数学-课堂探究：演绎推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一三段论推理模式的理解与应用1．可以用集合论的观点来分析，三段论推理的依据是：如果集合M中的每一个元素都具有属性P，且S是M的子集，那么集合S中的每一个元素都具有属性P.2．“三段论"中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系,从而得到了第三个命题——结论．3．在应用三段论解决问题时,应明确什么是大前提和小前提，有时为了叙述的简捷，而大前提又是显然的，这时大前提可以省略．4．“三段论”推理的结论正确与否,取决于两个前提是否正确以及推理形式(即S与M的包含关系）是否正确．【典型例题1】将下列推理写成三段论推理的形式:(1)所有的奇数都不能被4整除，所以15不能被4整除．（2)三角形的内角和为180°,Rt△ABC的内角和为180°.(3）菱形对角线互相平分．（4）函数f（x)＝x3＋sinx是奇函数．思路分析：分析各个命题，找出它们的大前提、小前提和结论，然后写成三段论推理的形式．解：(1)所有的奇数都不能被4整除．(大前提)15是奇数．(小前提)15不能被4整除．(结论）(2)三角形的内角和为180°.(大前提）Rt△ABC是三角形．（小前提）Rt△ABC的内角和为180°。(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．（大前提）菱形是平行四边形．(小前提）菱形对角线互相平行．（结论)（4)若对函数f（x)定义域中的任意x，都有f(－x）＝－f(x），则f(x)是奇函数．（大前提）对于函数f(x)＝x3＋sinx，当x∈R时，有f(－x）＝－f(x）．（小前提)所以函数f(x）＝x3＋sinx是奇函数．（结论）【典型例题2】如图,在锐角△ABC中,AD，BE是高线，D，E为垂足，M为AB的中点．求证:ME＝MD。试用三段论推理证明上述问题，并指出每一步推理的大、小前提．思路分析：由于△ABE，△ABD都是直角三角形，且ME，MD都是斜边上的中线，故可利用相关定理证明．证明:∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形,（大前提)在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°，(小前提）∴△ABD为直角三角形．（结论)同理△ABE也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,（大前提）M是直角△ABD斜边AB上的中点,DM为中线，（小前提)∴DM＝eq\f(1，2)AB.(结论）同理EM＝eq\f（1,2）AB.∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提）又∵DM＝eq\f（1,2)AB，EM＝eq\f(1,2）AB，（小前提）∴ME＝MD。(结论）点评在平面几何问题、立体几何问题的证明过程中，多数情况下采用的推理形式都是三段论模式，并且大前提通常就是:两个三角形全等、相似的判定定理，线面平行、垂直的判定定理等，故可以省略不写．探究二利用传递性关系推理证明问题1．传递性关系推理的推理规则是：若aRb，bRc，则aRc。其中“R”表示具有传递性的关系．2．传递性关系在数学中较为常见，例如：相等关系,实数的“＞”或“＜”关系．集合的包含关系,平面和空间中线线的平行关系等．【典型例题3】求证:eq\f(1,12）＋eq\f（1,22)＋eq\f（1,32）＋…＋eq\f(1，n2）＜2(n∈N＋，且n≥2）．思路分析：考虑将不等式左边的每一项的分母缩小,然后用数列中的求和方法求出各项放大后的和，再利用传递性关系推理证明．证明：由于eq\f(1,12)＋eq\f（1，22)＋eq\f（1,32)＋…＋eq\f（1,n2)＝eq\f（1,12)＋eq\f(1,2×2)＋eq\f(1，3×3）＋…＋eq\f（1,n×n）＜eq\f（1，12）＋eq\f(1,1×2）＋eq\f（1,2×3)＋…＋eq\f（1，n－1n），而eq\f(1,12）＋eq\f(1,1×2）＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f（1,n－1n）＝1＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2)))＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）－\f（1,3）)）＋…＋eq\f(1，n－1)－eq\f(1,n)＝2－eq\f(1,n）.又因为eq\f(1,n)＞0，所以2－eq\f（1,n）＜2,于是eq\f（1，12)＋eq\f(1,22）＋eq\f（1,32)＋…＋eq\f（1,n2）＜2.点评不等式证明中采用的放缩法，实质就体现了传递性关系推理．探究三利用完全归纳推理证明问题1．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情况,它不能说明结论的正确性,但完全归纳推理则把所有情况都作了证明，因此结论一定是正确的．2．在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理的分类，且必须把所有情况都考虑在内．【典型例题4】试证明函数f(x)＝ln（x＋eq\r(x2＋1))的定义域为R，并判断其奇偶性．思路分析：只须对x＞0，x＝0,x＜0分别说明对数的真数均大于0即可．证明:当x＞0时，x＋eq\r(x2＋1)＞0显然成立；当x＝0时，x＋eq\r(x2＋1)＝1＞0成立；当x＜0时,eq\r（x2＋1)＞eq\r（x2)＝|x|＝－x，所以x＋eq\r（x2＋1）＞x＋（－x）＝0。因此对x∈R，都有x＋eq\r(x2＋1)＞0，即函数的定义域为R.又因为f（－x)＝ln（－x＋eq\r(－x