吉林省白山市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题

PAGEPAGE13吉林省白山市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题留意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修其次册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．复数的实部是（）．A． B． C． D．2．已知数据，，，…，的方差为3，则数据，，，…，的方差是（）．A．3 B．6 C．9 D．123．在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，则（）．A． B．C． D．4．某校实行校内歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为，，，，，，设该选手得分的平均数为，中位数为，众数为，则（）．A． B． C． D．5．已知，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是（）．A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，是异面直线，，，且，则6．某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在，，，四个区间内，依据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（）．女生体重直方图 男生体重扇形图A．该校高一年级有300名男生B．该校高一年级学生体重在区间的人数最多C．该校高一年级学生体重在区间的男生人数为175D．该校高一年级学生体重在区间的人数最少7．在三棱锥中，平面平面，和均为等边三角形，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值是（）．A． B． C． D．8．已知集合，且，，则函数有零点的概率是（）．A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数，，则下列命题正确的是（）．A．若，则是纯虚数 B．若是纯虚数，则C．若，则是实数 D．若是实数，则10．连续抛掷一个质地匀称的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两次．事务表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事务表示“其次次正面朝上的点数是偶数”，事务表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事务表示“两次正面朝上的点数之和是9”，则下列说法正确的是（）．A．事务与事务为对立事务 B．事务与事务相互独立C．事务与事务是互斥事务 D．事务与事务相互独立11．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则（）．A． B．角的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是12．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（）．A．平面 B．异面直线与所成角的大小是C．球的表面积是 D．点到平面的距离是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知向量，，若，则______．14．已知一圆锥的侧面绽开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积是______．15．已知是方程的一个根，则______．16．如图，已知两座山的高分别为米，米，为测量这两座山峰，之间的距离，选择水平地面上一点为测量观测点，测得，，，则______米．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量，的夹角为30°，且，．（1）求的值；（2）若，求的值．18．（12分）某高校将参与该校自主招生考试的学生的笔试成果按得分分成5组，得到的频率分布表如表所示．该校为了选拔出最优秀的学生，确定从第4组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，依据面试成果（满分：100分），得到如图所示的频率分布直方图．组号分组频数频率第1组60第2组150第3组210第4组150第5组30合计600（1）求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差；（2）若该高校安排录用15人，求该高校的录用分数．19．（12分）如图，在三棱柱中，，点为，的中点，，．（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离．20．（12分）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭龙演化而来．端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日．某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的学问竞赛，竞赛共分为两轮．在第一轮竞赛中，每位参赛选手均需参与两关竞赛，若其在两关竞赛中均达标，则进入其次轮竞赛．已知在第一轮竞赛中，，第一关达标的概率分别是，；其次关达标的概率分别是，．，在第一轮的每关竞赛中是否达标互不影响．（1）分别求出，进入其次轮竞赛的概率；（2）若，两人均参与第一轮竞赛，求两人中至少有1人进入其次轮竞赛的概率．21．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且______．（1）求；（2）若角的角平分线，且，求面积的最小值．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．（12分）如图，在正四棱锥中，点，分别在棱，上，且．（1）证明：平面．（2）在棱上是否存在点，使得//平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．白山市2024-2025学年高一下学期期末考试数学参考答案1．C【解析】由题意可得，则复数的实部是．2．D【解析】由题意可得数据，，，…，的方差是．3．B【解析】由题意可得，则．4．A【解析】由题意可得，，，则．5．D【解析】若，，则或，则A错误；若，，则或，相交，则B错误；若，，则或，则C错误；若，是异面直线，，，且，则，则D正确．6．C【解析】由题意可得该校高一年级出名女生，则出名男生，则男生体重在，，，区间内的人数分别为75，150，175，100，从而该校高一年级学生体重在，，，区间的人数分别为135，270，255，140，故A，B，D错误，C正确．7．B【解析】如图，分别取棱，的中点，，连接，，，．由题意可得，，则平面．因为平面，所以．因为，分别是棱，的中点，所以，则是异面直线与所成的角．因为，分别是棱，的中点，所以，则．设，则，．因为平面平面，且，所以，所以，所以，则，故．8．A【解析】由题意可得总的基本领件数为9．当时，符合条件的基本领件有3个；当时，有零点，则，即，从而符合条件的基本领件有4个．故所求概率．9．BCD【解析】由题意可得，．当且时，是纯虚数，则A错误，B正确；当时，是实数，则C，D正确．10．BC【解析】由题意可知事务与事务相互独立，则A错误，B正确；事务与事务是互斥事务，但不是对立事务，则C正确；D错误．11．ACD【解析】因为，所以，所以或．因为，所以，所以，则，故A正确．因为，所以．因为是锐角三角形，所以，即，解得，所以，则，故B错误，D正确．因为，所以，所以，则C正确．12．ACD【解析】如图，由题意可知．因为平面，平面，所以平面，故A正确．因为，所以是异面直线与所成的角．因为，所以，所以，故B错误．设外接圆的圆心为，连接，，，由题意可得，，则球的半径，从而球的表面积是，故C正确．设外接圆的半径为，由题意可得，则．由正弦定理可得，则点到平面的距离，故D正确．13．【解析】由题意可得，解得．14．【解析】设该圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，则，，解得，从而，故该圆锥的体积是．15．33【解析】设该方程的另一个根为，则，从而，解得，即，故．16．【解析】如图，过点作，垂足为，则米，．由题意可得米，米，，则，从而，故米．17．解：（1）由题意可得，则，故．（2）因为，所以，所以，所以，即，解得或．18．解：（1）由题意可知抽取比例为，则第4组应抽取的人数为，第5组应抽取的人数为．故第4组和第5组的学生进入面试的人数之差为．（2）由题意可知该高校的录用率为％％．因为，，则该高校的录用分数在内．设该高校的录用分数为，则，解得．故该高校的录用分数为85分．19．（1）证明：因为，所以，．在三棱柱中，，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面．（2）解：设点到平面的距离为，点到平面的距离为．因为点为的中点，所以，．因为，，所以，则．因为，所以，故点到平面的距离为．20．解：（1）设事务为“在第一轮第一关竞赛中达标”，事务为“在第一轮其次关竞赛中达标”，事务为“在第一轮第一关竞赛中达标”，事务为“在第一轮其次关竞赛中达标”．则进入其次轮竞赛的概率，进入其次轮竞赛的概率．（2）由（1）可知没有进入其次轮竞赛的概率，没有进入其次轮竞赛的概率，则，两人都没有进入其次轮竞赛的概率为．故，两人中至少有1人进入其次轮竞赛的概率．21．解：若选①，（1）因为，所以．因为，所以，所以，所以．因为，所以．若选②，（1）因为，所以，所以，则．因为，所以．若选③，（1）因为，所以，所以，所以．因为，所以．（2）因为，所以，所以，则，故．设，则，从而，当且仅当，即