全国版2024高考数学一轮复习解题思维3高考中三角函数解三角形解答题的提分策略试题理含解析

PAGE解题思维3高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.[12分]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且2bcosB=3ccosC=asInA(1)求实数λ的值;(2)若a=2,求△ABC的面积.2.[12分]如图3-1所示,在平面直角坐标系xOy中,扇形OAB的半径为2,圆心角为2π3,点M是弧AB上异于A,B的点(1)若点C(1,0),且CM=2,求点M的横坐标;(2)求△MAB面积的最大值.图3-13.[2024浙江杭州二中、学军中学等五校联考,14分]已知f(x)=sInx(sInx+3cosx),在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(A)=32,a=2,求△ABC周长的取值范围4.[2024八省市新高考适应性考试,12分]在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.(1)若AB=32,求BC(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.答案解题思维3高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.(1)依题意和正弦定理得2bcosB所以tanB=12,tanC=13tanA=-tan(B+C)=-12+131-16=-1,由余弦定理得,λ=b2+c2-a2bc=2cosA=-2,(2)由tanB=12,tanC=13,易得cosB=25,cosC依题意及(1)得2bcosB=3ccosC=2,所以b=2则S△ABC=12×2102.(1)连接OM,依题意可得,在△OCM中,OC=1,CM=2,OM=2,所以cos∠COM=22+12所以点M的横坐标为2×34=32(2)连接OM,设∠AOM=θ,θ∈(0,2π3),则∠BOM=2π3-S△MAB=S△OAM+S△OBM-S△OAB=12×2×2[sinθ+sin(2π3-θ)]-12×2×2×32=23sin(θ+因为θ∈(0,2π3),所以θ+π6∈(π6,5π6所以当θ+π6=π2,即θ=π3时,△MAB的面积取得最大值,最大值为3.(1)f(x)=sinx(sinx+3cosx)=1-cos2x2+32sin2x=sin(2x-令π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2k得π3+kπ≤x≤5π6+kπ,∴f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ],k∈Z.(6(2)由(1)可知,f(A)=sin(2A-π6)+12=32,则∵0<A<π,∴-π6<2A-π∴2A-π6=π2,解得A=π解法一由a=2,A=π3及余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-4=bc,(10分∴(b+c)2-4=3bc≤3(b+c2)2,即b当且仅当b=c时等号成立,(12分)又b+c>a=2,∴2<b+c≤4,4<a+b+c≤6,(13分)∴△ABC周长的取值范围是(4,6](14分)解法二由正弦定理asinA=bsinB=csinC得,b=asinAsinB=43∴b+c=433(sinB+sinC).(10∵A=π3,∴C=π-A-B=23π-∴sinB+sinC=sinB+sin(23π-B)=32sinB+32cosB=3sin(B+π6又B∈(0,2π3),∴B+π6∈(π6,56π),sin(B+∴b+c∈(2,4],a+b+c∈(4,6],(13分)∴△ABC周长的取值范围是(4,6].(14分)4.(1)因为AB∥CD,所以∠ABD=∠BDC.(1分)在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD=AB2+B在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·(2)设BC=x,则AB=2x,在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD=AB2+BD2在△BCD中,由