2025届福州市重点中学高二上数学期末达标检测试题含解析

2025届福州市重点中学高二上数学期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在空间四边形OABC中，，，，点N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，则（）A. B.C. D.2．曲线在处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.3．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.4．抛物线的焦点是A. B.C. D.5．已知数列是等比数列，，数列是等差数列，，则的值是()A. B.C. D.6．数列中，，，则（）A.32 B.62C.63 D.647．已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（）A.4条 B.3条C.2条 D.1条8．已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）A. B.C. D.9．等差数列中，已知，则（）A.36 B.27C.18 D.910．某大学数学系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的三年级学生的人数为（）A.20 B.40C.60 D.8011．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（）A. B.C. D.12．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过点且与直线平行的直线的方程是______.14．已知正数、满足，则的最大值为__________15．如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______16．已知拋物线的焦点为F，O为坐标原点，M的准线为l且与x轴相交于点B，A为M上的一点，直线AO与直线l相交于C点，若，，则M的标准方程为______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)（1）求证：为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.18．（12分）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质（1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；（2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；（3）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)19．（12分）设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.20．（12分）在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取1000人，每人在规定区间内给出一个“满意度”分数，评分在60分以下的视为“不满意”，在60分到80分之间（含60分但不含80分）的视为“基本满意”，在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.（2）若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，再从这20人中随机抽取3人，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.①写出X的分布列，并求数学期望；②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得50元话费补贴，请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.21．（12分）已知数列中，.（1）证明是等比数列，并求通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，求使恒成立的最小的整数k.22．（10分）设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和为.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】解：∵N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，且，，，故选：D.2、D【解析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答.【详解】由求导得：，则有，因此，曲线在处的切线的斜率为，所以曲线在处切线的倾斜角是.故选：D3、D【解析】原不等式等价于，根据的图象判断函数的单调性，可得和的解集，再分情况或解不等式即可求解.【详解】由函数的图象可知：在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，；当时，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集为：，故选：D.4、D【解析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.【点睛】求圆锥曲线的焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.5、B【解析】根据等差数列和等比数列下标和的性质即可求解.【详解】为等比数列，，，，；为等差数列，，，，，∴.故选：B.6、C【解析】把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.【详解】数列中，，故，因为，故，故，所以，所以为等比数列，公比为，首项为.所以即，故，故选C.【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：（1），取倒数变形为；（2），变形为，也可以变形为；7、A【解析】利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.①直线与双曲线只有一个公共点；②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；③设过的切线方程为与双曲线联立，可得，由，即，解得，直线的条数为1.综上可得，直线的条数为4.故选：A,.8、C【解析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.【详解】解：抛物线的焦点，设直线为，则，整理得，则，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故选：C.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.9、B【解析】直接利用等差数列的求和公式及等差数列的性质求解.【详解】解：由题得.故选：B10、C【解析】根据给定条件利用分层抽样的抽样比直接计算作答.【详解】依题意，三年级学生的总人数为，从1500人中用分层随机抽样抽取容量为300的样本的抽样比为，所以应抽取的三年级学生的人数为.故选：C11、A【解析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；该同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选：A.【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.12、C【解析】设，，根据双曲线的定义可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得关于，的方程，再由离心率公式即可求解.【详解】设，则，由双曲线的定义可得：，，因为点在以为直径的圆上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以双曲线离心率为，故选：C.第II卷（非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设出直线的方程，代入点的坐标，求出直线的方程.【详解】设过点且与直线平行的直线的方程为，将代入，则，解得：，所以直线的方程为.故答案为：14、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【详解】，当即时等号成立.故答案为【点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.15、【解析】根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果【详解】如图所示：棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到，设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点，所以，而，同理，故棱锥的体积的为，即棱锥与棱锥的体积之比为故答案为：.16、【解析】先利用相似关系计算，求得直线OA的方程，再联立方程求得，利用抛物线定义根据即得p值，即得结果.【详解】因为，，所以，则，如图，，故，解得，所以，直线OA的斜率为，OA的方程，联立直线OA与抛物线方程，解得，所以，故，则抛物线标准方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）；（3）存在，构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件.【解析】（1）由棱台、棱锥的棱长和相等可得，再由面面平行有，结合正四面体的结构特征即可证结论.（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由线面垂直的判定可证平面PAM，即是二面角的平面角，进而求其大小.（3）设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，结合已知条件用表示出即可确定直四棱柱.【小问1详解】由棱台与棱锥的棱长和相等，∴，故.又截面底面ABC，则，，∴，从而，故为正四面体.【小问2详解】取BC的中点M，连接PM、DM、AM，由，，得：平面PAM，而平面PAM，故，从而是二面角的平面角.由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，所以.由D是PA的中点，得.在Rt△ADM中，，故二面角的大小为.【小问3详解】存在满足条件的直四棱柱.棱台的棱长和为定值6，体积为V.设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为.因为正四面体的体积是，所以，，从而，故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件.18、（1）数列具有性质，理由见解析；（2），；（3）有限个.【解析】（1）由题意，由性质定义，即可知是否具有性质.（2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需为整数，即可判断数列的个数是否有限.【小问1详解】由，对任意正整数，，说明仍为数列中的项，∴数列具有性质.【小问2详解】设的公差为．由条件知：，则，即，∴必有且，则，而此时对任意正整数，，又必一奇一偶，即为非负整数因此，只要为整数且，那么为中的一项.易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.【小问3详解】同（2）知：，则，∴必有且，则，故任意给定，公差均为有限个，∴具有性质的数列是有限个.【点睛】关键点点睛：根据性质的定义，在第2、3问中判断满足等差数列通项公式，结合各项均为整数，判断公差的个数是否有限即可.19、（1）；（2）过定点，坐标为.【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为椭圆离心率为，所以有.椭圆过点，所以，由可解：，所以该椭圆方程为：；【小问2详解】由（1）可知：，设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意，当时，直线的方程与椭圆方程联立得：，设，，，因为，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，当时，直线，直线恒过定点，此时与点重合，不符合题意，当时，，直线恒过点，当直线不存在斜率时，此时，，因为，所以，两点不在椭圆上，不符合题意，综上所述：过C，D两点的直线过定点，定点坐标为.【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.20、（1）65分（2）①分布列答案见解析，数学期望：；②172.5元【解析】（1）由图可知中位数在第二组，则设中位数为，从而得，解方程可得答案，（2）①由题意可求得“不满意”与“基本满意”的用户应抽取17人，“非常满意”的用户应抽取3人，则X的可能取值分别为0，1，2，3，然后求出对应的概率，从而可求得其分布列和期望，②设这3人获得的话费补贴总额为Y，则，然后由①结合期望的性质可求得答案【小问1详解】这1000人中对该款手机“非常满意”的人数为.由频率分布直方图可得，得分的中位数为，则，解得，所以中位数为65分.【小问2详解】①若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，则“不满意”与“基本满意”的用户应抽取人，“非常满意”的用户应抽取人，X的可能取值分别为0，1，2，3，，，，，则X的分布列为X0123