吉林省榆树市榆树一中2025届数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析

吉林省榆树市榆树一中2025届数学高一上期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间单调递减；③在有个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（）A.①②④ B.②④C.①④ D.①③2．已知扇形的周长是6，圆心角为，则扇形的面积是（）A.1 B.2C.3 D.43．已知向量，，则与的夹角为A. B.C. D.4．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（）A.0B.1C.-1D.±15．若函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B.C. D.6．当时，若，则的值为A. B.C. D.7．函数的零点一定位于下列哪个区间（）.A. B.C. D.8．计算：的值为A. B.C. D.9．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（）A. B.C. D.10．已知偶函数的定义域为且，，则函数的零点个数为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，若，则实数的取值范围为__________12．设是第三象限的角，则的终边在第_________象限.13．的值为________14．若关于的方程只有一个实根，则实数的取值范围是______.15．函数定义域为____.16．已知正数a，b满足，则的最小值为______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，求此几何体的体积18．已知函数（1）若的定义域为，求实数的值；（2）若的定义域为，求实数的取值范围19．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，点E为线段BC的中点，点F在线段AD上，且EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，点P为几何体中线段AD的中点（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ACF；（Ⅱ）证明：CD∥平面BPE20．已知函数（且）的图像经过点.（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.21．已知函数.（1）求函数的最大值及相应的取值；（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；（3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；去绝对值，利用余弦函数的单调性可判断出命题②的正误；求出函数在区间上的零点个数，并利用偶函数的性质可判断出命题③的正误；由取最大值知，然后去绝对值，即可判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，命题①为真命题；对于命题②，当时，，则，此时，函数在区间上单调递减，命题②正确；对于命题③，当时，，则，当时，，则，由偶函数的性质可知，当时，，则函数在上有无数个零点，命题③错误；对于命题④，若函数取最大值时，，则，，当时，函数取最大值，命题④正确.因此，正确的命题序号为①②④.故选A.【点睛】本题考查与余弦函数基本性质相关的命题真假的判断，解题时要结合自变量的取值范围去绝对值，结合余弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.2、B【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，先由周长求出半径和弧长，即可求出扇形的面积.【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，因为圆心角为，所以.因为扇形的周长是6，所以，解得：.所以扇形的面积是.故选：B3、C【解析】利用夹角公式进行计算【详解】由条件可知，，，所以，故与的夹角为故选【点睛】本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，熟记公式准确计算是关键，属于基础题4、B【解析】根据题意，由{a，，1}={a2，a+b，0}可得a=0或=0，又由的意义，则a≠0，必有=0，则b=0，则{a，0，1}={a2，a，0}，则有a2=1，即a=1或a=-1，集合{a，0，1}中，a≠1，则必有a=-1，则a2012+b2013=（-1）2012+02013=1，故选B点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，集合的表示常用的有三种形式：列举法，描述法，Venn图法.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.5、B【解析】由题设可得，根据已知对称性及余弦函数的性质可得，即可求的最小值.【详解】由题设，关于轴对称，∴且，则，，又，∴的最小值为.故选：B.6、A【解析】分析：首先根据题中所给的角的范围，求得相应的角的范围，结合题中所给的角的三角函数值，结合角的范围，利用同角三角函数的平方关系式，求得相应的三角函数值，之后应用诱导公式和同角三角函数商关系，求得结果.详解：因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以答案是，故选A.点睛：该题考查的是有关三角恒等变换问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式中的平方关系和商关系，以及诱导公式求得结果.7、C【解析】根据零点存在性定理可得结果.【详解】因为函数的图象连续不断，且，，，，根据零点存在性定理可知函数的零点一定位于区间内.故选：C【点睛】关键点点睛：掌握零点存在性定理是解题关键.8、A【解析】运用指数对数运算法则.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查指数对数运算，是简单题.9、D【解析】设中点的坐标为，则，利用在已知的圆上可得的中点的轨迹方程.【详解】设中点的坐标为，则，因为点在圆上，故，整理得到.故选：D.【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.10、D【解析】令得，作出和在上的函数图象如图所示，由图像可知和在上有个交点，∴在上有个零点，∵，均是偶函数，∴在定义域上共有个零点，故选点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】求出a的范围，利用指数函数的性质转化不等式为对数不等式，求解即可【详解】由loga0得0＜a＜1．由得a﹣1，∴≤﹣1=，解得0<x≤，故答案为【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用，对数不等式的解法，考查计算能力，属于中档题12、二或四【解析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案.【详解】因为是第三象限角，所以，，所以，，当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角.故答案为：二或四.13、【解析】根据两角和的正弦公式即可求出【详解】原式故答案为：14、【解析】把关于的方程只有一个实根，转化为曲线与直线的图象有且只有一个交点，在同一坐标系内作出曲线与直线的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，关于方程只有一个实根，转化为曲线与直线的图象有且只有一个交点，在同一坐标系内作出曲线与直线的图象，如图所示，结合图象可知，当直线介于和之间的直线或与重合的直线符合题意，又由直线在轴上的截距分别为，所以实数的取值范围是.故答案为.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把方程的解转化为直线与曲线的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于基础题.15、∪【解析】根据题意列出满足的条件，解不等式组【详解】由题意得，即，解得或，从而函数的定义域为∪.故答案为：∪.16、##【解析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.【详解】，故,则，当且仅当时，等号成立故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、96【解析】，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥试题解析：如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC­NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.四棱锥D­MNEF体积为V2＝S梯形MNEF·DN＝××(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解18、（1）；（2）【解析】（1）根据题意，由二次型不等式解集，即可求得参数的取值；（2）根据题意，不等式在上恒成立，即可求得参数范围.【详解】（1）的定义域为，即的解集为，故，解得；（2）的定义域为，即恒成立，当时，，经检验满足条件；当时，解得，综上，【点睛】本题考查由函数的定义域求参数范围，涉及由一元二次不等式的解集求参数值，以及一元二次不等式在上恒成立问题的处理，属综合基础题.19、证明过程详见解析【解析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，得出AF⊥CD；再由勾股定理证明FC⊥CD，即可证明CD⊥平面ACF，平面ACD⊥平面ACF；（Ⅱ）取DF的中点Q，连接QE、QP，证明BPQE四点共面，再证明CD∥EQ，从而证明CD∥平面EBPQ，即为CD∥平面BPE【详解】（Ⅰ）由题意知，四边形ABEF是正方形，∴AF⊥EF，又平面ABEF⊥平面EFDC，∴AF⊥平面EFDC，∴AF⊥CD；又FD=4，FC=AB=2，CD=AB=2，∴FD2=FC2+CD2，∴FC⊥CD；又FC∩AF=F，∴CD⊥平面ACF；又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ACF；（Ⅱ）如图所示，取DF的中点Q，连接QE、QP，则QP∥AF，又AF∥BE，∴PQ∥BF，∴BPQE四点共面；又EC=2，QD=DF=2，且DF∥EC，∴QD与EC平行且相等，∴QECD为平行四边形，∴CD∥EQ，又EQ⊂平面EBPQ，CD⊄平面EBPQ，∴CD∥平面EBPQ，即CD∥平面BPE【点睛】本题主要考查直线和平面平行与垂直的判定应用问题，也考查了平面与平面的垂直应用问题，是中档题20、（1）；（2）【解析】（1）直接代入数据计算得到答案.（2）确定函数单调递增，根据函数的单调性得到答案.【详解】（1）（且）的图像经过点，即，故，故.（2）函数单调递增，，故，故【点睛】本题考查了函数的解析式，根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.21、（1）2，（2）或（3）存在，【解析】（1）由三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数性质可求得答案；（2）将问题转化为函数与函