2024-2025学年高中数学模块综合测评A课后篇巩固提升北师大版选修2-3

PAGE7-模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.对于二项式(n∈N*),有以下四种推断:①存在n∈N*,绽开式中有常数项;②对随意n∈N*,绽开式中没有常数项;③对随意n∈N*,绽开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,绽开式中有x的一次项.其中正确的是()A.①与③ B.②与③C.②与④ D.①与④解析:二项式的绽开式的通项为Tr+1=x4r-n,由通项公式可知,当n=4r(k∈N*)和n=4r-1(k∈N*)时,绽开式中分别存在常数项和一次项.答案:D2.若x,y∈N+,且1≤x≤3,x+y<7,则满意条件的不同的有序数对(x,y)的个数是()A.15 B.12C.5 D.4解析:当x=1时,y=1,2,3,4,5,有5种;当x=2时,y=1,2,3,4,有4种;当x=3时,y=1,2,3,有3种.依据分类加法计数原理,得5+4+3=12.答案:B3.已知随机变量X听从正态分布N(3,σ2),则P(X<3)等于()A. B. C. D.解析:正态曲线的对称轴为直线μ=3,所以P(X<3)=P(X>3)=,故选D.答案:D4.已知随机变量X的分布列如下:X0123P则P(2<X<5)=()A.1 B. C. D.解析:由分布列可知P(2<X<5)=P(X=3)=.答案:C5.如图所示,A,B,C表示3种开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,则此系统的牢靠性为()A.0.504 B.0.994 C.0.496 D.0.06解析:A,B,C三个开关相互独立,三个中至少有一个正常工作即可,由间接法知P=1-(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.7)=1-0.1×0.2×0.3=0.994.答案:B6.下列说法:①设有一个回来方程y=3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;②线性回来直线y=bx+a必过点();③两个变量间的相关系数r越小,说明两变量间的线性相关程度越低;④在一个2×2列联表中,由计算得χ2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析:由线性回来直线的特点知②正确,①③④都错误.答案:C7.下表是某厂供应的节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨)的4组数据:x3456y2.5t44.5依据以上数据,求出的y关于x的线性回来方程为y=0.7x+0.35,那么表中t的值为()A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.5解析:由题意得0.35=-0.7-0.7×,解得t=3,故选A.答案:A8.如图,用6种不同颜色给图中A,B,C,D四个区域分别涂色,每个区域只能涂一种颜色,且相邻的区域不同色,不同的涂色方法的种数为()A.120 B.480 C.600 D.720解析:若A,D涂同一种颜色,则有6×5×4=120(种)涂法;若A,D不涂同一种颜色,A有6种涂法,D有5种涂法,C有4种涂法,B有4种涂法,则有6×5×4×4=480(种)涂法,共有120+480=600(种)涂法.答案:C9.从5名学生中选出4名分别参与数学、物理、化学、外语竞赛,其中学生A不参与物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为()A.24 B.48 C.72 D.120解析:学生A参与时有=48种参赛方案,A不参与时有=24种参赛方案,共72种参赛方案,故选C.答案:C10.某校1000名学生的某次数学考试成果X听从正态分布,正态分布密度曲线如下图所示,则成果X位于区间(51,69]的人数大约是()A.997 B.954C.683 D.341解析:由题图知X~N(μ,σ2),其中μ=60,σ=9,所以P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(51<X≤69)=68.3%.所以人数大约为0.683×1000=683.答案:C11.将甲、乙等5位同学分别保送到北京高校、上海交通高校、浙江高校三所高校就读,则每所高校至少保送一人的不同保送的方法数为()种.A.240 B.180C.150 D.540解析:5名学生分成2,2,1或3,1,1两种形式,当5名学生分成2,2,1时,共有=90种结果,当5名学生分成3,1,1时,共有=60种结果,所以依据分类计数原理知共有90+60=150种结果.答案:C12.已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中(全部的球除颜色外都相同).①放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);②放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1>p2,Eξ1<Eξ2 B.p1<p2,Eξ1>Eξ2C.p1>p2,Eξ1>Eξ2 D.p1<p2,Eξ1<Eξ2解析:p1=,p2=,p1-p2=>0,故p1>p2,Eξ1=1×+2×,Eξ2=1×+2××2+3×,比较可知Eξ1<Eξ2,故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.5n+13n(n∈N)除以3的余数是.

解析:5n+13n=(6-1)n+(12+1)n=6n-6n-1+…+(-1)n12n+12n-1+…+.当n为奇数时,5n+13n=6n-6n-1+…+6·(-1)n-1+12n+12n-1+…+12,能被3整除,则余数为0.当n为偶数时,5n+13n=6n-6n-1+…+6·(-1)n-1+12n+12n-1+…+6n-6n-1+…+6·(-1)n-1+12n+12n-1+…+12+2,被3除余数为2.答案:0或214.通过随机询问84人在购买商品时是否注意品牌,得到列联表如下:女男总计注意品牌1925a不注意品牌20b40总计394584则表中a=,b=.

解析:a=19+25=44,b=40-20=20.答案:442015.将三枚匀称的骰子各掷一次,设事务A为“三个点数都不相同”,事务B为“至少出现一个6点”,则P(A|B)的值为.

解析:事务B的试验结果共有63-53=91种,事务AB的试验结果共有=60种,∴P(A|B)=.答案:16.在某项测量中,测量结果听从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为.

解析:由题意得μ=1,故P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2),所以P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=0.8.答案:0.8三、解:答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选出5名参与赈灾医疗队,其中:(1)内科医生甲与外科医生乙必需参与,共有多少种不同选法?(2)甲、乙均不能参与,有多少种选法?(3)甲、乙二人至少有一人参与,有多少种选法?(4)医疗队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有多少种选法?解:(1)只需从其余18人中选3人即可,共有=816种选法.(2)只需从其他18人中选5人即可,共有=8568种选法.(3)分两类:即甲、乙中有一人参与,甲、乙都参与两类,所以共有=6936种.(4)方法一:(干脆法)至少有一名内科医生和一名外科医生可分四类,一内四外,二内三外,三内二外,四内一外,所以共有=14656种选法.方法二:(间接法)从总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数,即=14656种选法.18.(本小题满分12分)已知(a2+1)n绽开式中的各项系数之和等于的绽开式的常数项,(a2+1)n的绽开式中系数最大的项等于54,求a的值.解:的绽开式的通项为,令20-5r=0,得r=4,故常数项T5==16.又(a2+1)n绽开式的各项系数之和等于2n,由题意知2n=16,得n=4.由二项式系数的性质知,(a2+1)4绽开式中系数最大的项是中间项T3,故有a4=54,解得a=±.19.(本小题满分12分)4个女生和6个男生排成一排.(1)假如女生必需全排在一起,有多少种不同的排法?(2)假如女生必需全分开,有多少种不同的排法?(3)假如两端都不能排女生,有多少种不同的排法?(4)假如两端不都排女生,有多少种不同的排法?解:(1)(捆绑法)因为4个女生必需全排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样和6个男生一起,共有7个元素,排成一排,有种不同的排法.对于其中的每一种排法,4个女生之间有种不同的排法,因此共有=120960(种)不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开,可以先把6个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个位置,这样共有5个位置,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有7个位置,再把这4个女生插进这7个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证随意两个女生都不相邻.由于6个男生排成一排有种不同的排法,对于其中随意一种排法,从上述7个位置中选出4个来让4个女生插入,有种方法,因此共有=604800(种)不同的排法.(3)(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能排6个男生中的2个,有种不同的排法.对于其中随意一种排法,其余8个位置有种排法,所以共有=1209600(种)不同的排法.(4)(间接法)4个女生和6个男生排成一排,共有种不同的排法,从中扣除两端都是女生的种排法,得到两端不都是女生的排法种数.因此共有=3144960(种)不同的排法.20.(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额,须要确定加工零件所花费的时间,为此进行了四次试验,结果如下:零件的个数x/个2345加工的时间y/小时2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;(2)求y关于x的线性回来方程y=bx+a;(3)试预料加工10个零件须要多少时间.解:(1)散点图如图.(2)由题表中数据可得=3.5,=3.5,xiyi=52.5,=54,进而可求得b==0.7,a=3.5-0.7×3.5=1.05,∴线性回来方程为y=0.7x+1.05.(3)当x=10时,y=0.7×10+1.05=8.05,∴预料加工10个零件须要8.05小时.21.(本小题满分12分)一个匀称的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,正四面体底面上的数字分别为x1,x2,记Y=(x1-3)2+(x2-3)2.(1)求Y取得最大值和最小值时的概率;(2)求Y的分布列.解:(1)底面上的数字x可能是1,2,3,4,则x-3的取值可能是-2,-1,0,1,于是(x-3)2的全部可能取值为0,1,4.因此Y的可能取值为0,1,2,4,5,8.当x1=1且x2=1时,Y=(x1-3)2+(x2-3)2取得最大值8,此时P(Y=8)=;当x1=3且x2=3时,Y=(x1-3)2+(x2-3)2取得最小值0,此时P(Y=0)=.(2)由(1)知Y的可能取值为0,1,2,4,5,8,P(Y=0)=P(Y=8)=.当Y=1时,(x1,x2)可能为(2,3),(4,3),(3,2),(3,4),易知P(Y=1)=;当Y=2时,(x1,x2)可能为(2,2),(4,4),(4,2),(2,4),易知P(Y=2)=;当Y=4时,(x1,x2)可能为(1,3),(3,1),易知P(Y=4)=;当Y=5时,(x1,x2)可能为(2,1),(1,4),(1,2),(4,1),易知P(Y=5)=.所以Y的分布列为Y012458P22.(本小题满分12分)现有甲、乙、丙三人参与某电视台的应聘节目《非你莫属》,若甲应聘胜利的概率为,乙、丙应聘胜利的概率均为(0<t<2),且三个人是否应聘胜利是相互独立的.(