵,史老）的距离和,

.£ITH-7J-.£4.IJ.z3+s/33+5/3.v工j“匕工L/3+^33+

利用对称性，（一"一--一--）关于x轴的对称点为E（------,-----一）,

病+39

可得AP+DQ的最小值为AE=

2

3.已知三棱锥S—ABC的四个顶点都在球。的表面上，且S4_LAC,54_143,若已知45=2,BC=4,

ZABC=60°,S4=6,则球。的体积是（）

【答案】c

【详解】

由AB=2,5C=4,ZABC=60°,则由余弦定理有:

|AC|2HA5|2+|5C|2-2\AB\\BC\cosZABC^U,即|AC|=26,

由正弦定理知△ABC的外接圆半径：r=-=2,

sin60°

由题意知：SAJ•面ABC,又S4=6,三棱锥5—ABC的外接球半径:

由球的体积公式，有：丫=±乃尺3=当叵

33

故选：C

4.己知数据1,2,3,4,x(0<x<5)的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之

积大于5的概率为

2137

A.-B.-C.-D.—

52510

【答案】B

【详解】

分析：由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计

算公式即可求得最终结果.

1+2+3+4+无x

详解：由数据1,2,3,4,x(0<¥<5)的平均数----------------=2+—G(2,3),

x5

可得2+—=x,所以户一，从这5个数中任取2个,结果有:

(1,2),1,1,(1,3),(1,4),

1'2),(2,3),(2,4),

纠，(3,4)

共10种，这2个数字之积大于5的结果有:

(2,3),(2,4),e,3),(|,4),(3,4),共5种，

所以所求概.率为/?=—=—.

102

本题选择8选项.

5.若-^上为纯虚数，则实数。的值为()

3+2/

32八23

A.--B.--C.一D.-

2332

【答案】C

【详解】

=a-i(o—z)(3—2z)(3a—2)—(2a+3)i

由题得

3+2z(3+2z)(3-2z)13

因为--为纯虚数,

3+2/

3a—2=02

则＜,所以a=一

-(2a+3)w03

故选：C

z.

6.在如图所示的复平面内，复数4Z3对应的向量分别是Q4，0B-0C，则复数7；一工一对应

Zz,+

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

分析：由图形得到复数4，z2,Z3,然后进行四则运算，即可求出此复数对应的点.

z,l-2i11.

详解：由题图知4=3+2i,z=-2+2i,Z3=l-2i,则^-------=~---T-yz1,

224+3z21ch510

所以其在复平面内对应的点为（一!，一A），在第三象限.

故选C

7.在复平面内，一个正方形OACB的三个顶点A,B,。对应的复数分别是l+2i,-2+i,0,那么这个

正方形的顶点C对应的复数为（）

A.3+iB.3-iC.l-3iD.-l+3i

【答案】D

【详解】

：OC=OA+OB，

：.oc对应的复数为:l+2i-2+i=-l+3i,

.•.点C对应的复数为-l+3i.

故选D.

8.在斜三棱柱ABC—4gG中，ZACB=90SABt±BC,则用在底面ABC上的射影“必在（)

C

A.直线AC上B.直线8c上C.直线AB上D.AABC内部

【答案】A

【详解】

连接4耳,VZACB=90°...BCLAC,

BC±ABX,ABtQAC=A,A^,ACu平面A与C,

.•.8C_L平面AB。,

•.•BCu平面ABC,所以，平面ABC,平面AB。，

过点B］在平面AgC内作B.E1直线AC,垂足为点E,

•.•平面A3C_L平面AB。，平面A8CD平面A8|C=AC,5,£1AC,&Eu平面AB',

所以，81E_L平面ABC,则点E即为点H,因此，点“在直线AC上.

故选：A.

9.已知平面图形PASCO,A88为矩形，AB=4,是以尸为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将

△Q4D沿着AO翻折至△PA£＞，当四棱锥P-A5co体积的最大值为华，此时四棱锥户一A6CD外

接球的表面积为（)

A.12万B.16万C.24"D.32万

【答案】C

【详解】

取AD的中点E,连接PE,由于△「'"＞是以P为顶点的等腰直角三角形，则PE_LAD,

设AD=x,则P'E=—AD=—x,

22

设二面角P—A。一3的平面角为6,则四棱锥P—ABCD的高为〃='xsine,

2

当。二90。时，然”=耳不，

矩形ABC。的面积为S=AZ）=4x,Vy-ABCD=—ShW—x4xx—x=—x2,=—,解得无=2\^.

33233

将四棱锥尸'一ABCD补成长方体P'AMD-QBNC,

所以，四棱锥P-ABCD的外接球直径为22?=P'N=y/p'A1+P'D1+P'Q2=yjAD2+AB2=276,则

R=底,

因此，四棱锥P-A3co的外接球的表面积为4万尺2=24万.

故选：C.

10.在下面四个正方体ABCD—AB'C'。'中，点、M、N、P均为所在棱的中点，过M、N、P作正方

体截面，则下列图形中，平面M/VP不与直线AC垂直的是（）

A.

C.D.

【答案】A

【详解】

对于A选项，连接B'C,假设ACJ_平面MNP,

在正方体A3CQ—A'3'CZ)'中，A'B'工平面BB'C'C,8'Cu平面BB'C'C,二AB'，B'C,所以,

VA'3'C为直角三角形，且NA'CB'为锐角,

因为M、N分别为88'、BC的中点，K'lMNUB'C,所以，MN与AC不垂直，

这与A'C_L平面矛盾，故假设不成立，即A'C与平面MNP不垂直：

对于B选项，连接87)'、AC',如下图所示：

因为四边形A'B'C'D'为正方形，则A'C'±B'D',

CC平面A'B'C'D',B'D'u平面A'B'C'D',:.CC1,B'D',

AC'ACC'=C,3'。'_L平面ACC',

•.•ACu平面A'CC',.•.ACJ_8。,

•.•M、P分别为A3'、AD的中点，则MN〃B'D',可得MP_LAC,

同理可证ACJ_MN,

•：MPcMN=M,：.A'C上平面MNP：

对于C选项，连接C'。、A'N、CN、A'P.PC,取A'B'的中点E,连接C'E、PE,

因为四边形CCUD为正方形，则C。'，CD,

•.AD'J_平面CCD。，C'Du平面CCD'D,C'D上A'D',

.•.Cr)_L平面AC。'，

•.•4。＜=平面4'8',，4。，。7),

•.•M、N分别为DU、C'D的中点、，：.MN//CD,：.A:C1MN,

在正方形A3'C'。'中，E、N分别为A'3'、C'。’的中点，.•.A'£；〃C'N且AE=C'N,

所以，四边形A'EC'N为平行四边形，所以，AN〃C'E且AN=C'E,

同理可证四边形CC'EP为平行四边形，CE//CP且CE=CP,

所以，代NHCP且代N=CP,所以，四边形APCN为平行四边形,

易得A'N=CN,所以，四边形APC7V为菱形，所以，AC1PN,

•，MNCPN=N,：.A'C上平面MNP；

对于D选项，连接AC、BD,

因为四边形ABCO为正方形，则

♦.A4'd_平面ABC。，BDu平面ABC。，A4_LBO,

•.♦ACcA4'=A,平面A4'C,

ACu平面A4'C,ACBO.

、N分别为CD、8C的中点，则MN//BD,:.A'C工MN,同理可证AC_LMP.

•;MNcMP=M,:.AC上平面MNP.

故选：A.

11.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名

学生的数学成绩，发现都在[80,15()]内现将这100名学生的成绩按照[80,90),[90,1(X)),[100,110),

[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正

确的是()

A.频率分布直方图中a的值为0.04()

B.样本数据低于130分的频率为0.3

C.总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分

D.总体分布在［90,1（X））的频数一定与总体分布在［1（X）,110）的频数相等

【答案】C

【详解】

由频率分布直方图得：

（O.（X）5+0.010+（）.010+0.015+。+0.025+O.（X）5）xl0=l,

解得a=0.030,故A错误;

样本数据低于130分的频率为：1-（0.025+0.005）*10=0.7,故8错误；

［80,120）的频率为：（0.005+0.010+0.01（）+0.015）x10=0.4,

［120,130）的频率为：（）.030x10=0.3,

05-04

二总体的中位数（保留1位小数）估计为：120+————xl0al23.3分，故C正确：

0.3

样本分布在［90,1（X））的频数一定与样本分布在［100,110）的频数相等，

总体分布在［90,1（X））的频数不一定与总体分布在［1（X）,110）的频数相等，故力错误.

故选：C.

12.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，"，〃，记。=加+”,则下列说法正确的是

A.事件>=12”的概率为工B.事件是奇数”与“加=〃”互为对立事件

21

C.事件）=2"与3”互为互斥事件D.事件）>8且m<32”的概率为L

4

【答案】D

【详解】

对于A,f=12=6+6,则概率为选项错误；

6636

对于B,"f是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数，选项错误；

对于C,事件=2”包含在“f。3”中,不为互斥事件，选项错误；

对于D,事件”f>8且加n<32"的点数有:（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,共9

91

种，故概率为----=一，选项正确；

6x64

综上可得，选D.

第n卷（非选择题共40分）

二、填空题：本题共计4小题，共计16分。

13.在△ABC中，有以下四个说法：

①若AABC为锐角三角形，则sinA<cosB；

②若A>3，贝!lcos2A<cos23；

③存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍；

④存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍；

其中正确的说法有（把你认为正确的序号都填在横线上）.

【答案】②③

【详解】

对于①：AABC为锐角三南形，则A+B>工，即巴>A>三一8>0,又丫=4"在上单调递增，所

222

以sinA>sincosB,故①不正确;

对于②：若A>8,又，A+B<〃，所以0<3<4<万一8<乃，又丁=以冶］在（0,4）内单调递减,

所以一cos3=cos（乃一3）vcosAvcos8,所以|cosA|<|cos3|,所以cos?A〈cos?3,

即2cos2A-lv2cos25一i,所以cos2A<cos28,故②正确；

对于③：设三边长为〃一1,〃,〃+1,〃为大于1的正整数，对角分别为4、B、C,若C=24,从而

cosC=cos2A=2cos2A—1,

+(n-l)2-(n+l)2_n-4rr+(n+l)--(n-1)2〃+4

而cosC=,cosA-,所以

2(-1)2(〃+l)

源［器jT，解得〃=5（-可舍去），

所以存在三边为连续自然数4,5,6的三角形，使得最大角是最小角的两倍，故③正确;

一不“一…,〃+1csinCsin3A_一24

对于④：若。=3A,由正弦定理何----=—=-=—；----=3-4sin~A,

n-\asinAsinA

nhsinBsin("一A-3A)sin4A,/8.2「不,％

——=—=------=——---------------=--------=4cosA(1-2sin~A),由此两式洎去sin2A仔4cosAA=〃,

-1asinAsinAsinA'7

2

,A..n+(/?+l)'-(n-1)'n+4,..,

又由余弦定理得4cosA=4x--------------------------=4x=n,n2—n—8=0,而该方程无正整

2〃.("+1)2(〃+1)

数解，所以这样的三角形不存在，故④不正确；

故答案为：②③.

14.如图，已知在正方体ABCD—AMG。中，A5=4,点E为棱CC上的一个动点，平面BE"与棱

交于点F，给出下列命题：

①无论E在CG如何移动，四棱锥耳-BEQE的体积恒为定值；

②截面四边形BEQR的周长的最小值是86；

③当E点不与C,G重合时，在棱A。上恒存在点G,使得CG〃平面6ER；

④存在点E，使得耳。，平面ARE；其中正确的命题是

【答案】①@④

【详解】

解:①由题意可得〃BE,BF〃D、E,如图建立坐标系:

7

AF=CtE,四边形"EB/为平行四边形

…°0EB-°AD\FB

…VB「BEDF=2VB「BEDI

又••・丹iW=沁泗・4（4为E到平面ABBl距离）且CG〃BB,

.-.cc,上点到平面。乃与距离相等

••・无论E在CG上何处，4不变

**-VB「BEDI不变

*,*1-SERF不变

故①正确

②由①知：四边形2上3厂的周长=2（|2同十|七同）

设|。闽=加，则0闽=，42+/,|£B|=^42+（4-/n）2

等价于y=4上点（m,4）到（0,0）与（4,0）距离

此时m=2

\DtE\=2y[5

二周长最小为4x2j5=8石

故②正确

③在D[F上寻找一点H,使H到AD的距离为CE距离

：.HE//CG,且HE在平面已防中

但当CE<2时，GE=AF>2,HG=CE<2与HG>AF>2矛盾

故③错误；

A

④当E与C重合时，显然4OADt,BQ八AC

BQJ.平面ARE

故④正确

综上可得:正确为①②④.

故答案为:①②④.

15.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5

天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）

①甲地5个数据的中位数为24,众数为22；

②乙地5个数据的中位数为27,总体均值为24：

③丙地5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8.

则肯定进入夏季的地区有.

【答案】①©

【详解】

①甲地：5个数据的中位数为24,众数为22,根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能

为：22、22、24、25、26,其连续5天的日平均气温均不低于22;

②乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为24,当5个数据为19、20、27、27、27,可知其连续5

天的日平均温度有低于22,故不确定；

③丙地：5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,若有低于22,假设取21,此时方差就超出了1（）.8,

可知其连续5天的日平均温度均不低于22,如22、25、25、26、32,这组数据的平均值为26,方差

为10.8,但是进一步扩大方差就会超过10.8,故③对.

则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①@.

16.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机

取出一球放入乙罐，分别以和43表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机

取出一球，以5表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论

的编号）.

2

①P（8）=w；

②P（B|A）=（；

③事件B与事件A相互独立；

④4,A2,4是两两互斥的事件；

⑤P（B）的值不能确定，因为它与4,4,4中哪一个发生有关

【答案】②©

【详解】

由题意可知事件A,，&，43不可能同时发生，则4，42，43是两两互斥的事件，则④正确;

544

由题意得P（BIA）=2P（BI4）=H，P（BIA）=H，故②正确;

P（5）=P（A8）+P（4B）+P（A8）=P（A）P（5|4）+P（d）尸（8I4）+P（4）P（5IA）

5524349

一X--1---X---1---X——，①⑤错;

10111011101122

5599

因为P（AB）=—，P（A）P（B）=—x——=——,所以事件B与事件Ai不独立，③错；综上选②④

22102244

故答案为：②④

三、解答题：本题共计4小题，共计24分。

17.己知复数z=l+,位（i是虚数单位，msR）,且J（3+i）为纯虚数（三是z的共轨复数）.

（1）设复数马=吧2,求㈤；

[—1

2m

（2）设复数Z2=aU-i—,且复数Z?所对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

Z

【答案】（1）|4|=返；（2）a>-

11123

【详解】

z=l+mi,:.z=1-mi■z-(3+z)=(1-mi)(3+z)=(3+/n)+(1—3m)i.

-3+m=0

又：z<3+i)为纯虚数，.，解得，"=-3..>.2=1-3/.

l-3/n^0

—3+2z51...।V26

2,=—~i,••Iz,I=-----

a—i(a+3)+(3a—l)z

(2)Vz=l-3z,

7^3/-io-

又,/复数z2所对应的点在第一象限,

a+3>01

,解得:a>-.

3«-1>03

18.如图，棱柱48CO-A与GQ中，底面ABCD是平行四边形，侧棱A&J•底面过AB的截

面与上底面交于PQ,且点尸在棱AA上，点。在棱G片上，且A5=l，AC=6,BC=2.

⑴求证:PQ//AR；

（2）若二面角A-G。-。的平面角的余弦值为2叵，求侧棱的长.

19

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【详解】

（1）在棱柱ABCD-A&GQ中，ABH面4片GA,ABi面ABPQ,

面n面ABPQ=PQ,由线面平行的性质定理有AB//PQ,

又AB〃A4,故尸。〃AB/

（2）证明：在底面ABC£>中，AB=\,AC=6BC=2.

AB2+AC2=BC2,：.AB±AC,AC1CD

又因为侧棱AA1底面ABCD,则CC11底面ABCD

ACu而ABBlAl,CC,_LAC

又canco=c,，AC_L面cr>RG

过点C作CS_LG。于s,连接A5,则NCSA是二面角A—G。—。的平面角.

cosNCSA=,cos2NCSA+sin2NCSA=1,

19

则sinNCSA=理，故tanNCSA=叵,

V192

tan/CSA=^=^=回：.cs2

2CSCS6

设CG=x,则£ccQ=g.GOCS=gc£)CG

_____x2

・♦・ECS=X'3讨=忑

故CCj=2,故BB[=2.

19.已知AAOB中，边。A=0,OB=y/3,令丽=%砺=5,万・5=1,过AB边上一点＜（异于端点）

引边。B的垂线60,垂足为Q,再由。引边。4的垂线。内，垂足为凡，又由R1引边A8的垂线R冏，垂足

为，设砺=4巧—£）（0＜：＜1）.

UL11

⑴求|A例；

----2-

（2）证明：BQt=--（l-0Z?；

（3）当4、鸟重合时，求A《Q因的面积.

【答案】（1）百：（2）证明见解析；（3）正.

32

【详解】

（1）在AaiB中，因为04=血,08=百，且砺=£,砺=6,

可得忖=0,W=G,ab=1,

则府卜忸-4第2+同。2£石=3,所以|祠=6.

（2）由（1）与已知，可得|AQ=6,|。4=\/5,|0q=J3,

阿2+西2一0Al_3+3-2_2

由余弦定理可得cosNAB。=

2网通-2XV3XV3-3

又因为|丽|=4B_q=氐,则।瓯|=|荏|一|福|=6-GA,

―►2一

则|BQ|=|B^|COSZABO=_4),所以BQ、.

ab11

（3）由已知可得cosN3OA=

忖卡|V6'

因为|O@=|A3]=J^,所以cosN8AO=,

NBOA=百一地(1—fJ

|网=函］侬/804（国-阿cosX表嗑。+2/J，

因为|砧|=I砥IcosZBAO=(|砺H靖。cosZBAO

［及一击（1+2切*=加5一2%）,

A用I115

所以q=p~~q-=——(5—2/j)=—4H—,

2\b--a^\18'9118，

当％£重合时，4=/2,解得6=—<4+得，解得6=；,

——•1_

此时BQ}———Z?,

73■当M=网|=乎，国4|=3乎72